數學文化視角下基于“大概念”的三角函數概念教學

[摘" 要] 在新課程改革的推動下，數學教學越來越關注學生的主體性作用，注重培養學生的創新思維和遷移能力. 在數學教學中，教師要突破以往零散的課時教學的束縛，從整體視角出發，合理滲透數學文化，引導學生經歷知識形成、發展、應用等過程，逐漸完善認知結構，發展自學能力，落實數學學科核心素養.

[關鍵詞] 創新思維;遷移能力;整體;數學文化

新課標指出：高中數學教學應以學科大概念作為課程內容結構化的核心，促進學生學科素養的落實. 與此同時，新高考亦日益重視對學生全面能力和綜合素養的評估. 依照新課標和新高考的改革要求，高中數學教學應擺脫以往只重視單獨知識點講解的教學模式，而應采取基于整體概念的教學策略，合理地融合教材內容，進行創新的教學設計. 這樣不僅有助于學生深入理解數學知識，更能促使他們建立起系統的知識結構，從而提升知識遷移和應用的能力. 三角函數作為高中數學最重要的函數模型之一，其有著豐富深刻的文化內涵. 因此，在教學中，教師除了傳授相關知識外，還應適時地融入數學文化，協助學生理解數學在人類文明進步中的作用，豐富課堂教學內容，激發學生的學習熱情.

教學分析

1. 三角函數單元分析

三角函數是周期函數的一類典型代表，是函數主題的重要組成部分. 三角函數單元以任意角與弧度制為開篇，引導學生經歷從“夾角”到“旋轉角”的轉變、從“六十進制”到“十進制”的演進，為深入研究三角函數打下堅實的基礎. 通過教學“任意角和弧度制”，讓學生清楚地認識到“圓周運動是一種普遍存在的周期性變化現象”. 以此為起點，教師可以提出問題：“如何刻畫圓上點P的位置變化？”從而引導學生依托單位圓的幾何特征進行代數轉化，使學生在函數“對應說”的指導下，建立角α與點P的坐標之間的對應關系. 這有助于學生明晰任意角三角函數與銳角三角函數的區別與聯系，加深對三角函數概念的理解，為后續探索三角恒等式和三角函數性質等問題奠定基礎.

2. 學生認知分析

對于三角函數，學生并不陌生. 在初中階段，學生就已經學習并掌握了銳角三角函數，但學生對三角函數的理解是在直角三角形的框架內構建的. 學生雖然能夠應用相關知識解直角三角形，但是無法辨認誰是自變量，誰是函數值，說明他們并沒有真正地將自變量和函數值建立起對應關系，無法將銳角三角函數作為一類函數模型納入認識結構中. 因此，在任意角三角函數的教學中，教師應重視引導學生領悟其中的對應關系，并從函數的視角構建知識. 通過對比新舊知識，加深學生對三角函數概念的理解.

教學設計

1. 創設情境

問題1 現實生活中的許多運動、變化都有著循環往復、周而復始的規律，這種變化規律稱為周期性. 你能列舉一些生活中有著周期變化的現象嗎？

學生活動：學生思考，給出許多實例，如摩天輪旋轉、四季更替、晝夜變化等.

設計意圖 以現實生活為背景，引導學生提煉日常生活中周期現象的共性特征，從而讓學生更深入地理解周期性變化規律.

問題2 如圖1所示，你知道它是什么嗎？它是做什么的？理論依據是什么？

師生活動：教師組織學生交流，引導學生利用已學知識分析其原理.

設計意圖 以古代發明為背景，引導學生體會其中所蘊含的循環往復的變化. 首先，觀察影子長度的變化：在一天之內，影子會經歷從長到短，再從短變長的過程，其中正午時分影子最短. 其次，探究影子方向的轉變：通過影子的位置，可以判斷當前是上午還是下午. 在我國，早晨影子指向西方，中午時分指向北方，而傍晚則指向東方. 在此過程中，教師引導學生結合已有知識和經驗，輕松得出圖2，并將其與銳角三角函數聯系起來，把陌生問題轉化為熟悉問題. 適時地融入數學文化，不僅能讓學生深刻體驗到數學在日常生活中的應用價值，還能有效地激活學生對銳角三角函數的學習經驗.

問題3 教師播放摩天輪轉動視頻，讓學生思考：如圖3所示，如果把摩天輪看成一個圓，點P在圓上以點A為起點逆時針旋轉，形成一個角α，如何用角α刻畫點P的位置變化情況？

設計意圖 通過研究摩天輪的運動，以培養學生的數學建模意識. 刻畫點P的位置變化情況有多種方式，如點P的坐標、角α的大小等. 這里通過設問，明確了具體的研究任務，為探索指明了方向.

2. 抽象概念

問題4 如何才能分別定量地描述角α的大小與點P的位置？

設計意圖 教師引導學生先建立平面直角坐標系（如圖4所示），然后用點P的坐標來描述角α的大小，把問題指向函數模型的建立.

問題6 若給定一個角α，點P的坐標是否唯一確定呢？

師生活動：學生先獨立思考，然后進行組內交流. 學生結合圖形及任意角的概念可知，當角α確定時，角α的終邊與單位圓的交點P的位置唯一確定，即點P的坐標唯一確定.

設計意圖 此環節，教師從幾個特殊角出發，引導學生直觀感受α與有序實數對之間的對應關系，感悟利用點的坐標刻畫角α大小的合理性. 在此過程中，教師引導學生從特殊到一般進行抽象思考，傳授從特殊到一般的思想方法.

問題7 點P的橫坐標x是角α的函數嗎？點P的縱坐標y是角α的函數嗎？

師生活動：學生結合探究經驗易于發現，只要角α是確定的，那么其橫坐標x和縱坐標y都是唯一確定的，所以點P的橫坐標x和縱坐標y都是角α的函數.

設計意圖 引導學生發現角α與點P的橫坐標x和縱坐標y之間的函數關系，逐步抽象三角函數的定義.

追問：在單位圓中構造Rt△POM（M為點P在x軸上的射影），由此你有什么發現？

設計意圖 從教材的編排來看，明確x和y是α的函數后，直接給出了三角函數的概念，這可能會讓學生產生疑惑：這里所學的三角函數與初中所學的銳角三角函數是一樣的嗎？為幫助學生解決疑惑，教師從特殊角三角函數出發，引導學生構造直角三角形，將新知與舊知聯系起來，使新知學習變得有跡可循. 通過深入挖掘新知與舊知的區別與聯系，可促使學生更深入地理解正弦函數和余弦函數的內涵，從而促進他們個體知識結構的完善.

3. 概念辨析

問題10 與初中所學的銳角三角函數的定義相對比，說說你的發現.

師生活動：教師引導學生利用圖形語言和符號語言來描述初中所學的銳角三角函數和高中所學的任意角三角函數，鼓勵學生從角的范圍、表達形式等角度進行分析，以此幫助學生深層次地理解三角函數的概念. 當然，在新知與舊知相對比的過程中，教師還可以講述三角函數的發展史，使學生深刻理解知識的研究與積累是一個漫長而復雜的過程. 這種方法有助于引導學生采用發展性和聯系性的視角來分析問題，從而培養他們正確的學習觀，并激發他們探索知識的熱情.

師生活動：教師引導學生將△OAP平移到平面直角坐標系中，利用相似三角形的知識證明f（α）=cosα，g（α）=sinα.

設計意圖 引導學生運用辯證思維方法來分析問題，有助于他們建立正確的理解，并構建起三角函數概念體系，從而優化他們的認知結構.

4. 概念應用

設計意圖 引導學生利用三角函數的概念解決問題，以此幫助學生鞏固概念，增強學生的應用意識. 在學生給出解題過程后，教師預留時間讓學生歸納總結求三角函數值的方法. 這樣做不僅鞏固了學生的基礎知識，還培養了學生的歸納總結能力，從而實現“做一題，通一類”的效果.

例2 如圖6所示，在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）是任意角α的終邊上一點，且點P到原點的距離為r（r≠0），試求角α的正弦值、余弦值和正切值.

設計意圖 通過變式探究，拓展學生對三角函數概念的認知，發展學生的數學抽象素養，提高學生的綜合能力. 在教學中適當地融入數學文化，引導學生用數學家的思維思考問題，可提升學生學習數學的信心，發展學生的數學素養.

5. 課堂小結

問題10 通過本節課的學習，你掌握了哪些知識與方法？還有困惑嗎？

問題11 你能簡單陳述探究三角函數概念的探究過程嗎？

師生活動：首先，學生獨立進行歸納總結;接著，教師引導學生進行交流討論;最終，教師對討論的內容進行歸納和梳理.

設計意圖 通過課堂小結，引導學生回顧三角函數概念的探究過程，這不僅能加深學生對相關知識和方法的理解，還能培養學生自我構建知識體系的能力以及歸納概括能力，促進學生數學學科核心素養的發展.

教學思考

數學是一門邏輯性極強的學科，教學中教師必須重視學生的數學邏輯體系的構建，關注知識點之間的聯系，并引導學生從宏觀的角度構建數學概念體系. 這樣不僅能夠促進知識的融會貫通，還能有效提升學生分析和解決問題的能力，從而培養學生的數學學科核心素養. 同時，在教學中，教師應以學生現有的認知水平為出發點，引導學生采用聯系的視角來思考問題. 通過設計有效的問題情境，讓學生親歷知識產生、發展和應用的過程，以此加深學生對相關知識的理解，并提高學生的數學抽象、歸納概括、邏輯推理等能力.

例如，三角函數作為函數的一個重要分支，其本質屬性是“對應”. 在教學中，應強調這一屬性，并與指數函數、對數函數等進行對比，幫助學生將三角函數概念融入函數體系. 此外，通過單位圓來研究弧度制、同角三角函數、誘導公式以及三角函數的圖象和性質，可以避免知識碎片化，促進思維有序化，從而提升學生的數學能力和素養.

在教學中，教師應站在學生的視角，設計與學生認知水平相匹配的問題，激發學生的知識經驗，通過對比新舊知識來完善學生的知識體系. 例如，本節課以弧度制、銳角三角函數和函數概念為基礎，引導學生親歷三角函數的抽象過程，加深學生的理解，提升學生的綜合能力. 另外，教師應適當地融入數學文化，幫助學生理解數學的發展歷史，全面認識數學，學習數學家的勤奮精神，增強責任感，提高數學素養.

總之，在高中數學教學中，教師應重視知識間的內在聯系，引導學生從“大概念”的角度構建知識體系，從而加深學生對數學整體性的理解，并提升他們的創新思維與知識遷移能力.