根號的古往今來及其在教學(xué)中的文化滲透*

摘要：數(shù)學(xué)符號在精確表達(dá)數(shù)學(xué)概念、方法和邏輯關(guān)系中具有重要作用.根號符號作為數(shù)學(xué)符號的代表性成果之一，經(jīng)歷了根號符號從古埃及、阿拉伯到歐洲數(shù)學(xué)界的演變過程，可以概括為四個主要發(fā)展階段.基于此探討了如何將根號的發(fā)展融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，以培養(yǎng)學(xué)生的歷史意識和批判性思維.數(shù)學(xué)符號不僅是科學(xué)語言的重要組成部分，也是人類智慧和抽象思維的進(jìn)步體現(xiàn)，學(xué)習(xí)其發(fā)展史對學(xué)生理解和熱愛數(shù)學(xué)至關(guān)重要.

關(guān)鍵詞：根號；發(fā)展史；數(shù)學(xué)教學(xué)；文化滲透

德國哲學(xué)家卡西爾（E.Cassirer）將人定義為符號的動物.他指出，符號化的思維和符號化的行為是人類生活的代表性特征之一.［1］同樣，數(shù)學(xué)符號的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)誕生與發(fā)展的關(guān)鍵標(biāo)志.正如德國數(shù)學(xué)家克萊因（F.C.Klein）所說：“如果沒有專門的符號和公式，簡直就不可能有現(xiàn)代數(shù)學(xué).”［2］使用符號代替文字?jǐn)⑹?，是?shù)學(xué)的一大特征，數(shù)學(xué)符號以其簡潔、優(yōu)雅、和諧和獨特性展現(xiàn)出藝術(shù)與科學(xué)的雙重美感.數(shù)學(xué)符號的演化史是一部引人入勝的史詩，根號符號亦是如此，根號的表示方式主要經(jīng)歷了四個發(fā)展階段，基本符號分別為、l、√以及分?jǐn)?shù)指數(shù).

1早期形式與符號“”

根號符號在數(shù)學(xué)發(fā)展的早期就出現(xiàn)了.平方根的符號“”出現(xiàn)在埃及卡洪城的兩張紙草書上，分別在英國埃及學(xué)家格里菲斯（F.L.Griffith）以及德國學(xué)者沙克沙肯堡（H.SchackSchackenburg）的文章中論及.［3］

9世紀(jì)，花剌子模（AlKhwarizmi）在其代數(shù)學(xué)著作中較系統(tǒng)地討論了二次方程解法，他將二次項（x2）視為主要的未知數(shù)，用阿拉伯語“māl”表示，一次項（x）則被認(rèn)為是“māl”的平方根，被稱作“jidhr”.阿拉伯語中的“jidhr”原意為樹根、基礎(chǔ)或根本.［4］

12世紀(jì)初，許多阿拉伯文著作被翻譯成拉丁文，譯者使用拉丁詞“radix”對應(yīng)阿拉伯語的“jidhr”.“radix”原本也意指樹根或事物的根基.

符號“”首次出現(xiàn)在德國數(shù)學(xué)史學(xué)家、教育家?guī)鞝柎模∕.Curtze）的歐幾里得《幾何原本》拉丁文譯本第十卷的注釋之中，“radix”表示“平方根”.后來，符號“”被廣泛地用于表示“根”，但偶爾也用于表示未知量x的一次冪.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci）的算術(shù)著作和意大利數(shù)學(xué)家盧卡·帕喬利（L.Pacioli）的《算術(shù)、幾何、比及比例概要》中曾既用“”表示“未知數(shù)”，又表示“平方根”.

在被稱為“德累斯頓手稿C.80”的德文手稿中，有一個由小寫字母組成的帶有花體筆畫的符號（如圖1），被一些學(xué)者解讀為在字母r上多加一個筆畫.捷克數(shù)學(xué)家維德曼（Widman）1489年的算術(shù)著作中出現(xiàn)了“”和縮寫形式“ra”.

1556年，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞（N.Tartaglia）廣泛使用了“”，同時還使用括號輔助表達(dá).1575年，意大利數(shù)學(xué)家莫羅利庫斯（F.Maurolico）在其1575年的《數(shù)學(xué)作品集》中用“r.18”表示“18”.可見在16世紀(jì)的意大利，符號“”已被廣泛使用.

雖然直到17世紀(jì)末，一些著作中“”依然被使用，如1690年維塔利斯（H.Vitali）在其文章《代數(shù)》中用“R2”表示立方根，但使“”逐漸失去其主流地位，取而代之的是符號“√”的普遍流行.

2符號“l(fā)”

公元2世紀(jì)，羅馬測量員尼普蘇斯（J.Nipsus）在數(shù)學(xué)中引入拉丁文“l(fā)atus”表示根號.法國教育改革者拉姆斯（P.Ramus）用符號“l(fā)”表示根號，如“l(fā)27adl12”為“l(fā)75”，即27+12=75.

舍納（L.Schoner）1592年的《算術(shù)兩卷和代數(shù)學(xué)兩卷》中，用“l(fā)c4”表示34，這種寫法代替了拉姆斯的“l(fā)l5.”.

值得注意的是，舍納賦予了“l(fā)”更廣泛的含義，即“5l”和“l(fā)5”分別表示“5x”和“5”.當(dāng)“l(fā)”后面沒有數(shù)字時，“l(fā)”代表未知量的一次冪.法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F.Vieta）也使用拉姆斯的符號“l(fā)”，他不傾向于用“”或“√”來表示根.1624年，英國數(shù)學(xué)家布里格斯（H.Briggs）分別用l、l（3）、ll表示平方根、立方根和四次方根，但這種在根式運(yùn)算中使用字母“l(fā)”的做法從未廣泛流行.在發(fā)明對數(shù)后，“l(fā)”被用于表示對數(shù).

3符號“√”

符號“√”起源于德國.18世紀(jì)有些學(xué)者，如瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）猜想“√”是字母“r”的變體，即“radix”的首字母.后來通過對德文代數(shù)學(xué)手稿更為細(xì)致的研究，證明并不是這樣.原來德國人在1480年前后，用一個點“·”來表示平方根［5］，以下四部代數(shù)學(xué)手稿為該問題的研究提供了依據(jù).

最古老的一部手稿現(xiàn)藏于德累斯頓圖書館，收錄在代數(shù)學(xué)論文手稿集中.［6］其中一篇約寫于1480年的拉丁文手稿中，使用點號來表示開方，在被開方數(shù)字前加一個點（.）表示平方根，兩個點（..）表示平方根的平方根，三個點（...）表示立方根，四個點（....）表示立方根的立方根或九次方根.

第二部手稿是維也納MS第5277號文件，其中可以找到“通過點理解根”的表述，但實際上手稿中并沒有用點來表示根.

第三部手稿即哥廷根抄本Philos.30，是載于《代數(shù)學(xué)入門》的拉丁文信件，約寫于1524年之前.其中根的符號使用小點帶上一條尾巴變成，可能是寫快時帶上的，后面跟著一個表示根指數(shù)的符號，如表示平方根，ce表示立方根.

第四部手稿由里斯（A.Riese）1524年據(jù)第一部手稿編寫，1892年印刷.對根號的表示，盡管出現(xiàn)了“點”這個詞，但里斯使用的是帶有筆畫的點.

通過對四部手稿的研究，表明點作為一種符號與開方運(yùn)算有關(guān).第一部手稿中，點實際上是作為根號出現(xiàn)的.第二部手稿中，點雖然沒有作為符號出現(xiàn)，但在正文中有所提及.第三和第四部手稿中，純粹的點并未出現(xiàn)在表示根的符號中，而是使用了附有筆畫或尾巴的點.但問題是，代數(shù)符號“√”是否起源于點.近年來的德國學(xué)者贊成這種觀點，但證據(jù)并不確鑿.

在魯?shù)婪驎r代之后，根號“√”主要表示根指數(shù)、二重根式或多重根式的復(fù)合.荷蘭數(shù)學(xué)家斯蒂文（S.Stevin）將帶圓圈的數(shù)字3放在“√”后面，即“√③”表示立方根，這種使用數(shù)字的方法雖得到公認(rèn)，但未被普遍采用.一個世紀(jì)以來，關(guān)于數(shù)字相對于“√”的確切位置，一直存在著很大的分歧.

1637年，通用的根號得以確立.法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（R.Descartes）的《幾何學(xué)》不僅創(chuàng)立了解析幾何［7］，而且為現(xiàn)代根號符號的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).該著作中寫道：“如果我想求a2+b2的平方根，就寫作a2+b2，如果想求a3-b3+abb的立方根，則寫作c.a3-b3+abb.”［8］

笛卡兒改進(jìn)了魯?shù)婪颉⑺沟傥乃褂玫摹啊獭保谄渖戏教砑恿艘粋€括線“—”，即用“”表示平方根，從而創(chuàng)造了表示平方根的便捷新符號.［9］

根號√和括線的這種組合深受人們的喜愛，到現(xiàn)在其依然在數(shù)學(xué)書籍中占據(jù)著重要的地位.

在中國，李善蘭在翻譯西方數(shù)學(xué)書籍時首次將根號“”引入中文數(shù)學(xué)文獻(xiàn).隨后，在1896年出版的《代數(shù)備旨》中，根號“”被進(jìn)一步使用和普及.

4分?jǐn)?shù)指數(shù)

分?jǐn)?shù)指數(shù)最早出現(xiàn)在法國人奧雷斯姆（N.Oresme）的《比例算法》中，他把212寫作2122p.［10］

西方最早完整地提出分?jǐn)?shù)指數(shù)的是英國數(shù)學(xué)家沃利斯（J.Wallis）.1655年，沃利斯在其《無窮算術(shù)》中指出“‘平方根倒數(shù)’的數(shù)列11，12，13，…的指數(shù)是-12”［11］，即用數(shù)字表示根（分?jǐn)?shù)）指數(shù).這是一個巨大的進(jìn)步，不過沃利斯并沒有真正使用2-1、2-12的指數(shù)符號，只是說14、12的指數(shù)是-2和-12.［12］

現(xiàn)行的分?jǐn)?shù)指數(shù)符號是由英國數(shù)學(xué)家牛頓（I.Newton）創(chuàng)立的.1676年，牛頓在致倫敦皇家學(xué)會秘書長奧爾登堡（H.Oldenburg）的信中提到這一符號，說道：“因為代數(shù)學(xué)家將aa，aaa，aaaa寫成a2，a3，a4，所以我將a，a3，c·a5寫成a12，a32，a53；又將1a，1aa，1aaa寫成a-1，a-2，a-3，將aac·a3+bbx寫成aa×（c·a3+bbx）-12.”［13］

牛頓1761年的《通用算術(shù)》（卡斯蒂利亞版）中也有這個符號.此外，歐拉在1774年也使用了這種分?jǐn)?shù)指數(shù)的表示方法.

回顧根號“”的使用，盡管笛卡兒在完善根號符號方面做出了巨大貢獻(xiàn)，但他錯過了一個做出更大貢獻(xiàn)的絕佳機(jī)會.如果笛卡兒不是通過在“√”上添加括線來擴(kuò)展它的應(yīng)用，而是完全拋棄根號，同時引入分?jǐn)?shù)指數(shù)的符號，那么可以預(yù)見，根號的進(jìn)一步使用將會受阻并被遏制，像b34和4b3這樣表示重復(fù)含義的符號會被避免，一代又一代的學(xué)生就不必掌握兩種困難的運(yùn)算符號，而只需用分?jǐn)?shù)指數(shù)符號就可以達(dá)到運(yùn)算目的.但笛卡兒錯過了這個機(jī)會，后來的牛頓也是如此，盡管他引入了分?jǐn)?shù)指數(shù)的符號，但他依然保留并使用了根號.

5教學(xué)中的文化滲透

在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透和融入根號符號的發(fā)展歷史可以通過以下三種方式進(jìn)行.

5.1故事講述法

教師進(jìn)行無理數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計以及教學(xué)實踐中，可以通過講述根號符號的歷史故事來吸引學(xué)生的注意力.在介紹根號的基本運(yùn)算之前，用幾分鐘時間概述根號符號的起源和發(fā)展，讓學(xué)生對即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容有一個文化和歷史的背景認(rèn)識.例如，從古埃及的紙草書到阿拉伯的代數(shù)學(xué)，再到歐洲的數(shù)學(xué)家如何逐步發(fā)展和完善根號符號，這些故事可以幫助學(xué)生理解符號的演變過程，并且激發(fā)他們對數(shù)學(xué)歷史的興趣.

5.2歷史與現(xiàn)代結(jié)合法

教師在講解根號的現(xiàn)代應(yīng)用時，可以穿插介紹歷史上的數(shù)學(xué)家是如何使用不同的符號來解決類似問題的.例如，教師可以展示沃利斯是如何使用分?jǐn)?shù)指數(shù)來表示根號的.通過對比歷史方法和現(xiàn)代方法，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)概念的發(fā)展和演變，以及現(xiàn)代符號的優(yōu)越性，更深刻地理解現(xiàn)代根號符號的簡潔性和表達(dá)的精確性，也能夠鍛煉他們的批判性思維能力.

5.3實踐活動法

教師可以設(shè)計一些實踐活動，讓學(xué)生使用歷史上的根號符號來解決數(shù)學(xué)問題，如使用“”或“l(fā)”來表示根號，并讓他們嘗試用這些古老的符號來解決現(xiàn)代問題.通過實踐活動，學(xué)生可以親身體驗歷史上的數(shù)學(xué)家是如何思考和解決問題的，這種體驗可以幫助他們更深入地理解數(shù)學(xué)符號的重要性和實用性，體會根號的發(fā)展演變是數(shù)學(xué)家集體智慧的結(jié)晶.

6結(jié)語

歷史上首位數(shù)學(xué)史教授弗洛里安·卡約黎（F.Cajori）曾說：“數(shù)學(xué)符號的歷史構(gòu)成了數(shù)學(xué)過去和現(xiàn)在狀況的一面鏡子，可以用來解決數(shù)學(xué)現(xiàn)在面臨的符號問題.”［14］數(shù)學(xué)符號，尤其是根號的演變史，見證了人類智慧的進(jìn)步和數(shù)學(xué)抽象思維的不斷深化.數(shù)學(xué)符號以其獨特的形式和內(nèi)涵，承載了數(shù)學(xué)的邏輯之美.將根號的發(fā)展歷程融入教學(xué)，不僅能夠傳授知識，還能培養(yǎng)學(xué)生的歷史意識、文化素養(yǎng)和批判性思維，使他們更加全面地理解數(shù)學(xué)和其在人類文明中的作用.數(shù)學(xué)符號的發(fā)展史是一部人類智慧的變遷史，它不僅記錄了數(shù)學(xué)的過去，也照亮了數(shù)學(xué)的未來.通過學(xué)習(xí)和理解符號的演變，能更好地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛，并為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展貢獻(xiàn)力量.

參考文獻(xiàn)

［1］恩斯特·卡西爾.人論［M］.北京：光明日報出版社，2009.

［2］孫興運(yùn).數(shù)學(xué)符號史話［M］.濟(jì)南：山東教育出版社，1998.

［3］［14］FlorianCajori.AHistoryofMathematicalNotationsVolumeⅠNotationsinElementaryMathematics［M］.Illinois：TheOpenCourtPublishingCompany，1928.

［4］［5］梁宗巨.世界數(shù)學(xué)史簡編［M］.沈陽：遼寧人民出版社，1980.

［6］M.Cantor.VorlesungenberGeschichtederMathematik，Vol.II（2.Auf.）［M］.Toronto：LeipzigB.G.Teubner，1900.

［7］徐品方.笛卡兒［M］.成都：四川少年兒童出版社，1997.

［8］R.Descartes.LaGéométrie［M］.Paris：A.Hermann，LibrairieScientifique，1886.

［9］［12］徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號史［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

［10］HansWussing，WolfgangArnold.BiographienbedeutenderMathematiker［M］.VolkundWissenVolkseigenerVerlag，1989.

［11］D.E.Smith.ASourceBookinMathematics［M］.NewYork：McGrawHillBookCompany，1929.

［13］J.F.Scott.AHistoryofMathematics［M］.London：Tayloramp;FrancisLtd.，1969.

*基金項目：內(nèi)蒙古自治區(qū)博士研究生科研創(chuàng)新項目“中國概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展史研究（1880—1949）”（項目編號：B20231055Z）；內(nèi)蒙古師范大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目“中國概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展史研究（1880—1949）”（項目編號：2022JBXC019）.