北師大版初中數學新教材“圖形與幾何”領域的編寫特色

摘 要： 北師大版初中數學新教材“圖形與幾何”領域具有如下編寫特色：呈現合情推理與演繹推理有機結合的推理進階過程，引領學生經歷直觀推理、非形式化演繹推理、形式化演繹推理三個階段；穿插不同主題內容，整體設計圖形性質研究方法，有機結合三種主要研究方法；挖掘課程內容素材，引導學生運用圖形的直觀發現事實、呈現結論、探索解決問題的路徑， 發展學生的幾何直觀能力；引領學生感悟圖形知識的關聯性和研究方法的一致性。

關鍵詞：初中數學；新教材；圖形與幾何；編寫特色

作為數學中產生最早的兩大分支之一，幾何學已經有幾千年的歷史，在數學發展中的地位不言而喻。作為數學課程的幾何學，也有悠久的歷史?！稁缀卧尽吩洷环g成多種文字廣為流傳，作為標準的教科書供人們學習幾何使用；在19世紀前的兩千多年里，一直在幾何課程中占有統治地位。

隨著幾何學自身的發展以及數學在社會中的應用，人們對幾何學的認識和對數學的期望發生了改變，傳統的歐氏幾何作為幾何課程的地位、價值受到了質疑。20世紀初，貝利 克萊因數學教育改革運動對歐氏幾何作為中小學幾何課程的主要內容發起了挑戰。幾何課程中逐漸出現了變換幾何、坐標幾何的身影。中學幾何課程內容的構建也出現了更多的差異。^［1］

在這樣的背景下，從2001年頒布《義務教育數學課程標準（實驗稿）》開始，我國幾何課程的目標定位和內容設置也發生了很大的變化。相應地，初中數學教材“圖形與幾何”領域的編寫也有很多變化。本文主要闡述依據《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）修編的北師大版初中數學教材（以下簡稱“新教材”）“圖形與幾何”領域的編寫特色。

一、 呈現合情推理與演繹推理有機結合的推理進階過程

通過對圖形性質的探索，逐步提高學生的推理能力，是新課標對幾何課程素養目標的具體要求。推理包括猜想性的合情推理（如歸納、類比等）和論證性的演繹推理。在數學的發展過程中，尤其是在幾何圖形的研究中，二者相輔相成、缺一不可。此外，如何基于學生的認知特點設計幾何課程中的推理進階過程，也是教材編寫特別值得研究的問題。荷蘭數學教育學者范希爾夫婦提出的學生幾何思維發展的五個水平“直觀、分析、非形式化演繹、形式化演繹、嚴密性”，也刻畫出了推理能力發展的階段性。^［2］

因此，新教材在“圖形與幾何”領域的整體設計中，將合情推理與演繹推理并重，力圖使學生完整經歷兩種推理的過程，體會到二者的相互關系?；谶@一理念，在具體設計中，主要依靠“圖形的性質”主題，根據學生的認知特點，分階段強化不同的推理形式，實現推理能力的進階發展。

（一） 直觀推理階段

通過直觀的觀察、畫圖、拼擺、測量等方式判斷圖形的性質，是學生推理的最初形式。此為“圖形與幾何”領域推理的第一階段，具體體現在七年級上冊《豐富的圖形世界》《基本平面圖形》兩章內容的學習中，主要通過對圖形的觀察“合情推理”發現幾何概念、事實、性質和定理。例如，點與直線的位置關系、“兩點之間線段最短”、“點到直線的垂線短最短”等關系和結論都是通過學生的觀察和操作獲得的。

（二） 非形式化演繹推理階段

經歷直觀推理的過程后，學生具備了探索和認識圖形性質的初步經驗，學習任務可以引導學生根據已有的某些結論，進一步推斷出新結論。此為第二階段，主要體現在七年級下冊《相交線與平行線》《三角形》兩章和八年級上冊《勾股定理》一章內容的學習中。例如，在《相交線與平行線》一章中，通過操作探究獲得“同位角相等，兩直線平行”的判定條件，繼而，借助這個結論判斷新結論：一是說明畫平行線的根據，二是推導“內錯角相等，兩直線平行”的判定條件。再如，在《三角形》一章中，運用平行線判定定理，結合直觀推理，獲得三角形的內角和結論，繼而，在獲得“角邊角”的三角形全等判定條件后，推出“角角邊”的判定條件。此階段，對圖形性質的探索既有直觀推理的過程，也開始進行命題之間的邏輯推理，即范希爾幾何思維水平中的非形式化演繹階段。

（三） 形式化演繹推理階段

第三個階段是“準公理化”體系下的演繹證明階段。新教材在七年級上冊和下冊，逐漸通過觀察和操作的方式，獲得了八條用于論證推理的“基本事實”（“平行線分線段成比例”除外），于是在八年級上冊《命題與證明》一章，匯集了這些“基本事實”并闡釋了證明的意義和方法，為學生進行演繹推理奠定了邏輯基礎。在此基礎上，八年級下冊《三角形的證明》《平行四邊形》兩章、九年級上冊《特殊平行四邊形》《圖形的相似》兩章和九年級下冊《圓》一章，仍然注重圖形性質發現和證明的結合，即邊探索邊論證的方式，體現了合情推理與演繹推理的有機結合。此階段的演繹推理與范希爾理論中的形式化演繹階段對應，意在讓學生感悟到數學的邏輯性、嚴謹性。

二、 穿插不同主題內容，提供多種研究方法

新課標中，“圖形與幾何”領域包含“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個主題，分別從綜合幾何、變換幾何、解析幾何的視角研究圖形，也給出了認識圖形性質的不同方法，即推理論證、運動變化和坐標化。

（一） 整體設計圖形性質研究方法

對初中生而言，直觀的實驗方法是獲得對圖形認識的基礎性方法，也是學習和運用推理論證、運動變化和坐標化這三種研究圖形性質方法的基礎。同時，三種方法中，推理論證以“基本事實”為依據，作為主線展開圖形的性質；運動變化不僅使學生感受到自然世界中圖形存在的形式，而且為論證推理提供了思路；坐標化可以定量地刻畫圖形的位置、性質和變化規律，到高中會成為主角。因此，在初中，直觀的實驗方法是“底色”，推理論證方法是主線，運動變化方法和坐標化方法穿插其中。為了協調安排“圖形與幾何”領域各個主題內容的學習與方法的運用，新教材的整體框架如圖1所示。

（二） 有機結合三種主要研究方法

在利用推理論證的方法（要基于利用直觀的實驗方法獲得的“基本事實”）研究圖形的性質這一主線上，穿插運動變化的方法。首先，在七年級下冊安排了《圖形的軸對稱》一章，通過適當的學習活動抽象出軸對稱的概念并探究其性質，進而，運用軸對稱探究基本幾何圖形角、等腰三角形等的性質。如，通過“思考·交流”欄目中的問題設計，引導學生通過觀察、操作，發現等腰三角形是軸對稱圖形，并進一步分析在對折的過程中有哪些不變的（相等的）量，從而獲得等腰三角形的一個性質。這樣的直觀操作過程也在八年級下冊等腰三角形性質的證明中，成為對學生證明思路（引輔助線）的啟發。利用軸對稱發現圖形性質的方法在九年級下冊《圓》一章的學習中也充分得以體現：垂徑定理、切線性質定理等都是利用圓及其相關圖形的軸對稱性作出猜測，進而加以證明的。其次，在八年級下冊安排了《圖形的平移與旋轉》一章，同樣先從現實情境中概括出兩種變化的有關概念，再探究其性質。在后續的圖形學習中，也運用旋轉等變化探究平行四邊形、特殊平行四邊形、圓等圖形的性質：先基于變化發現圖形的性質，再通過嚴謹的論證進一步確認。

對三種圖形變化的定量刻畫則主要體現在它們與“圖形與坐標”的關系中。在《位置與坐標》一章中，研究軸對稱圖形的坐標特點。在《圖形的平移與旋轉》一章中，運用坐標研究兩種變化的基本規律。

三、 挖掘課程內容素材，凸顯幾何直觀能力

簡單地說，幾何直觀就是用圖形來說話，用圖形幫助我們表示、解釋、分析和發現等。所以一般來講，總是覺得“數與代數”領域、“統計與概率”領域和問題解決的過程更能體現幾何直觀能力。但是新課標中，幾何直觀的內涵增加了兩條：“能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質?！?sup>［^3］因此，“圖形與幾何”領域也要關注幾何直觀能力。

幾何直觀能力是基于經驗的，會隨著經驗的積累逐漸增強。經驗的積累必須經歷豐富的活動，包括觀察、操作、分析、判斷等。新教材深入挖掘相關內容，著力在研究圖形性質、利用圖形解決問題等方面體現幾何直觀的意義，通過看圖、畫圖（包括尺規作圖）以及用圖等學習活動，利用一系列的問題引導學生觀察、思考，凸顯對學生幾何直觀能力的培養。

（一） 直觀發現，獲得基本事實

新課標在“圖形與幾何”領域設定了用于形式化演繹推理的“基本事實”，因此，教學中需要讓學生充分利用直觀，發現圖形的這些性質。如，基于生活經驗，通過實際觀察發現“兩點之間線段最短”，運用三角板操作發現“過一點只有一條直線與已知直線垂直”，等等。此外，相比于一般的測量性畫圖，尺規作圖更具有邏輯性，可以幫助學生更直觀地把握按照條件完成作圖的過程，更一般地發現幾何事實，同時更好地體會“基本事實”的不證自明性。因此，新教材在七年級下冊“三角形全等條件”的探索中，通過“嘗試·思考”欄目的任務以及相應的問題，引導學生將一般的畫圖和尺規作圖結合起來，發現“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”等“基本事實”。

（二） 直觀呈現，獲得更多結論

圖形的直觀性還能進一步幫助學生獲得更多的結論，克服解決問題時遇到的困難。例如，新教材在七年級下冊“三角形全等條件”的探索中，還通過“嘗試·交流”欄目，引導學生利用尺規作圖固定一條已知邊，以其一個端點為頂點作出已知角的另一條邊（射線），以另一個端點為起點尋找另一條已知邊的終點（圓與射線的交點），發現另一條已知邊的終點有時有兩個可能，從而否定“邊邊角”這一判定條件。這樣獲得結論不僅能讓學生對結論本身印象更加深刻，而且能讓學生對獲得結論的方法體會更深。此外，利用基本的尺規作圖（如線段垂直平分線、角平分線、過一點的直線垂線等），還可以直觀地獲得更多的猜測（如三角形中三條高線、三條中線或三條角平分線的共點等），從而解決有關的問題。

（三） 直觀探索，解決尺規作圖等問題

新課標為了強調幾何直觀，加強了“尺規作圖”。尺規作圖任務有兩種處理思路。一種是將其當成一種技能來完成，教材可以依據步驟教會學生完成相應的任務。但是，這樣處理就失去了學生在完成任務的過程中應有的探究發現機會、解決問題機會、直觀想象機會、邏輯推理機會。另一種是將其變成觀察、分析、探索的過程。為此，新教材從分析如何完成任務的角度，啟發學生首先直觀感知，然后探索嘗試，最終完成任務。

例如，七年級下冊角平分線的尺規作圖就是由“思考·交流”活動引導的?；顒又校紫让鞔_作圖任務，但是沒有直接要求尺規作圖；然后通過假設，分析作圖目標的特點以及如何根據特點尋找滿足條件的元素，引導學生利用三角尺、量角器等多種工具進行嘗試，目的是把更多的注意力放在通過直觀分析鎖定作圖目標上；經過了直觀的分析，明確了作圖的關鍵，尺規作圖的完成也就水到渠成了，同時，尺規作圖能夠更好地幫助學生確定相等的線段，從而分出相等的角。活動欄目旁邊的“小貼士”（需要確定的點是角的對稱軸上的點，因此應當從角的兩邊進行“對稱”的操作），對學生的探索起到了思路的引領作用。

再如，八年級下冊“已知一條直角邊和斜邊，作出直角三角形”的尺規作圖是由“嘗試·交流”活動引導的。第一個問題“假設滿足條件的直解三角形已經作出，你能畫出這個直角三角形的草圖嗎”，引導學生從結果出發，尋找滿足的條件，畫出相應的草圖；第二個問題“你是按照怎樣的步驟畫這個草圖的？先畫一畫，再用尺規試一試”，則引導學生從條件出發，聯系尺規的功能，確定作圖的步驟。

四、 注重圖形知識的關聯性和研究方法的一致性

課程內容的組織應注重整體性和結構化，這是發展學生核心素養的基礎。新教材“圖形與幾何”領域的設計注意引領學生在數學活動中，感悟圖形知識的關聯性和研究方法的一致性，為學生整體把握教學內容提供支架，促進學生更好地建構知識結構。

（一） 注重圖形知識的關聯性

從點、線、面、角到多邊形，從一般三角形、四邊形到特殊三角形、四邊形，不同類別的圖形之間、同一類別的圖形之間都有著緊密的聯系。因此，新教材在幾何內容的逐漸展開中，盡可能地呈現這些聯系，幫助學生建構良好的知識結構。例如，學習“平行四邊形”后，為了讓學生整體認識平行四邊形的特殊“成員”，感悟它們之間的聯系，新教材提出問題：從平行四邊形的邊或角考慮，你認為可能有哪些特殊的平行四邊形？這個問題給了學生從一般平行四邊形出發，整體進行特殊化考慮的引領，而不是像以往教材或教學中那樣，強行帶領學生依次進行各個特殊平行四邊形定義和性質的研究。對學生來講，只考慮某一個特殊的平行四邊形，實際上限制了他的思維，也撕裂了本來聯系緊密的三個特殊“成員”。因此，新教材在提出上述問題后，直接給出了三個特殊“成員”的概念，以及整體上對三個對象的共有屬性的研究。

建立知識之間的聯系，還體現在尋找證明思路的分析中。學生在幾何證明的過程中，往往在尋找證明思路上出現障礙。新教材在一些證明問題的解答前，設計了“分析”的環節，主要是提示學生聯系已有知識。“你學過哪些與180°有關的結論？曾經撕角拼圖的活動對你有什么啟發？”“你學過哪些關于角的不等關系的定理？這里能直接使用嗎？”“有哪些結論可用來證明兩個角相等，還記得利用折紙的方法探索等腰三角形的性質嗎？對你有什么啟發？”……這些旨在引導學生逐漸學會尋找證明思路，也在提醒學生聯想已有知識，運用于新知的學習，從而建構自己的認知結構。

（二） 注重研究方法的一致性

雖然“圖形與幾何”領域的研究對象各有不同，但是研究這些對象的脈絡卻有相似之處。例如，線段是學生接觸比較早的對象，新教材引領學生依次研究線段的定義、表示、屬性、度量和大小關系。接著在研究角這個對象時，新教材便類比線段的研究脈絡，不斷作出提示和提出問題：“和線段一樣，在學習了角的表示方法后，我們也要學習如何度量角的大小。”“還記得怎樣比較線段的大小嗎？類似地，你能比較下面每組角的大小嗎？”“類似比較線段的長短，如果直接觀察難以判斷，我們可以……”在線段和角的學習中，關注兩者之間研究路徑的一致性，進行類比遷移，同時體現了“對象+”的結構化思想。同樣地，學完三角形的內容后，學習平行四邊形的內容時，新教材提出可持續思考的問題：“三角形的研究方法及有關知識對研究平行四邊形有哪些幫助？”“根據三角形的學習經驗，你認為對平行四邊形應研究哪些內容？”這些問題意在引領學生建立同為多邊形的兩個對象之間的聯系，明確它們研究方法上的一致，從而為學生整體把握一類圖形的內容和方法提供框架與思路。

對特殊與一般的關系，新教材在研究三角形全等和三角形相似時，也有所體現。七年級下冊研究了三角形全等，九年級上冊研究三角形相似時，不僅在方法上類比全等的研究，而且通過適當的問題揭示了特殊與一般的邏輯關系。在章前語中，提出了可持續思考的問題：“如何類比三角形全等去研究三角形相似？”在探索具體的三角形相似條件時，提出了問題：“能否類比判定兩個三角形全等的條件，尋找判定兩個三角形相似的條件呢？”在探究類似于“邊邊角”的條件是否為三角形相似的條件時，設計了“思考·交流”欄目，沒有重復之前的操作性活動，而是從分析特殊與一般的關系上得到問題的答案，讓學生思維的邏輯性得到升華。在本章最后，設計了“回顧·反思”欄目，引導學生對三角形全等與三角形相似的學習過程做完整的回顧與反思，以實現前后貫通、整體把握和結構化認識。

總的來說，在圖形性質的研究過程中，新教材特別注重歸納、類比、分類、轉化、特殊化、一般化等數學思想方法的逐步滲透和運用，試圖引領學生學會運用數學思想方法發現問題、提出問題，分析問題、解決問題。

參考文獻：

［1］ 鮑建生.世紀回眸：中學幾何課程的興衰（續）［J］.中學數學月刊，2005（8）：25-28.

［2］ 鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009：4-5.

［3］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：8.

（劉曉玫， 首都師范大學教師教育學院，教授。 張惠英， 河北省石家莊市教育科學研究所，正高級教師。 王永會， 北京師范大學出版社，編審。）