本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究

摘"要：本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)旨在回歸數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本，師生在“問(wèn)題導(dǎo)入”的前提下共同開(kāi)展探究，促使學(xué)生形成開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題思維.圓錐曲線課程屬于高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵部分，如何在本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)理念下激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并且增進(jìn)師生之間的溝通，應(yīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)課改面臨的突出問(wèn)題.鑒于此，本文著重探討本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)視角下的圓錐曲線教學(xué)要點(diǎn)，以圓錐曲線方程為載體，結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況加以改進(jìn).

關(guān)鍵詞：本原性問(wèn)題；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；圓錐曲線

本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、自主探究來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)所在.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，主動(dòng)探討并解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并嘗試透過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的表面描述來(lái)窺探其根本.高中數(shù)學(xué)課程中的圓錐曲線理論知識(shí)較為抽象，易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于抽象、晦澀的數(shù)學(xué)理論知識(shí)感到很難理解.為妥善解決高中數(shù)學(xué)中的圓錐曲線教學(xué)常見(jiàn)問(wèn)題，關(guān)鍵就是要引進(jìn)本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式，使得學(xué)生在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下獨(dú)立思考并分析圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的濃厚興趣.

1"本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)視角下的教學(xué)策略

1.1"課前精心設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)性本原問(wèn)題

教師通過(guò)精心布置課前的導(dǎo)入問(wèn)題，能夠在激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的想象力，促使學(xué)生養(yǎng)成遷移思考的習(xí)慣.教師在本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的理論指導(dǎo)下，應(yīng)當(dāng)緊密圍繞學(xué)生之前所學(xué)的數(shù)學(xué)公式、原理等相關(guān)知識(shí)，確保學(xué)生在鞏固所學(xué)知識(shí)的過(guò)程中探索全新的數(shù)學(xué)問(wèn)題.按照從簡(jiǎn)至難的基本順序進(jìn)行教學(xué)，符合學(xué)生的邏輯思維規(guī)律，促使學(xué)生在“溫故知新”的基礎(chǔ)上逐步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.2"課中把握課堂生成性本原問(wèn)題

“圓錐曲線”的課堂教學(xué)并非僅僅為了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，教師應(yīng)當(dāng)將關(guān)注點(diǎn)集中于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)上.本原性、生成性的數(shù)學(xué)課堂模式應(yīng)當(dāng)?shù)玫礁訌V泛的采用，教師應(yīng)允許學(xué)生結(jié)合自身的愛(ài)好與興趣，靈活選擇解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路.［1］通過(guò)內(nèi)化數(shù)學(xué)大綱中的圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)，捕捉學(xué)生在課堂中的反應(yīng)靈敏度、行為習(xí)慣等因素，并結(jié)合學(xué)生在課堂中的反饋信息予以改進(jìn).教師還要關(guān)注學(xué)生批判性數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，采取激勵(lì)、引導(dǎo)相結(jié)合的教學(xué)模式，啟發(fā)學(xué)生反思自身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不足，師生共同探索相應(yīng)的解決途徑.

教師可以設(shè)計(jì)問(wèn)題指導(dǎo)學(xué)生深入思考并得到答案.例如，教師提出問(wèn)題“用刀來(lái)切割圓錐體，然后截取兩個(gè)面積相同并且呈現(xiàn)相互對(duì)立位置的圓錐.在此過(guò)程中，如果需要改變圓錐與平面之間的夾角，那么通常能夠在圓錐體的截面之處得到怎樣的幾何圖形呢”.在預(yù)設(shè)數(shù)學(xué)課前導(dǎo)入問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師指導(dǎo)學(xué)生用字母a來(lái)表示圓錐母線與截面中軸的夾角，用字母b來(lái)表示圓錐中軸與截面曲線的夾角，歸納得到如下結(jié)論：如果0≤blt;a，那么截面曲線為雙曲線；如果a=b，那么截面曲線為拋物線；如果alt;b，那么截面曲線主要為封閉式的曲線形狀，即為橢圓.在此前提下，教師引出圓錐曲線的數(shù)學(xué)定義，并且要求學(xué)生聯(lián)系圓、拋物線等數(shù)學(xué)曲線的知識(shí)點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生在發(fā)揮想象力的基礎(chǔ)上猜測(cè)圓錐曲線的數(shù)學(xué)性質(zhì).［2］教師還要注重培養(yǎng)學(xué)生分析拋物線、橢圓、曲線等常見(jiàn)數(shù)學(xué)圖形的異同之處，促使學(xué)生通過(guò)自主分析形成更好的數(shù)學(xué)邏輯思維.

1.3"注重預(yù)設(shè)性問(wèn)題與生成性問(wèn)題的結(jié)合

在圓錐曲線的教學(xué)中，“預(yù)設(shè)性問(wèn)題”指的是教師在備課階段預(yù)先設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，采用預(yù)設(shè)問(wèn)題的做法引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考，最終建立起對(duì)圓錐曲線理論體系的完整印象.“生成性問(wèn)題”指的是教師通過(guò)判斷學(xué)生在課堂上的實(shí)際表現(xiàn)及反應(yīng)等因素，采用隨機(jī)設(shè)計(jì)問(wèn)題的做法，旨在激勵(lì)學(xué)生針對(duì)特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題予以深入研究，并支持學(xué)生提出獨(dú)特的想法或見(jiàn)解.因此，在圓錐曲線的教學(xué)中結(jié)合預(yù)設(shè)性、生成性的兩種數(shù)學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵就是要采取遞進(jìn)教學(xué)的模式，注重培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題表面探查其本質(zhì)的能力.教師還要注重學(xué)生多元個(gè)性的培養(yǎng)，圍繞學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣點(diǎn)等因素，靈活設(shè)計(jì)并改進(jìn)圓錐曲線的教學(xué)模式.

對(duì)于預(yù)設(shè)性、生成性的數(shù)學(xué)課堂問(wèn)題，還要建立在項(xiàng)目式探究的前提下.項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)能夠激發(fā)學(xué)生濃厚的探索熱情，確保小組成員在密切配合的基礎(chǔ)上，針對(duì)某一數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)更加深入的思考.因此，教師應(yīng)采用巧妙的形式來(lái)設(shè)計(jì)項(xiàng)目式探究問(wèn)題，密切關(guān)注學(xué)生掌握數(shù)學(xué)理論知識(shí)的能力水平差異，確保為學(xué)生設(shè)計(jì)符合興趣點(diǎn)的探究學(xué)習(xí)內(nèi)容.［3］教師還要指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)組的組員展開(kāi)分工、協(xié)作，要求小組成員在相互配合的過(guò)程中共同查找資料以及整合資料，最終歸納得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論并且予以展示.

2"本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)視角下的教學(xué)過(guò)程

2.1"數(shù)學(xué)情境，感知背景

課前導(dǎo)入問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)想并回答，我們之前所學(xué)的圓形、直線等圖形在日常生活中有哪些應(yīng)用價(jià)值？大家還知道哪些日常生活中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)圖形呢？

本原性問(wèn)題：利用平面來(lái)截取完整的圓錐，我們能夠得到圓形的截面；但是在圓錐軸線與截面角度發(fā)生變化的情況下，我們能夠得出哪種數(shù)學(xué)圖形呢？

學(xué)生唯有感受到數(shù)學(xué)課堂的豐富多彩，才會(huì)主動(dòng)去思考相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.融媒體技術(shù)融入高中圓錐曲線的課程教學(xué)，可促使學(xué)生更好體驗(yàn)立體、直觀的數(shù)學(xué)課堂情境，對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)遷移思維具有重要作用.教師通過(guò)播放動(dòng)態(tài)圖形視頻等形式，有效激發(fā)學(xué)生在探索圓錐曲線知識(shí)中的能動(dòng)性.利用融媒體技術(shù)來(lái)增進(jìn)師生在數(shù)學(xué)課堂中的信息互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生描述各種圓錐曲線圖形的異同點(diǎn).

此外，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮“跨學(xué)科思維”，啟示學(xué)生深入思考圓錐曲線在其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用.師生共同聯(lián)想圓錐曲線在冷卻塔、行星移動(dòng)軌跡、衛(wèi)星天線方面的應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生感受幾何知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用的廣泛性.

【設(shè)計(jì)意圖】巧妙設(shè)計(jì)的課堂引導(dǎo)語(yǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生緊密圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行思考.教師應(yīng)保證設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)課前導(dǎo)入問(wèn)題直接關(guān)系到“本原性”的圓錐曲線基本概念及其原理等內(nèi)容，為學(xué)生歸納圓錐曲線的共同特征打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).教師還要充分利用融媒體工具，為學(xué)生播放短視頻等背景知識(shí)資料，著重培養(yǎng)學(xué)生探索圓錐曲線“本原”理論的熱情，同時(shí)致力于降低數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解難度.

問(wèn)題"請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合圓形、直線等學(xué)過(guò)的圖形，嘗試歸納圓錐曲線的幾何性質(zhì).

師生活動(dòng)：師生明確采用坐標(biāo)法可以進(jìn)行程序化的、精確的計(jì)算，研究思路為“定義—建系—方程—性質(zhì)—應(yīng)用”.

【設(shè)計(jì)意圖】教師應(yīng)突破僵化的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，直接針對(duì)圓錐曲線的數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)設(shè)置疑問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生從整體角度入手，做到準(zhǔn)確把握?qǐng)A錐曲線問(wèn)題的核心思想.教師還要靈活采用“坐標(biāo)研究法”，增強(qiáng)學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題歸類分析中的邏輯性，有效防止學(xué)生盲目探究數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2.2"數(shù)學(xué)探究，抽象特征

問(wèn)題"大家知道用什么工具可以畫出一個(gè)橢圓形嗎？我們平時(shí)生活中常見(jiàn)的橢圓形主要有哪些物體？

師生活動(dòng)：學(xué)生舉例說(shuō)明生活中見(jiàn)過(guò)的橢圓，教師引導(dǎo)學(xué)生用“拉線作圖法”畫橢圓，探究問(wèn)題“現(xiàn)有指定長(zhǎng)度的一條細(xì)繩，我們將這條細(xì)繩的兩端固定于圖板，然后利用繩子、鉛筆將其拉緊.在此基礎(chǔ)上，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)想筆尖移動(dòng)畫出的軌跡是什么數(shù)學(xué)圖形？如果將細(xì)繩的兩端移動(dòng)開(kāi)一定的長(zhǎng)度，然后在圖板的兩側(cè)分別將其固定，然后再利用繩子、鉛筆將其拉緊，那么我們能夠畫出怎樣的曲線？它代表什么樣的數(shù)學(xué)圖形”.

將問(wèn)題進(jìn)一步規(guī)范化為“取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，

移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫出的軌跡是一個(gè)圓.如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距

離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是

什么曲線？在這一過(guò)程中，移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么”.

經(jīng)過(guò)以上探究，師生共同得出如下圓錐曲線的定義：假設(shè)｜MF1｜，｜MF2｜都屬于變量，那么某一動(dòng)點(diǎn)M在兩點(diǎn)之間移動(dòng)形成的圖形即為“圓錐曲線”.師生還能夠得出如下結(jié)論：動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即｜MF1｜+｜MF2｜是常數(shù)；類比三角形兩邊之和一定大于第三邊，可得｜MF1｜+｜MF2｜gt;｜F1F2｜.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生對(duì)于“橢圓”這種幾何圖形的特征及性質(zhì)若要予以深刻理解，則需要建立在深入展開(kāi)課堂探究的基礎(chǔ)上.教師在循序漸進(jìn)的教學(xué)理念下，采取逐步加深數(shù)學(xué)課堂指導(dǎo)的做法，將數(shù)學(xué)問(wèn)題作為驅(qū)動(dòng)課堂進(jìn)展的載體；為確保學(xué)生重新審視圓錐曲線的數(shù)學(xué)性質(zhì)，主要采取分解數(shù)學(xué)問(wèn)題的模式，并將其作為驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵因素.按照循序漸進(jìn)、逐層遞進(jìn)的基本教學(xué)思路，能夠培養(yǎng)學(xué)生在分析圓錐曲線問(wèn)題過(guò)程中的抽象思維.

2.3"數(shù)學(xué)體悟，概括要義

問(wèn)題"你能類比圓的定義用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給出橢圓的定義嗎？

師生活動(dòng)：?jiǎn)⑹緦W(xué)生自主定義數(shù)學(xué)圖形中的“橢圓形”，并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述.

學(xué)生經(jīng)過(guò)自主分析得出如下結(jié)論：

①當(dāng)｜MF1｜+｜MF2｜等于兩定點(diǎn)間的距離｜F1F2｜時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；

②當(dāng)｜MF1｜+｜MF2｜小于兩定點(diǎn)間的距離｜F1F2｜時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫

作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距，焦距

的一半稱為半焦距.

師生活動(dòng)：利用希沃白板等教學(xué)工具，啟發(fā)學(xué)生建構(gòu)雙球模型，并將其用于展示橢圓形的數(shù)學(xué)特性.教師可設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題“我們?cè)谖锢碚n堂上學(xué)過(guò)焦距的概念，那么大家知道橢圓形以及相關(guān)的數(shù)學(xué)圖形也有焦距嗎？這些數(shù)學(xué)圖形的焦距與物理學(xué)意義上的焦距有著怎樣的區(qū)別呢”.

【設(shè)計(jì)意圖】側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)、描述數(shù)學(xué)圖形性質(zhì)的能力，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)提煉、抽象得到數(shù)學(xué)圖形的本質(zhì)；啟發(fā)學(xué)生利用紙片、尺子等工具，嘗試制作橢圓形等常見(jiàn)的圓錐曲線圖形，并引導(dǎo)學(xué)生回歸本原性的數(shù)學(xué)理論知識(shí).

本原性問(wèn)題：你能回顧圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法與步驟，猜想并嘗試建立橢圓的方程嗎？結(jié)合我們學(xué)過(guò)的圓形的數(shù)學(xué)計(jì)算公式，大家猜想橢圓形這種圓錐曲線圖形的弦長(zhǎng)、面積應(yīng)該如何計(jì)算？

師生活動(dòng)：師生共同經(jīng)歷“建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系—設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x，y）以及給出相應(yīng)各點(diǎn)的坐標(biāo)—尋找點(diǎn) M（x，y）的限制條件P（M）—將坐標(biāo)代入條件P（M），列出方程—簡(jiǎn)化方程—檢驗(yàn)方程”的探究過(guò)程.在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生探索橢圓的計(jì)算公式，引導(dǎo)學(xué)生充分利用直角坐標(biāo)系等數(shù)學(xué)計(jì)算工具，經(jīng)過(guò)推演得到橢圓的弦長(zhǎng)、面積等數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】緊密圍繞學(xué)生在數(shù)學(xué)探究能力方面的差異性，采用本原性引導(dǎo)的做法，啟示學(xué)生聯(lián)想并描述“圓錐曲線”的內(nèi)涵.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合“坐標(biāo)法”來(lái)歸納、判斷數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本性質(zhì)，促使學(xué)生逐漸養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)邏輯思維，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)以及數(shù)學(xué)邏輯思維.

3"結(jié)語(yǔ)

本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式既能夠支持學(xué)生獨(dú)立探索知識(shí)，又能保證學(xué)生在數(shù)學(xué)教師的指引下體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題蘊(yùn)含的邏輯線索.在圓錐曲線的教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)當(dāng)采取行之有效的做法，支持學(xué)生在理解圓錐曲線理論知識(shí)的前提下不斷深入思考，并能夠聯(lián)系社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)分析、解決問(wèn)題.教師還要靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖等形式，啟發(fā)學(xué)生建構(gòu)多維度的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，著重培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析圓錐曲線問(wèn)題的能力.

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