核心素養導向下指向學力發展的教學路徑探索

［摘" 要］ 隨著新課改的深入推進，培養學力、提升核心素養是當前學科教學的重中之重. 然而，學力的培養和核心素養的提升并非一蹴而就，需要長期的探索與積累. 文章以“函數的奇偶性”教學為例，從“利用情境，導入新課”“問題驅動，構建概念”“例題探索，應用概念”“總結提煉，反思升華”四個方面展開實踐，引導學生感悟知識間的內在聯系，從而真正提升學力.

［關鍵詞］ 奇偶性；學力；問題；核心素養

核心素養導向下的學科教學將學力培養放在首位，然而學力的形成無法一蹴而就，這需要教師在深入理解學生和教學情況的前提下，運用恰當的問題激發學生的思維，引導他們在自主探索的過程中發現、體驗并深刻理解知識的脈絡，實現深度學習并提升學力. “函數的奇偶性”是高中階段的重要基礎知識之一. 在教學過程中，引導學生積極參與教學活動，通過逐步深入的探索，領悟知識的本質，這不僅能夠提升學力，還能促進核心素養的發展.

教學過程設計

1. 利用情境，導入新課

如圖1所示，教師在課堂的起始階段利用多媒體向學生展示一系列美麗的圖片，讓學生初步感知生活中的對稱現象，為本節課的教學做鋪墊.

師：通過觀察圖片，相信大家都感受到了生活中所存在的對稱現象. 本節課我們將一起探索數學中的對稱現象. 現在，請大家取出課前準備好的網格紙，在紙張上作一個平面直角坐標系，并在坐標系內畫出函數y=x²與y=x的圖象.

問題1 這兩個函數圖象具備什么共同特征？

生1：這兩個函數圖象看起來均關于y軸對稱.

師：這是你們通過直觀觀察所發現的對稱性，但所畫出來的圖象僅是函數的一部分. 那么，那些未被畫出來的部分是否也具有對稱性呢？請給出理由.

生2：應該具有對稱性，但我不會描述.

師：直觀感知的對稱性是從函數的“形”方面著手分析的，但由于函數圖象具有無限延伸的特性，因此我們無法通過翻折明確其對稱性. 那么，我們是否可以從“數”的維度來探索函數的對稱性呢？

通過合作交流，有學生提出了以下想法：將函數圖象視為點的集合，并探究圖象上的點在沿y軸翻折后，是否能與另一個點完全重合. 簡而言之，即驗證圖象上的點關于y軸對稱的點是否也位于該函數圖象上.

師：有道理！若以函數y=x2為例，可以怎么描述這一特征？

生2：從函數y=x2中選取幾個特殊點，如點A（2，4），該點關于y軸對稱的點為A′（-2，4），易知A′（-2，4）同樣位于函數y=x2的圖象上……

師：函數圖象是由無數個點組成的，是不是選取幾個特殊點就能充分說明問題呢？

生2：可將特殊點轉化為一般點，即探索函數y=x2圖象上的點P（a，a2）關于y軸對稱的點P（-a，a2）也位于其圖象上，從而確定函數y=x2的圖象關于y軸對稱.

教師高度評價了“從特殊到一般”的思想方法，并強調在面對“無窮”且難以逐一驗證的問題時，可以采用“隨機抽樣”的方法進行分析. 對于函數y=x圖象的對稱性的研究，可以參考函數y=x2的研究過程.

設計意圖 通過豐富的圖片吸引學生的眼球，使他們迅速注意到圖形的“對稱性”特征，從而引入函數的對稱性，這一過程顯得自然. 學生通過合作與交流的方式，分別繪制了函數y=x2和y=x的圖象，并習慣性地從“形”的維度進行分析，但遇到“無窮”問題時，他們意識到僅憑圖形分析是不夠的. 由此，自然而然地將學生的思維推入到“數”的探索中來，凸顯了數形結合以及從特殊到一般的數學思維方法的重要性，為深入理解函數的奇偶性打下了堅實的基礎.

2. 問題驅動，構建概念

（1）探索偶函數

問題2 通過以上探索，可知y=x2和y=x的圖象均關于y軸對稱，且定義域均為R. 從函數的解析式來看，其所涉及的運算法則包括平方和絕對值，那么這兩者是否具有共同點呢？

生3：有，從運算法則來看，若兩個數互為相反數，則它們的平方是相等的. 同樣，它們的絕對值也是相等的.

師：從“輸入”與“輸出”的角度該怎么解釋？能否用符號f來表示？

生4：輸入：互為相反數的兩個數；輸出：值具有相等的關系. 表示為f（－x）=f（x）.

師：非常好！這是我們本節課探討的一個重要概念——偶函數（投影展示定義，略）. 請列舉幾個偶函數的例子.

生5：y=3x2，y=x2，y=x……

師：這些都是大家所熟悉的偶函數，有同學能構造出其他類型的偶函數嗎？

生6：y=x8，y=x6，y=x4.

師：這些函數具有什么共同點？

生7：函數中均包含偶次方，難怪被稱為偶函數.

（2）探索奇函數

問題3 現在請大家繼續在網格紙上畫出函數y=x和y=x/1的圖象，根據以上探索經驗分析這兩個函數的對稱性，并命名且給出完整的定義.

學生通過自主作圖和探索，得出結論：兩個函數圖象均關于原點對稱，以函數y=x/1為例，任取其圖象上的一點Pa，1/a，該點關于原點對稱的點為P′-a，-1/a，顯然點P′同樣位于該函數圖象上，由此確定y=x/1為一個關于原點對稱的函數. 可用數學符號f（－x）=－f（x）來表示.

師：太棒了！由此可抽象出奇函數的定義嗎？

生8：通過類比偶函數的定義，我們可得奇函數的定義如下：設函數y=f（x）的定義域是A，對任意x∈A均有f（－x）=－f（x），則y=f（x）為奇函數.

教師將奇函數的定義展示在偶函數定義的下方，并要求學生自行列舉幾個奇函數的例子，闡述奇函數所具有的特征.

生9：例如y=x7，y=x5，y=x3等，奇次方是這些函數的共同特征.

（3）深入探索

問題4 已知函數f（x）的定義域為R，如果f（－2）=f（2），那么函數y=f（x）是不是一定為偶函數？

生10：雖然偶函數的形式為f（－x）=f（x），但f（－2）=f（2）只能說明一個特殊值滿足該形式，其他自變量有可能并不滿足這一形式，該函數不一定為偶函數.

師：不錯，如果明確函數f（x）是偶函數，那么f（－2）=f（2）必定成立嗎？

生11：成立，這是偶函數中的一個特定值情況.

師：如果f（－2）≠f（2），那么函數f（x）一定不是偶函數. 這種說法對不對？

生12：既然已經發現一個特定值無法滿足f（－x）=f（x），根據偶函數的定義，我們可以確定該函數并非偶函數.

師：如果f（－2）=f（2），那么函數f（x）一定不是奇函數. 這種說法對嗎？

生13：如果f（－2）=f（2），那么f（－2）≠－f（2），根據奇函數的定義，可知函數f（x）不是奇函數. 因此這種說法是正確的.

生14：我認為這種說法是錯誤的，題設條件并沒有明確規定f（－2）≠ －f（2），若f（－2）=－f（2）=0，這就滿足了奇函數的定義. 因此這種說法不準確.

師：看來大家的思維越來越縝密了，接下來我們繼續往下探索.

問題5 已知函數y=x2，x∈R為偶函數，如果將其定義域更換為［－2，1］，那么函數y=x2依然為偶函數嗎？說明理由.

生15：不是，在此條件下的函數y=x2不再關于y軸對稱.

生16：我也認為不是，理由是f（2）沒有意義，當x=－2時，f（－x）≠f（x），顯然有悖于偶函數的定義.

教師對這兩名學生的觀點表示了充分的肯定，并強調通過舉反例來解決問題是一個重要方法. 同時，教師要求學生結合之前的探討，分析一個具有奇偶性的函數應如何定義，并分別闡述這類函數的特征.

生17：主要從定義域著手，若函數f（x）的定義域為R，可確保f（x）和f（－x）都有意義.

生18：若將上述問題中的定義域更換為［－1，1］或［－2，2］，則f（x）和f（－x）同樣都有意義.

師：很好！具有奇偶性的函數，其定義域必定關于原點對稱. 相反地，如果一個函數的定義域不滿足關于原點對稱的條件，那么我們可以斷定該函數不是奇偶函數.

設計意圖 以探索偶函數為起點，引導學生自主地將探索方法遷移到奇函數的探索中，順利揭示了偶函數與奇函數的定義. 隨著師生積極的互動，學生在一系列問題的驅動下，通過分別對不同函數的探索，明確了函數在何種條件下具備奇偶性的特征. 這種設計不僅促進了學生思維的深入發展，還為后續探索更多函數問題打下了堅實的基礎，彰顯了課堂的“生本”理念，實現了深度學習.

3. 例題探索，應用概念

例1 分析下列函數的奇偶性：①f（x）=x4－1；②f（x）=4x；③f（x）=3x；④f（x）=（x－1）2.

例2 函數f（x）位于y軸右側的圖象見圖2，請畫出函數f（x）分別為奇函數與偶函數時位于y軸左側的圖象.

在講解這兩道例題時，教師通過例1①向學生展示了一個正確的示范，幫助學生初步掌握判斷函數奇偶性的基本步驟，并鼓勵學生從“數”和“形”兩個角度進行探索與分析，從而掌握一般性的解題程序.

設計意圖 知識點的教學旨在為解題提供支持，而解題教學又能助力學生鞏固知識基礎，兩者相輔相成，共同促進學力的提升. 這兩道例題的講解，旨在指導學生掌握判斷函數奇偶性的通用方法，深入理解數形結合的理念，從而有效提升數學抽象思維和推理能力.

4. 總結提煉，反思升華

師：本節課采用了哪些方法？我們獲得了哪些知識和思想方法？

生19：從“數”和“形”兩個維度來判斷函數的奇偶性，掌握了偶函數、奇函數等概念的定義及其判定技巧.

生20：應用的思想方法包括從特殊到一般、數形結合等.

師：函數的奇偶性屬于一種從整體視域來看的性質，其直觀的圖象具有對稱性特征，這與函數的單調性不一樣，我們將在后續繼續深入研究.

設計意圖 引導學生從多個角度對課堂教學內容和思想方法進行回顧與總結，有助于進一步加深學生對知識的理解，促進學力的提升，并為培養核心素養奠定基礎.

教學思考

1. “以生為本”是引發探究的基礎

新課標明確指出，學生是課堂的主體，因此課堂教學應將“以生為本”落到實處. 基于“以生為本”理念設計的教學活動，不僅能夠觸及學生的“已知”領域，還能依據學生的最近發展區來設計教學計劃，助力學生完成從“未知”到“已知”的轉化過程.

課程開始時，教師通過展示一系列與學生興趣相關的圖片，成功激發了他們的探索欲望；在課堂上，教師依據學生的實際認知水平，引導他們主動歸納出奇偶函數的定義，并鼓勵他們將這些定義應用于函數的判斷和實際問題中，有效地完善了學生的認知結構，提升了他們的學習能力. 此外，課堂上為學生提供充分的探索時間至關重要. 在學生掌握了偶函數的概念之后，他們可以獨立地探究奇函數的概念，因為兩者的學習路徑是相同的.

2. 問題驅動是引發探究的靈魂

課堂是由一系列問題串聯而來的，好的問題具有激疑啟思的作用. 在課堂上，學生在問題的驅動下，經歷生疑、質疑與釋疑的過程，從而有效地提升了思維層次，增強了思考能力. 本課程圍繞5個核心問題展開，每個教學環節都緊密圍繞相應問題進行探索與交流，為學生的探究活動提供了明確的方向. 例如，問題“函數y=x2的圖象未被畫出的部分是否依然具有對稱性”促使學生認識到僅從“形”的角度進行分析是不夠的，由此自然過渡到從“數”的角度進行探索；又例如，要求學生自主闡述并用符號表示“函數y=x2與y=x相對應法則的特性”，這個問題引導學生深入理解并掌握偶函數的本質.

綜上所述，在核心素養的指導下，探索促進學力發展的教學路徑是一項艱巨且長遠的任務. 教師需深入理解學生的實際認知水平，精心設計問題以激發學生的思維，提升他們的思考能力，從而實現深度學習，使核心素養在學生心中生根.