北師大版初中數學新教材“數與代數”領域的編寫特色

摘 要：北師大版初中數學新教材“數與代數”領域在舊教材的基礎上創新設計，形成了如下編寫特色：突出函數主線，構建函數學習的三階段模式；關注運算算理，加強運算意義的理解；加強代數推理，在“數與代數”中發展推理能力；滲透幾何直觀，劃分不同類型發展幾何直觀素養；體現模型學習的全過程，促進模型觀念的建立。

關鍵詞：初中數學；新教材；數與代數；編寫特色

依據《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）修編的北師大版初中數學教材（以下簡稱“新教材”）“數與代數”領域在舊教材的基礎上創新設計，形成了如下編寫特色：

一、 突出函數主線，構建函數學習的三階段模式

函數是研究現實世界變化規律的一個重要模型，一直是初中階段數學學習的一個重要內容。國際數學課程發展的趨勢表明，對變化規律的探索、描述應從低年級非正式地開始，早期對函數的豐富經歷是十分重要的。因此，新教材對函數的學習不是一蹴而就，而是循序漸進、螺旋上升地進行設計，構建了函數學習的三階段模式。

（一） 經驗性理解

主要目的在于讓學生感受變化過程和“對應”現象，嘗試探索變化規律，經歷研究函數基本性質的過程，嘗試根據函數的基本特征作出預測，為后續函數學習打好基礎。七年級上冊《整式的加減》一章設計了探索規律等活動，滲透了初步的函數思想，因為這里所列的代數式實際上就是函數對應值的數學表達式，只是沒有將函數值對應的量用字母表示出來。此外，這一章還設計了很多情境，通過列表、數值轉換機等多種形式讓學生體會變量之間的對應 關系。七年級下冊則設計了《變量之間的關系》一章，通過貼近學生經驗的豐富實例，讓學生體會變量之間相依關系的普遍性，感受學習變量之間關系的必要性，并通過表格、關系式、圖像三種方式呈現變量之間的關系，讓學生多方面感知變量之間的關系， 揭示變量之間關系的本質，同時也暗示函數的 三種表示方式，實現對函數的經驗性認識。

（二） 形式化理解

主要目的在于讓學生從事函數內容的實質性學習：理解函數的基本概念（自變量、定義域等）和相關性質，借助函數的知識和方法解決問題。基本途徑是從對具體函數（一次、二次、反比例等）的研究開始，深入到一般的層面。八年級上冊明確變量之間的這種關系就是函數，并研究較為簡單、應用最為廣泛的一次函數，進入函數的形式化理解階段。一次函數的學習從內容、方法等方面為后續二次函數、反比例函數的學習進行了示范，九年級上、下冊分別采用類比的方式學習二次函數和反比例函數。

（三） 結構化理解

主要目的在于讓學生了解不同函數之間的聯系、函數與其他數學內容的實質性聯系，進而構建函數在初中數學知識系統中的地位。例如，八年級上冊《二元一次方程組》一章專門設計《二元一次方程與一次函數》一節，八年級下冊《不等式與不等式組》一章專門設計《一元一次不等式與一次函數》一節，九 年級上冊《二次函數》一章專門設計《二次 函數與一元二次方程》一節，通過分析函數與方程、不等式的實質性聯系，凸顯函數在代數內容中的主體地位，實現對函數的結構化理解。

函數內容的三階段設計如圖1所示。

二、 關注運算算理，加強運算意義的理解

運算是數學的基本研究對象，也是數學的基本思維形式之一。在初中階段，數與式的運算是基礎，包括有理數的運算、實數的運算和代數式的運算，并突出符號運算。此外，要理解方程、不等式、函數中的運算問題，初步感悟算法思想。

（一） 加強運算法則的理解

對數的運算，新教材首先通過生活情境或直觀分析（如正負“棋子”、數軸）幫助學生理解各個運算的意義，同時注意揭示不同運算之間的關聯和統一。在此基礎上，特別注重引導學生基于先前學習經驗自主探究運算法則。運算法則雖然是人為規定的，但不是憑空產生的，應與先前的經驗一致。事實上，數系擴充的基本要求是使得在原來范圍內成立的規律在更大范圍內仍然成立。于是，需要在“保持數的運算律仍然成立”的原則下定義新的運算法則。正是基于這樣的要求，新教材設計了有理數乘法法則的探究過程：先根據現實背景和小學的乘法意義，得出3×4、（－3）×4的結果，再進一步思考“3×（－4）、（－3）×（－4）的結果應該是多少”，讓學生在自主探索和合作交流中，逐步感受運算的擴充應盡可能保證運算律的延續性，從而切實理解為什么規定“負負得正”（詳見七年級上冊第49頁）。這樣的設計，力圖讓學生參與運算法則的探索過程，深刻理解運算擴充的道理，也為后續其他運算法則的探究和理解奠定了基礎，同時滲透了代數推理。

（二） 體現數式通性

式及其運算是數及其運算的抽象化、一般化，兩者的運算意義具有一致性。從數到式，學生在小學階段已有一定的學習基礎。新教材在小學符號意識形成的基礎上，繼續關注用字母表示數，同時進一步關注代數式的運算，幫助學生理解字母運算的邏輯：和數一樣，字母也可以進行加、減、乘、除、乘方、開方運算，加法和乘法的本質沒有改變。例如2a+3a，既可以看作2個a與3個a相加得到5a，也可以用乘法分配律來理解，即2a+3a=（2+3）a=5a。在字母的運算中同樣是減法轉化為加法、除法轉化為乘法，與數的運算保持一致。

（三） 突出方程求解的依據和思路

求解一元一次方程是利用等式的基本性質變形，經過有限的步驟最終轉化為x=a的形式；求解二元一次方程組是通過消元，經過有限的步驟轉化為一元一次方程；求解一元二次方程則是通過降次，經過有限的步驟轉化為一元一次方程。因此，求解方程最終都歸結為求解一元一次方程。而不等式的求解只是將方程中的相等關系變為不等關系，類比方程的求解進行。新教材在一元一次方程的求解中，增加關于等式的兩個基本事實（自反性和傳遞性）和“思考·交流”活動，加強等式基本性質的探索過程，將天平作為性質的直觀解釋，進而在方程的求解中，幫助學生體會解方程就是逐步把方程轉化為x=a形式的過程，轉化的依據就是等式的基本性質。

三、 加強代數推理，在“數與代數”中發展推理能力

新課標明確提出了代數推理的要求，指明：初中數學中，“圖形與幾何”領域有推理或證明的內容，“數與代數”領域也有推理或證明的內容。據此，新教材設計“數與代數”領域內容時，特別注意加強基于代數的邏輯推理，如代數運算規律的論證、根與系數關系的論證等。代數推理具有數學推理的特質，同時要體現“數與代數”領域的特征。新教材主要從如下兩個方面加強代數推理：

（一） 設計專門的問題明確提出代數推理的要求

推理不僅是數學學習的手段、工具，更是學生發展的目標。代數學習過程中，學生運用推理時，順帶發展了推理能力，但仍需要進行專門的推理訓練，通過更豐富的推理活動發展推理能力。因此，要設計更有針對性的推理任務，確保推理目標的達成。^［1］對一些結論，學生可能根據生活經驗進行解釋或通過更多的實例進行驗證，但是在具備知識基礎后，可以適時提出更高的代數推理要求。例如，在獲得有理數加法法則后，新教材通過“思考·交流”欄目提出三個問題：（1） 根據有理數加法法則，如果兩個數互為相反數，那么它們的和等于0。反過來，如果兩個數的和等于0，那么這兩個數互為相反數嗎？（2） 根據有理數加法法則進行正數或0的運算，得到的結果與小學數學中的加法運算結果一致嗎？（3） 一個數加一個正數，所得的和與這個數有怎樣的大小關系？一個數加一個負數呢？此時回答第三個問題，學生主要是根據生活經驗解釋或通過更多的實例驗證。而在學習不等式的基本性質后，新教材進一步提出代數推理的要求：“利用不等式的基本性質證明：一個數加一個正數，所得的結果比原來的數大。”又如，學生在小學已經熟知能被3整除的數的特征。對此，新教材通過“嘗試·思考”欄目要求學生解釋規律的正確性。學生需要將數用代數式表示，然后通過適當的變形證明結論。

（二） 注重代數推理過程中合情推理與演繹推理的融合

不是所有問題都先有明確的結論的，有些問題先要猜想結論。因此，新教材設計一些“先合情推理，再演繹推理”的完整活動，讓學生體會兩者之間的關系，把握不同的推理要求，在進行合情推理時思考“合情”的理由，在進行演繹推理時尋找“合理”的證法。例如，對二次根式運算性質的探究，先從若干具體數的運算引發猜想，進而借助計算器計算更多的算式驗證猜想，這是一個比較充分的歸納推理過程。在此基礎上，新教材進一步提出“用字母表示你發現的猜想，你能說說這個猜想為什么正確嗎？”學生可以利用實數的運算法則和運算律（交換律、結合律等）說明 a · b = ab" a≥0，b≥0 ，" a"" b" =" a b" （a≥0，bgt;0）。由此，讓學生經歷從合情推理到演繹推理的完整過程，養成嚴謹的思維習慣（詳見八年級上冊第41頁）。

四、 滲透幾何直觀，劃分不同類型發展幾何直觀素養

幾何直觀的教育價值至少包括兩個方面：（1）認識論方面。很多重要的數學概念（知識）都具有雙重性，既有“數的特征”，又有“形的特征”，只有從兩個方面認識它們，才能很好地理解它們、掌握它們的本質。（2）方法論方面。幾何直觀是思考問題、解決問題的思維方式之一，不僅有助于探索問題解決的思路，還有助于獲得對數學的直觀理解，把握問題的本質。基于幾何直觀的教育價值，新教材將幾何直觀的主要類型分為四種，并在具體內容中加以滲透。

（一） 直觀表征

即借助圖形表達數學對象，側重于對數學對象“形”的表達。新教材對數學對象的直觀表征包括兩種情況：（1） 引入數學對象時，借助圖形直觀地呈現促進對象形成的素材；（2） 引入數學對象后，借助圖形對其進行直觀表征。

（二） 直觀分析

即借助圖形分析數學問題，側重于利用圖形尋求解決問題的思路。有些問題數量較多，數量關系比較復雜，表述也可能增加了無用或干擾信息。對此，需要用適當的方式將有關的數量及其關系更好地表示出來，以便 于基于數量關系建立相應的模型解決問題。此時，圖表等可以直觀、形象地呈現數量關系，幫助分析問題。例如，在方程應用問題中，新教材基于題目的信息，畫出相應的線段圖，使數量關系明顯可見。

（三） 直觀解釋

即借助圖形描述數學結論或問題的結果，側重于對獲得的結果賦予“形”的解釋，從而豐富對數學對象的理解。數學公式可以通過代數運算得到，這是代數思維的體現，但是如能借助圖形進行直觀解釋，就可讓公式變得形象直觀，便于學生理解記憶，甚至引發更為一般的推廣；同時，數形結合也可以促進學生思維的發展，促進不同知識領域的融合。例如，新教材在基于代數運算得到完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²后，引導學生借助圖形進行幾何解釋。這樣的解釋形象、直觀，而且可以引發對（a-b）²的猜測，甚至可以引發優秀學生猜想（a+b+c）²、（a+b）³的幾何解釋和代數表達。

（四） 直觀發現

即借助圖形直觀整體地把握研究對象，發現數學結論。一般有兩種情況：（1） 根據求解（證明）的結論構建數學問題的直觀模型，直接獲得問題的解答；（2） 根據直觀圖形發現數學結論。例如，新教材在“有理數的乘方”一節中，設計了一道“聯系拓廣”類習題：

如圖2，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分①是邊長為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推。

（1） 陰影部分的面積是多少？

*（2） 受（1）的啟發，你能求出 1 2 + 1 4 + 1 8 +…+ 1 26 的值嗎？

根據問題的特點賦予直觀背景，使問題的解決簡明、直觀：從圖中可以看出，所要計算的式子實際上就是正方形①②③④⑤⑥的面積和，顯然結果等于1－ 1 26 。

五、 體現模型學習的全過程，促進模型觀念的建立

數學建模是數學應用的基本方式。新教材在設計與數學建模有關的內容時，采用了如下基本模式：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，利用數學符號建立相應的方程、不等式、函數，再求出結果并討論結果的意義。這一過程充分體現了“三會”表達的核心素養，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。方程、不等式與函數是三個重要數學模型，是初中階段發展模型觀念的主要載體。

（一） 注重概念的形成過程，感悟數學模型的含義

方程、不等式、函數是解決問題的基本模型，具有一般化的意義。新教材為學生提供了豐富素材，引導他們從大量的實際情境中抽象出數量關系，建立刻畫實際情境的數學模型，形成方程、不等式、函數等概念。這一過程可以很好地讓學生感悟數學模型的含義，發展學 生的抽象能力、模型觀念以及應用意識。例如，對方程的概念，新教材先通過對多個實際問題的分析，尋找等量關系，建立方程，讓學生體會方程的模型意義；在此基礎上，再給出一般的方程概念以及具體的一元一次方程概念（詳見七年級上冊第136—137頁）。

（二） 關注模型的研究過程，結構化地認識數學模型

對于方程、不等式的求解，函數的圖像與性質，方程、不等式、函數之間的關系等，新教 材注重保持不同內容研究過程的一致性，以便研究方法能夠遷移，從而達成研究過程的結構化。例如，幾個具體函數的研究都按照感知函數關系、概括函數概念、研究函數圖像與性質、運用函數解決問題（包括建立函數與方程、不等式的關系）這樣的順序展開。再如，對幾個具體函數的圖像與性質，都采取由特殊到一般的研究思路，通過畫出圖像、分類、觀察、歸納等方法研究函數的性質。此外，新教材注重揭示函數與方程、不等式之間的內在聯系，設計專門的課時，從而更好地實現結構化。

（三） 注重模型建構過程，感悟模型建構的思想方法

模型觀念的形成需要通過解決實際問題，經歷數學建模的完整過程。新教材在方程、不等式、函數的內容中，都設計了專門的應用內容，要求學生根據實際問題的條件，分析數量關系，構建具體的模型，進而解決問題。新教材特別注重讓學生經歷數學建模的全過程：讀懂問題、分析問題中涉及的量及其關系、建立數學模型、求解模型、回到原始問題對解進行檢驗。同時，新教材關注分析問題的思路和方法，鼓勵學生自主發現、提出新的問題，促進學生模型觀念的發展。

參考文獻：

［1］江守福，章飛，顧繼玲.初中代數學習中發展學生推理能力的著力點分析與建議［J］.數學通報，2021（11）：21-24.

（顧繼玲， 南京師范大學教師教育學院，教授。 馬 復， 南京師范大學教師教育學院，教授。 章 飛， 江蘇第二師范學院課程與教學研究所，教授。）