GeoGebra在高中數(shù)學教學中的應用研究

摘要：以GeoGebra軟件為代表的信息技術(shù)在創(chuàng)建優(yōu)質(zhì)資源、優(yōu)化課程內(nèi)容與教學過程、改進學生學習方式、精準開展教學評價等方面發(fā)揮著重要作用，它是促進學生深度學習的重要抓手.因此，基于深度學習的視角去分析GeoGebra軟件與數(shù)學教學融合，以實現(xiàn)借助信息技術(shù)達成數(shù)學教學深度學習.這樣的研究具有重要的理論意義和實踐價值．

關鍵詞：深度學習；GeoGebra軟件；高中數(shù)學；教學設計

無論是基礎教育課程改革的要求，還是學生核心素養(yǎng)的要求，都需要教師持續(xù)不斷的專業(yè)提升方可達到立德樹人的教育目標.在目前深度學習理論的引領下，以信息技術(shù)為抓手的課堂整合需要教師具備信息技術(shù)素養(yǎng).GeoGebra的技術(shù)呈現(xiàn)不能離開教師的正確運用，因此，開展以學生發(fā)展為最終目標的深度教學，并在實踐過程中對GeoGebra與高中數(shù)學教學的融合進行研究能夠最終實現(xiàn)學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的要求．

1借助GeoGebra創(chuàng)設教學情境，調(diào)動經(jīng)驗與興趣

在數(shù)學教學過程中，教學情境在引發(fā)學生的自主思考、合理猜測、建構(gòu)知識和鞏固所學上有重要作用.運用GeoGebra創(chuàng)設情境促進學生的深度學習，不可隨意選擇情境，要把握情境針對性的特點.一方面情境中要包含豐富的數(shù)學問題，另一方面情境需要與學生的先驗知識有關，幫助學生能分析、理解情境中的條件與問題.情境的創(chuàng)設應該緊密圍繞學習內(nèi)容展開，凸顯知識的核心要點，這意味著教師需要先深入挖掘?qū)W習內(nèi)容的內(nèi)在邏輯和知識體系，找出其中的關鍵點和難點；然后設計情境，這樣能夠幫助學生將學習內(nèi)容與實際情境相結(jié)合，從而更好地理解知識的本質(zhì)和內(nèi)涵.同時，情境往往包含數(shù)學問題.因此，教師應根據(jù)學生的理解能力和發(fā)展水平，采取以“問題鏈”為主的教學活動，它更能體現(xiàn)出情境的可探究性特點.對于問題鏈的設計，應該遵循由淺入深、由易到難的原則，逐步引導學生從簡單的認知任務過渡到復雜的思維活動.同時，問題之間應該具有邏輯性和連貫性，形成一個完整的問題體系，幫助學生建立完整的知識框架和思維模型．

例如，在引入三角函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）時，高中人教A版教材中是通過研究古代筒車工作原理讓學生探究三角函數(shù)參數(shù)的性質(zhì).筒車中盛水筒的勻速圓周轉(zhuǎn)動模型是讓學生基于該情境探究盛水筒距離水面的相對高度與時間的關系，如圖1所示.學生借助該情境經(jīng)歷對函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）從抽象到具體再到抽象的學習過程，從而對函數(shù)y=A·sin（ωx＋φ）中的A，ω，φ三個參數(shù)的數(shù)學意義有充分的認識．

但是從學習知識的歷程來看，學生對三角函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的性質(zhì)探究以及不同參數(shù)對函數(shù)圖象的影響并不陌生.學生早在初中階段學習二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，已經(jīng)具備探究二次函數(shù)y＝x2與y＝ax2（a≠0），y＝a（x－h(huán)）2（a≠0），y＝（x－h(huán)）2＋c（a≠0）以及y＝ax2＋bx＋c（a≠0）之間關系的學習經(jīng)驗，即對于函數(shù)中包含多個參數(shù)，往往運用控制變量法，逐步增加參數(shù)的個數(shù)，最終從特殊到一般的方法研究一個新的函數(shù)圖象.［1］教師通過對兩個函數(shù)表達式的特征分析與比較后，讓學生很容易自行學習到參數(shù)A影響函數(shù)曲線的波動幅度，這是函數(shù)曲線縱向的變化情況.曲線橫向變化受哪些參數(shù)的影響需要結(jié)合教師的引導去觀察、分析，進而得出結(jié)論.當然，學生對舊知有可能遺忘，此時需要教師通過合理的教學情境去喚醒學生的記憶，在這個過程中教師可以通過依據(jù)教材中的筒車模型，借助GeoGebra的動態(tài)演示功能進行指導．

2借助GeoGebra進行多元表征，把握本質(zhì)與變式

“表征”屬于教育心理學的概念，是指信息在心理活動中的呈現(xiàn)和記載方式.學生的數(shù)學學習同樣離不開表征，其方式是多元的.學生對數(shù)學知識的表征方式主要包括了操作性表征、圖象表征、語言表征和符號表征，而不同的學生對同一個數(shù)學知識的表征方式并不完全相同.由于數(shù)學知識的復雜性，如果教師在教學中運用單一的表征方式，往往難以揭露知識的本質(zhì)，就會影響學生的數(shù)學學習，因此多元表征是優(yōu)化教師教學效能和改善學生學習方式，促進學生深度學習的有效路徑.當前借助多樣化的信息呈現(xiàn)方式來清晰地刻畫學習對象，可以在形與數(shù)的轉(zhuǎn)變中豐富學生的數(shù)學認知，避免學生對知識形成表面認識，充分促進學生對數(shù)學知識中的數(shù)量、結(jié)構(gòu)、意義和內(nèi)涵的多方面探索，將學習障礙最小化、學習效率最大化.［2］在現(xiàn)代教育技術(shù)媒介的廣泛應用下，GeoGebra軟件在課堂教學中能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學知識的多元表征.例如，教師在講解新知的過程中，利用GeoGebra的代數(shù)計算功能能夠向?qū)W生清晰展示數(shù)學語言的邏輯與表達.同時，GeoGebra還支持自定義符號和變量的功能，使得學生能運用數(shù)學符號來表達、把握知識之間的關系，從而掌握數(shù)學符號的含義.在圖形語言的表征方面，GeoGebra的圖象繪制功能可以讓學生直觀接觸數(shù)字圖象和幾何圖形，幫助學生形成空間感知能力，讓學生在語言、符號和圖象中體悟數(shù)學中的“變”與“不變”，從而更好地把握本質(zhì)與變式之間的關系.例如，教師在對橢圓概念開展教學的過程中，就可以借助GeoGebra軟件來制作如圖2所示的動畫課件表征橢圓概念．

從數(shù)學史出發(fā)溯源圓錐曲線的發(fā)展過程，橢圓在射影幾何中可以看作是球在光照下的投影，在立體幾何中可以看作是平面斜截圓錐所成的交線，兩種方式都是在空間中對橢圓這個圓錐曲線的直觀定性描述.先通過GeoGebra軟件的3D繪圖功能建立球分別在平行光線和點光源光線的照射下所成的投影模型，即Dandelin圓柱和Dandelin圓錐模型，然后教師引導學生從三維轉(zhuǎn)向二維去認識橢圓，最后運用拉線作圖法繪制橢圓（如圖3），這樣的處理過程是先了解橢圓的“前世今生”，再運用橢圓的性質(zhì).

在這個數(shù)學探究活動中，學生調(diào)動學習圓的概念及標準方程相關經(jīng)驗，在教師的引導下發(fā)現(xiàn)：從射影幾何的角度看，圓是球在光線正投影下形成的.那么思考“當光線從球的正中間開始偏移，此時的投影又是什么呢？無論是平行光源還是點光源，投影所得的是同一個圖形嗎？與圓有哪些異同”.帶著這些問題，學生的探究期望高漲，在猜想時就已思考把握該投影圖形之間的本質(zhì)和變式.教師在課堂上的精心設計和引導，最終有利于學生形成自主建構(gòu)知識之間的關聯(lián)，不是停留于學習和簡單運用狹窄的知識結(jié)論上．

3借助GeoGebra支持數(shù)學探究，引發(fā)合作與交流

信息技術(shù)在數(shù)學探究教學中具有重要作用，一方面，教師借助GeoGebra可以提供豐富的教學工具和資源，實現(xiàn)一些傳統(tǒng)課堂中難以實現(xiàn)的數(shù)學探究，使學生通過運用數(shù)學軟件進行實驗探究，在師生共同解決問題中培養(yǎng)學生的團隊合作和溝通素養(yǎng)，讓學生獲得經(jīng)驗體驗，從而提升對數(shù)學知識的理解和應用；另一方面，可以使課堂教學更加高效，從表面來看，借助GeoGebra的探究活動可能讓教師傳授的知識密集度降低，但是從學生角度觀察，能夠發(fā)現(xiàn)學生獲得了良好的學習體驗與興趣，最終對促進學生的學習動機、提升其自我效能感有顯著效果，這也與深度學習策略中提倡教學活動與學習體驗相契合.［3］例如，在學習人教A版《普通高中教科書數(shù)學必修第二冊》“頻率與概率”一節(jié)內(nèi)容時，通常會開展拋硬幣的實驗來探究頻率的穩(wěn)定性.借助GeoGebra軟件對該實驗進行模擬（如圖4），雖然起到的作用是相同的，但是毫無疑問對激活課堂氛圍、調(diào)動學生探究積極性和參與意愿有更明顯的促進作用．

借助GeoGebra軟件開展數(shù)學探究最為突出的特點是其能使探究過程可視化，從而實現(xiàn)師生間的共同參與和交流.這種可視化不僅體現(xiàn)在對數(shù)學問題的直觀呈現(xiàn)，還體現(xiàn)在對學生數(shù)學猜想的驗證和反饋上.GeoGebra軟件通過其強大的圖形繪制和動態(tài)模擬功能，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖象和動畫，使學生能夠更清晰地理解問題的本質(zhì)并抓住關鍵所在.這種直觀的信息呈現(xiàn)方式有助于學生進行針對性的猜想和探究.在此基礎上，學生可以將自己的數(shù)學猜想進行可視化表達，使教師更好地了解自己的思維過程和探究方向，在這個過程中，教師是學生學習的引導者和促進者.更重要的是，GeoGebra軟件能夠?qū)W生的猜想進行實時驗證和反饋.當學生的猜想與實際結(jié)論不一致時，軟件能夠即時展示問題所在，幫助學生認識到自己思維的誤區(qū)；而當猜想與實際相符時，學生又能獲得正向的反饋和激勵，增強學習信心和動力，促使深度學習的發(fā)生，從而使師生關系更加和諧．

綜上所述，借助GeoGebra軟件開展數(shù)學探究具有諸多優(yōu)勢，其中探究過程的可視化是實現(xiàn)師生共同參與和深度學習的重要途徑.通過軟件的使用，教師能夠更好地引導學生進行數(shù)學探究，幫助他們掌握數(shù)學知識和培養(yǎng)數(shù)學思維能力．

4借助GeoGebra推動自主學習，促進遷移與應用

在正規(guī)的學校教育和專業(yè)的教學過程中，學生的自主學習并不意味著學生的獨立學習，脫離了有教師引導的自主學習并非真實意義上的自主學習，這是因為數(shù)學知識所具有的抽象性和復雜性是影響學生正向?qū)W習心態(tài)的關鍵因素，當學生對數(shù)學問題的鉆研動機不足時，遑論學生自主學習的發(fā)生.自主學習需要教師指導和專門信息資源提供的場域環(huán)境，這是激發(fā)學生深度學習的重要途徑．

在目前學習型社會下，提倡公民培養(yǎng)終身學習能力的重要途徑就是讓人人具備自主學習的意識和能力，但是在學校教育中促進學生自主學習難以窺見成效，主要原因在于學生缺乏開展自主學習的條件，而基于信息技術(shù)的學習能實現(xiàn)學習者的自主學習．

例如，在人教A版《普通高中教科書數(shù)學必修第一冊》“三角函數(shù)”章節(jié)學習結(jié)束后，學生對分析變量間的關系、建立合適的函數(shù)模型、通過函數(shù)去尋找一般規(guī)律的思想方法有了一定的掌握.雖然對基本初等函數(shù)的學習在教材的安排上已經(jīng)結(jié)束，但是學習無處不在，自主學習并不囿于課堂所生成的內(nèi)容.教師應依據(jù)學生的實際情況，通過開設“三角函數(shù)”微專題專項學習，引導學生在課余時間對正弦函數(shù)y＝sinx和余弦函數(shù)y＝cosx的定義深入分析，并適當提問“在任意角下，終邊與單位圓的交點的位置是由所構(gòu)成直角三角形的斜邊與其橫坐標的比值刻畫而成，那么此時的函數(shù)圖象及其性質(zhì)與余弦函數(shù)有什么關系呢”.學生在此前學習中已經(jīng)了解如何運用GeoGebra軟件去繪制余弦函數(shù)圖象，只需在指令欄中輸入“sec”，選擇指令“secx”，回車之后在繪圖區(qū)就呈現(xiàn)出所需圖象.學生通過課后的資料查詢發(fā)現(xiàn)該函數(shù)實則為正割函數(shù)，其圖象在72+kπ（k為整數(shù)）

處有一條無界的垂線漸近線.另外，與正弦函數(shù)相比較能夠發(fā)現(xiàn)，正割函數(shù)的周期為2π，存在極值，但無最值，其函數(shù)圖象如圖5所示.學生從數(shù)學史和三角函數(shù)應用方面檢索可以發(fā)現(xiàn)正割函數(shù)在天文學中有廣泛應用，能夠測量恒星的亮度，而余割在聲學領域用于計算聲波的頻率．

同樣地，微專題專項學習在解析幾何中也能很好地借助GeoGebra軟件開展探究學習.學生在學完人教A版《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊》“圓錐曲線的方程”一章后，能夠發(fā)現(xiàn)圓、橢圓、雙曲線和拋物線之間有內(nèi)在統(tǒng)一性.教師引導學生總結(jié)發(fā)現(xiàn)，一動點到兩個定點的距離之比為定值（定值不大于1）的軌跡為圓，橢圓是一動點到兩個定點距離之和（兩定點距離小于動點到定點距離之和）為定值的點的軌跡，雙曲線探究的是一動點到兩個定點的距離之差的軌跡.學生基于此會自然而然發(fā)問“若一動點到兩個定點的距離之積是定值，那么動點軌跡是什么”.學生繼續(xù)運用GeoGebra軟件繪制出如圖6所示的曲線，通過資料查找發(fā)現(xiàn)該曲線為卡西尼卵形線.學生觀察發(fā)現(xiàn)當其乘積k不斷增大時，該曲線左、右兩支不斷自相交叉，曲線中部由凹至凸，其中的曲線變化與定點距離和距離乘積之間存在數(shù)量關系.這類延伸性的學習能夠讓學生對課內(nèi)的知識產(chǎn)生合理的遷移，培養(yǎng)學生的自主學習，激發(fā)學生對于數(shù)學探究的好奇與熱愛．

要讓信息技術(shù)軟件與學生的自主學習結(jié)合起來，教師的信息素養(yǎng)是重要的黏合劑，只有作為引導者的教師關注信息技術(shù)和數(shù)學教學的深度融合并精心設計充滿信息化和思辨化的教學環(huán)境，教授學生獲取優(yōu)質(zhì)學習資源的途徑與策略并運用數(shù)學軟件開展學習探究的方法，學生的自主學習才可能發(fā)生.教師要減少學生產(chǎn)生近遷移和正向遷移的困難，讓學生在遷移中學會應用，在應用中學會反思，在反思中不斷在思維上吐故納新．

5結(jié)語

本研究以高中數(shù)學為例，開展了深度學習視域下GeoGebra軟件與高中數(shù)學教學融合的教學設計.選取“橢圓概念”“三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)”進行教學設計，并以“圓錐曲線的方程”章節(jié)教學為例，對學生進行教學實踐.結(jié)果表明，學生的深度學習意識與能力都得到提升，并且GeoGebra軟件與數(shù)學教學融合使學生在學習動機、知識理解、學習效率等方面有顯著的效果，同時對軟件滲透也持開放態(tài)度．

參考文獻

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