基于幾何直觀的數量關系分析

［摘 要］以人教版教材五年級上冊“多邊形的面積”單元教學為例，通過自上而下的課標推敲、教材比較確立核心概念，同時通過自下而上的學情調研積累核心經驗，進而重組教材課時結構，推進單元整體教學設計，突出知識原理的一致性，促進學生結構化思維的形成。

［關鍵詞］幾何直觀；數量關系；核心概念；單元整體教學；多邊形的面積

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）02-0032-04

單元整體教學設計從“大單元”和“系列單元”的視角出發，打破自然單元間可能存在的知識壁壘，重構單元知識結構，以核心概念為統領，優化課時設計，使學生在有序、系統的教學中實現從“知其然”到“知其所以然”的轉變，真正領悟知識的本質，發展核心素養。那么，如何提取核心概念并為單元整體教學內容的確定提供思路？如何整體平衡現行教材課時結構與單元整體教學內容之間的關系？如何有效推進單元整體教學課例的設計？本文以人教版教材五年級上冊“多邊形的面積”單元教學設計為例，探討單元整體教學的實施路徑，為教學實踐與優化提供參考。

一、剖析：依標推敲，提取核心概念

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）對“圖形與幾何”領域的課程內容、學業質量要求及教學建議進行了深入闡釋，揭示了平面圖形面積度量的本質——度量單位的累加。

縱觀小學階段學生的面積度量學習脈絡有以下發現：三年級下冊學習“面積和面積單位”以及“長方形和正方形的面積”，主要掌握面積單位的標準及計數方法；五年級上冊學習“多邊形的面積”，六年級上冊學習“圓的面積”，進一步探索通過圖形轉化實現面積計算的思路?？梢?，面積度量的學習經歷了“制訂標準—單位計數—方法優化”的漸進過程。其中，“多邊形的面積”這一單元既承接了長方形和正方形面積計算的基礎經驗，又因平行四邊形、三角形和梯形等圖形的特殊性（直接計數存在困難），需要先通過轉化再度量的方式進行測量，為后續學習圓的面積計算奠定了重要基礎。

綜上，平行四邊形、三角形和梯形面積測量的共同特點在于：均需通過等積轉化或拼合轉化的方式轉化為能夠直接計數的圖形。這一轉化過程體現了面積度量的統一原理，即基于“每行面積單位的個數×行數”的量感一致性，為學生進一步理解面積計算的本質提供了支撐。

二、調查：自下而上，積累核心經驗

為準確了解學生的學習現狀，提煉單元核心價值，促進學生在單元內實現整體學習，筆者隨機抽取了90名五年級學生，進行了單元知識的前測（題略）。測試結果如下。

基本能力方面：大部分學生能夠通過數格子的方法計算平面圖形的面積，表明其基礎知識較為扎實。

轉化理解方面：學生在面對一般三角形和梯形時，較難直接看出其通過剪拼后得到的圖形，這反映出學生在圖形轉化方面的直觀感知能力尚需提升。

面積公式聯系方面：學生能夠發現平行四邊形的底和高與長方形的長和寬之間的聯系，但對三角形、梯形與已知面積公式圖形之間的聯系理解不夠深入。

策略方法方面：學生知道轉化的方法，如割補、添補等，但在實際應用中還需教師進一步引導。

綜合來看，學生已經具備了將面積單位學習的活動經驗遷移到更復雜情境中的意識，能夠認識到面積單位數量的多少決定面積的大小，并初步嘗試分析多邊形面積計算之間的聯系。這些特點為單元整體教學設計提供了重要的現實依據，同時也提示教師要進一步加強對幾何圖形轉化規律的教學，深化學生對面積公式推導方法的理解。

三、定位：聚散為整，進行整體規劃

為將學生的學習經驗有效融入單元教學計劃中，筆者結合《課程標準》中核心素養的具體表現，圍繞單元關鍵問題進行整體布局，明確單元的素養目標、核心概念及學習目標，以引導學生更深入地認識和把握度量的本質（見表1）。

重新設計的單元教學內容以“面積單位的累加”為核心概念貫穿單元學習的始終，按照“喚醒經驗—調用經驗—突破經驗—提升經驗—優化經驗”的實踐路徑，從回憶面積意義到測量更多圖形的面積，逐步讓學生的量感體驗更加立體、豐滿，突出單元學習主題的整體性和一致性（如圖1）。

與單元主題序列相匹配，整體規劃中統籌開發了一組新的課型，通過“總—分—總”的單元架構，構建出完整且富有張力的單元教學系統。在“多邊形的面積”單元教學中，首先通過方法課“數面積”喚醒學生已有的剪拼、合拼等經驗；隨后開展推理課，引導學生有條理地推導多邊形面積公式，幫助其理解圖形的轉化規律；接著通過探究課，引導學生思考鄰邊相乘與平行四邊形面積之間的關系，避免知識負遷移；再以應用課為載體，引導學生在真實情境中解決問題，豐富其面積度量經驗并深化其對面積的理解；最后通過復習課，從梯形面積公式出發，幫助學生整合并優化多邊形面積公式的構造。這一設計充分體現了《課程標準》指導下教學方式的轉型。

四、實施：由繁入簡，觸及學科本質

為將核心概念統領的目標與內容有效落實到具體教學活動中，筆者通過“數面積”引入主題、“推導多邊形的面積公式”深化理解、“揭秘萬能公式”實現聯結，精心設計了精煉的教學環節和豐富的操作活動，提供了精準的復習資源。這些活動和資源注重學生的可學性、可參與性與建設性，旨在引導學生在做中學、用中學、創中學、悟中學，使度量體驗在單元重構中得以真實而深刻地發生。

（一）方法課：面積單位的總數=每行面積單位個數×行數

方法課“數面積”圍繞核心概念“面積單位的總數=每行面積單位個數×行數”展開，通過創建任務群，引導學生在完成不同任務的過程中學習利用剪拼、合拼等方法將平行四邊形、三角形、梯形等不滿格的圖形轉化為滿格圖形。同時，多維度對比學生的轉化方法，幫助他們深刻理解度量面積的本質在于求得圖形中包含的面積單位總數，從而進一步發展其空間觀念。

【活動設計】

任務一：在格子圖中探究特殊平行四邊形、直角三角形、直角梯形的面積。

[設計意圖：通過探究特殊的平行四邊形、直角三角形和直角梯形的面積，讓學生能利用已有的數面積單位總數、剪拼、合拼等經驗，將不滿格的面積單位轉化為滿格的面積單位。]

任務二：在格子圖中探究平行四邊形、三角形、梯形的面積。

[設計意圖：從平行四邊形（高不滿整格）、三角形、梯形的轉化延展到一般圖形的轉化，了解學生對剪拼和合拼方法的運用情況。]

借助格子圖，學生開展圖形面積的探究活動，在“想—算—畫—比”的過程中逐漸掌握以定量方式通過轉化將不能直接計數的圖形轉化為可以直接計數的圖形。通過展示匯報、對比交流等學習活動，學生不僅能感受到圖形轉化方法的多樣性，還能深刻領悟轉化思想的一致性（如圖2）。

同時，突破原有的教學框架，引導學生圍繞大概念（面積單位及其個數）和方法（不同的“拼”法）進行交流、討論和比較。學生體會到，不同轉化現象背后的思想其實是一致的，都是為了用完整的面積單位填滿測量對象，從而計算出面積單位的個數。長方形面積的測量經驗在此過程中得到整體融入，幫助學生形成對圖形度量一致、持久且可遷移的本質認識。

（二）推理課：推導多邊形的面積公式

利用在方法課上獲得的剪拼轉化經驗，學生就能在課堂上進行剪拼、合拼的轉化活動，在對比中發現轉化前后圖形各部分之間的聯系，進而推導出平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，并在對比與溝通中建立多邊形面積公式之間的聯系，感悟各種方法背后一致的原理。

【活動設計】

任務一：在格子圖中推導高不滿整格的平行四邊形的面積公式。

[設計意圖：提供高不滿格的平行四邊形，引導學生開展不同思維層次的操作活動，探究平行四邊形面積公式的本質。]

任務二：小組合作推導三角形和梯形的面積公式。思考：三角形、梯形與哪些圖形有關聯？轉化后的圖形與原圖形之間有什么聯系？推導三角形或梯形的面積公式。

[設計意圖：打破原有單元學習的界限，將三角形和梯形面積公式的推導置于同一結構背景中，讓學生以小組合作的形式進行研究和思考，從而溝通不同圖形面積公式間的內在聯系。]

以上兩個學習任務能引導學生不斷突破認知邊界，且自主運用長方形面積公式的推導經驗，將長方形的長、寬與平行四邊形的底、高相聯系，推導出平行四邊形的面積公式，從而不斷豐富度量經驗，加深對平面圖形面積度量的認識（如圖3）。

在推導出平行四邊形、三角形和梯形的面積公式后，引導學生通過對比與溝通，理解度量面積的本質是“面積單位總數=每行面積單位個數×行數”，深刻領會面積度量的基本原理是不變的，從而完成知識的內化。

（三）復習課：揭秘萬能公式

提供結構化的習題資源，能促使學生理解梯形、平行四邊形、三角形之間的聯系，認識到“當上下底相等時，梯形就變成平行四邊形；當下底為0時，梯形就變成三角形”。因此，通過平行四邊形的面積公式也可以推導三角形和梯形的面積公式。

【教學片段】

師（出示圖4）：計算下面圖形的面積。

☆計算下列圖形的面積。（單位：cm）

生1：長方形、平行四邊形、梯形、三角形的面積都是20 cm2。

師：這些圖形之間有什么關系？

生2：長方形①的長、寬分別與平行四邊形②的底、高相等，所以兩個圖形的面積相等，為20 cm2。兩個三角形③可以拼成一個底為10 cm、高為4 cm的平行四邊形，這個平行四邊形面積的一半與平行四邊形②的面積相等，也就是說，三角形③的面積與平行四邊形②的面積相等，也是20 cm2。通過剪拼也可以將梯形④轉化成平行四邊形②，因此梯形④的面積為20 cm2。

師：還有與梯形④面積、高相等的圖形嗎？

（學生創造出上底為1 cm、下底為9 cm的梯形）

師：下底能短一點嗎？

（邊的長度從整數拓展到了小數，學生的思維定式得以突破）

師：下底能不能繼續短下去？

（教師通過不斷追問，幫助學生突破梯形和三角形的邊界；學生繼續想象，突破梯形與平行四邊形的邊界）

生3：下底不斷變短，到與上底長度相等時，梯形就成了平行四邊形，梯形的面積公式變成“底×高”，這也是平行四邊形的面積公式；當下底為0時，梯形就成了三角形，梯形的面積公式變成“底×高÷2”，這也是三角形的面積公式。梯形的面積公式真厲害，簡直是“萬能公式”。

[設計意圖：在復習課中構建一張基于面積公式的新知識網，有效完善以長方形為起點、基于轉化思想、以平行四邊形為終點的知識網（如圖5）。]

整體設計的單元框架中，通過連續進階的關鍵課探索，學生在富有設計感的學科活動中產生了對面積度量的新理解，向前聯系“面積和面積單位”，向后鏈接“圓的面積”，深刻體會了知識原理的一致性，有效掌握了多邊形面積的計算本質。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 袁曉萍.讓高質量的度量學習真實發生：《面積》單元整體教學規劃與關鍵課例設計[J].小學教學設計，2024（Z2）：14-17.

[3] 楊明嵐.一致性視域下整數除法運算整體性的教學思考與設計：以“除數是一位數的除法”單元為例[J].教學月刊小學版（數學），2023（11）：50-53.

[4] 張偉明.追溯起點向思維深處進發：以《梯形的面積》教學為例[J].小學教學設計，2018（32）：23-25.

（責編 吳美玲）