核心素養導向的數學小初銜接教學實踐

摘" 要：“雞兔同籠”作為古代經典數學問題，在小學階段借助直觀畫圖法、列表法得以解決，培養學生初步的數學思維與運算能力.初中階段用方程法和函數法等代數方法深入求解，提升學生邏輯推理能力和數學核心素養.在教學實踐中，通過引導學生從小學的直觀經驗過渡到初中的抽象思維，先讓學生回顧小學算術解法，再逐步引入方程法和函數法，鼓勵學生自主探究不同解法間的聯系，體會數學模型構建過程.這種以核心素養為導向的教學實踐，助力學生平穩完成小初數學銜接，提升數學核心素養，為后續數學學習奠定堅實基礎.

關鍵詞： 核心素養；小初銜接；雞兔同籠

基金項目：

福建省教育科學規劃辦2023年度立項課題“從教走向學：初中數學‘閱讀·思考·表達’能力培養的路徑研究”（項目編號：FJJKZX23-144）；2024年福建省基礎教育課程教學研究課題“從教走向學：基于思維可視化的數學整體教學實踐”（項目編號：MJYKT2024-168）.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版新課標”）在“課程實施”部分明確指出：“核心素養是在長期的教學過程中逐漸形成的，核心素養在不同學段的主要表現體現了核心素養的階段性和各個階段之間的一致性.”［1］小學、初中不同階段的教材中常常設置相同的知識內容或者主題材料，其目的就是讓教師在該主題教學的時候，能夠厘清知識內容與核心素養之間的關聯，從核心素養表現的內涵入手，結合學生年齡、心理特點和認知發展規律，選擇相應的解決問題的方法和教學手段.

本文以古代經典數學問題“雞兔同籠”為例，以核心素養的模型思想為主要載體，具體在小初銜接教學中聚焦于核心素養表現、教學內容結構、數學思想方法、學生學習路徑等四個一致性路徑來進行學科教學實踐.

1" 核心素養導向的小初銜接教學理論基礎

核心素養導向的教學要求教師必須具有一致性理念.教師要關注教學內容的一致性，厘清小學、初中前后關聯的知識內容之間存在著本質相通的原理，就是所謂的“通性”，還要求關注內容學習的基本路徑及知識內容背后的數學思想方法的一致性，也就是所謂的“通法”.“雞兔同籠”在小學、初中重復出現，目的是培養學生的模型思想.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）將模型思想界定為“是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義”.［2］2022版新課標則將“模型思想”細化為兩個模塊，分別為“模型意識”與“模型觀念”.［3］小學階段側重培養學生的“模型意識”，重點在于對數學模型有一個初步的認識和感悟，以及運用；初中階段側重培養學生的“模型觀念”，重點在于對數學模型認識的進一步提升，能夠結合實際情境靈活運用模型.二者均是以“學會用數學的語言表達現實世界”為核心素養的培養目標.

2" 核心素養導向的小初銜接教學實踐路徑

核心素養導向的小初銜接教學，可以從核心素養表現的一致性、教學內容結構的一致性、數學思想方法的一致性、學生學習路徑的一致性等四個方面來進行教學實踐.［4］在“雞兔同籠”主題教學設計時，根據不同教材的對比研究，發現在小學階段中低學段所采用的方法有畫圖法、列表法；小學中高學段采用靈活列表法（逐一列舉、取中值列舉、跳躍列舉）、假設法、面積法；初中階段采用方程法、函數法.通過這些內容的教學最終培養學生模型意識和模型觀念. 三個階段同一主題下的教學，從小初銜接的四個實踐路徑來分析，具體呈現如表1所示.

3" “雞兔同籠”主題下的小初銜接教學設計

本課時教學內容選自北師大版《義務教育教科書數學八年級上冊》第五章《二元一次方程組》的內容，本節課為章復習課，班級學生整體水平較高，思維活躍.教學設計采用任務驅動下的問題教學，共設計5個任務，9個問題，包含在大問題下設置不同的追問，旨在引導學生走向更深的思考，通過對比提煉出小初銜接的內容本質和通性通法.

任務1：古典問題，多種解法.

原題" 我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？ ”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？

問題1" 針對“雞兔同籠”這個經典問題，你還記得小學階段曾經采用過哪幾種方法來解決這個問題呢？

教學預設學生有以下四種代數解法：①假設全是雞；②假設全是兔；③假設腳減半；④枚舉法.這四種解法均為學生小學已經學過的方法，具體解法和詳細過程本文不再贅述.

【設計意圖】本節課以中國經典的“雞兔同籠”問題引入課題，為算術法和二元一次方程組之間的微妙關系埋下伏筆.不同層次的學生可以根據自己的水平層次采用不同的方法來解決問題，在后續分享過程中，全體學生可以達到一個相對均衡的高度，提高學生的學習積極性，增強學生的文化自信.

問題2" 如果設雞有x只，則兔有（" ）只（用含x的代數式表示），若用一元一次方程解決這個問題，則可以得到方程（" ），解這個方程可得x=（" ），則兔有（" ）只.

【設計意圖】作為復習課，學生對問題中的數量關系已經有了較為充分的認識.教師通過填空題形式引導學生運用一元一次方程去解決問題，讓學生充分感受一元一次方程與算術法的關聯，也為后面的二元一次方程組進行類比作好鋪墊.

問題3" 若設雞有x只，兔有y只，請先填寫表2，然后列二元一次方程組解決這個問題.

分析：新授課和復習課的重點均是找等量關系，即雞頭數+兔頭數=35，雞腳數+兔腳數=94，以及隱含的等量關系，即腳的總數=兔的只數×4+雞的只數×2.

解析：由題意得二元一次方程組x+y=35，①

2x+4y=94.②

【設計意圖】由用一元一次方程解決問題過渡到用二元一次方程組解決問題，作為章復習課的設計，直接設兩個不同未知數，引導學生從二元一次方程組的視角去分析和解決問題，凸顯本章的核心知識“二元一次方程組及其解法”.

任務2：解方程組，整合知識.

問題4" 在運用消元法解該方程組的過程中，對比前面的小學算術法，你是否發現它們之間內在的關聯？

追問1" 對比消元法與一元一次方程法，你發現它們之間有什么關聯？

解析：由①得x=35-y ③，把③代入②得2×（35-y）+4y=94，y=12.把y=12代入③得x=23.

【設計意圖】本題實際上延續了小學的假設法，體現出數學學習的過程從小學到初中是一脈相承的.初中階段是把“雞”或“兔”假設成一個未知數x或y，體現了數學學科的符號意識，凸顯了數學核心素養.本題也考查了數學建模意識，用數學語言清晰、準確地表達建模的過程，比小學階段的認識深入一些.同時，教給了學生用數學的視角分析問題，用數學的方式去思考問題.

追問2" 對比消元法中的①×2與假設全是雞兩種方法，你發現它們之間有什么關聯？

解析：由①×2得2x+2y=70④.②-④得（2x+4y）-（2x+2y）=94-70，化簡得2y=24，即y=12.把y=12代入①得x=23.

【設計意圖】受假設法的啟發，教師引導學生將該算術法的思想遷移到解二元一次方程組中，即擴大①式未知數x的系數，使得兩式中未知數x的系數相同，兩式相減消去x，將“二元”轉化成“一元”進行求解.

追問3" 對比消元法①×4與假設全是兔兩種方法，你發現它們之間有什么關聯？

解析：由①×4得4x+4y=140⑤.

⑤-①得（4x+4y）-（2x+4y）=140-94，化簡得2x=46，即x=23.把x=23代入①得y=12.

【設計意圖】與追問2一樣，擴大①式未知數y的系數，使得兩式中未知數y的系數相同，兩式相減消去y，也可以將“二元”轉化成“一元”進行求解.

追問4" 對比消元法②÷2與假設腳減半兩種方法，你發現它們之間有什么關聯？

解析：由②÷2得x+2y=47⑥.⑥-①得（x+2y）-（x+y）=47-35，化簡得y=12.把y=12代入①得x=23.

【設計意圖】受“假設腳減半”的啟發，教師引導學生將該算術法的思想遷移到解二元一次方程組中，即利用等式的性質縮小②式中未知數x的系數，使得兩式中未知數x的系數相同，兩式相減即可達到“消元”的目的.

任務3：數到字母，通性通法.

問題5" 請嘗試觀察“雞兔同籠”類型的問題本身具有什么結構特點，用自己的語言描述你的發現.

問題6" 請自行命制一道“雞兔同籠”類型的應用題，然后列二元一次方程組進行解答.

追問1" 對于“雞兔同籠”類型的問題，你可否找到能夠列二元一次方程組的方法進行求解的一般性解法？

提示：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數有35（改為a）個頭，從下面數有94（改為b）只腳，問籠中各有幾只雞和兔（用含a和b的字母來表示）？

解析：根據題意可以列出方程組

x+y=a，

2x+4y=b.這里的字母a，b均為正整數，且滿足b大于2a且為偶數.

同樣，可以根據消元法得到結果，x=2a-0.5b，y=0.5b-a.

追問2" 此處的雞和兔，還可以進行適當的替換，經常被替換的“雞兔”原型如表3所示.

【設計意圖】通過不同類型的練習，教師帶領學生鞏固本章節復習的內容和基本思想，抓住該類問題的本質特征來解決實際問題.提煉出該類問題的一般模型和建構一般觀念下解決該類方程的基本套路.

任務4：變化過程，函數表達.

問題7" 除了前面幾種方法求解問題，小學階段我們還采用列表法來解決“雞兔同籠”的問題，下面是班級某一位同學的列表數據（見表4）.

根據上面的列表過程，你可以用函數法來求解本題嗎？

分析：在小學學習階段我們是根據上面列表法（枚舉法）可知，從雞的只數為0，兔的只數為35開始，分別計算腳的總數為2×0+4×35=140，直到腳的總數出現94時，即為答案.到了初中，我們從列表中可以發現有以下兩個規律.

（1）雞的只數每增加1時，兔的只數就減少1，這個變化過程是有規律可循的，而且這個變化限定在35的范圍內，也就是雞兔總數為35只，來控制整個變化過程.

（2）腳的總數變化也是有規律可循的，隨著雞的只數每增加1時，腳的總數隨之減少2，這個變化是可以用函數來表示的.這個變化符合函數的三個要素，雞兔腳的總數隨雞的只數變化，這個變化過程中兩個變量，雞的只數確定時，腳的總數隨之有唯一確定的值與之相對應，所以雞兔腳的總數是關于雞的只數的函數.

解法一：若設腳的總數為y，雞的只數為x，則這個變化規律可以用一次函數y=-2x+140（0≤x≤35，且x為整數）來表達.因為腳的總數為94，即y=94代入這個函數解析式

即可得到x=23，則兔的只數為35-23=12.

解法二：根據方程和函數之間的關系可以直接得到，設雞為x只，則兔為（35-x）只，腳的總數y=2x+4（35-x），經過化簡可以得到y=-2x+140（0≤x≤35，且x為整數）.

解法三：針對部分理解困難的學生，先由變化規律發現是一次函數，設解析式為y=kx+b（k，b為常數，且k≠0），用待定系數法即可求解.

【設計意圖】學生在小學經歷過列表法來尋找答案的過程，訓練學生直觀感知能力和邏輯推理能力，但是對于雞兔總數比較大的情況會顯得相對比較復雜.初中階段學生通過變量之間的關系、一次函數的學習，已經知道列表本身就是函數表達的一種重要方式，所以根據列表求函數解析式，再解決相應的問題就順理成章.

任務5：課堂小結，分享收獲.

問題8" 結合“雞兔同籠”問題，你認為小學和初中的學習過程中最大的不同點在什么地方？

問題9" 從方程與函數關系角度出發，談談通過本節課學習你有哪些收獲.

【設計意圖】 通過課堂小結進行反思和總結小學與初中數學學習的不同點，促進學生數學思維品質的提高，形成系統的單元結構化的知識框架，小初銜接從知識到方法，從思想到能力培養，從常量到變量，通過本節課學生再次體會從代數式到方程再到函數的內在一致性，在學習過程中滲透大單元教學的理念.

4" 核心素養導向的小初銜接教學思考

數學小初銜接教學的切入點很多，除了緊扣核心素養表現的一致性、教學內容結構的一致性、數學思想方法的一致性、學生學習路徑的一致性四條路徑，教師還可以關注以下幾個方面的問題.

4.1" 關注小初相同主題內容的銜接教研

小初銜接教學可以從教材內容作為切入點，選擇小學和初中都有的主題，結合這些主題背后所表達的編寫意圖，特別是核心素養在小學和初中的表現形式，以及背后所蘊含的基于“三會”的本質.除了“雞兔同籠”，還有“楊輝三角”“尋找規律”“三角形內角和為180°”“四邊形和特殊的四邊形”等相關主題和內容，可以嘗試用主題式教研的方式，讓小學教師和初中教師就同一個主題內容進行教學展示.通過這樣的教研活動才能真正讓小學、初中教師近距離地了解彼此，走進對方.

4.2" 明確核心素養導向的整體教學目標

“雞兔同籠”這一主題，在小學和初中教材都有多次重復出現，需要教師在教學中根據核心素養的整體性、一致性和階段性，清晰核心素養的具體表現，確定以核心素養為導向的單元教學目標，從核心素養表現的整體性和階段性出發，制定不同學段的教學目標，最終實現相同主題育人和核心素養落地的目標.

4.3" 用任務驅動的問題推動課堂教學實施

在核心素養導向的整體教學目標明晰的基礎上，教學必須落實到每一個課時，在每節課的教學實施過程中，需要把目標分解為不同的任務，采用任務驅動的問題教學法，通過設置情境、布置任務、提出問題，并且不斷追問的方式把學生的思維引向深處，在學生獨立思考，團隊合作，師生問答等活動中讓思維在課堂上真實可見，學生的思維生長在課堂上真實發生.

參考文獻

［1］［3］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［4］ 段振富，林茜.一致性視角下的函數主題教學的思路、結構與實踐——以人教A版普通高中教科書數學“冪函數”為例［J］.福建基礎教育研究，2024（4）：49-52.