立足基本圖形 多視角探尋解法

摘"要：在初中數學中，三角形、平行四邊形等基本圖形的性質是學生必須掌握的基礎知識，它們是解決幾何問題的基本工具.基于此，本文立足基本圖形，多視角探尋2024年廣東省中考數學第15題的解法，并給出其變式問題，以此培養學生的數學思維能力和創新素養，提高學生運用基本圖形的性質分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：基本圖形；構造；轉化；解法探究

與三角形、平行四邊形、圓等基本圖形有關的面積問題是歷年中考的熱點問題，倍受命題專家的青睞.這類問題通常考查基本圖形的性質及其面積的求法，其綜合性較強，具有一定的選拔功能，對學生而言具有一定的難度.本文立足基本圖形，多視角探尋2024年廣東省中考數學第15題的解法，并給出其變式問題，以期為初中數學教學提供參考.

1"試題呈現

（2024年廣東省中考數學第15題）如圖，菱形ABCD的面積為24，點E是AB的中點，點F是BC上的動點.若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為"""".

2"試題分析

本題是一道以菱形為基本圖形，以求圖形面積為問題情境的幾何計算問題.從已知條件和圖形結構來看，四邊形ABCD是菱形，其面積為24，點E是AB的中點，所以△ADE的面積是菱形ABCD面積的四分之一，即S△ADE=6.因為△BEF的面積為4，所以當菱形ABCD的內角一定時，點F就是定點，BF∶FC的值和△BEF的面積均為定值.由此可以看出，欲求△DEF的面積，需借助點E與點F的特殊位置構建△DEF的面積與△ADE的面積、△BEF的面積之間的數量關系，為問題解決創造有利條件.從考查知識來看，本題主要考查菱形的性質、中點的性質、三角形的面積等知識，它們都是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課程標準”）規定的最基礎、最核心的內容，是學生必須掌握的基礎知識.［1］由此可以看出，本題充分體現了新課程標準的要求，對學生的數學思維能力要求較高，是填空題中的一道壓軸題，承載著一定的選拔功能，對學生而言具有一定的難度.

3"解法探究

基于以上試題分析，筆者立足基本圖形的性質，多視角探尋解法.

思路1：特殊化策略.

特殊化就是將數學問題“退”到屬于它的特殊狀態進行研究，從而達到研究一般狀態的目的.在初中數學中，常見的特殊化策略包括將變量換成常量、一般圖形換成特殊圖形或特殊位置，以獲取某種啟示，這是特殊化的具體體現.在本題中，四邊形ABCD是菱形，可考慮將其特殊化為正方形，從而使問題變得更簡單，更容易解決.

解析：如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，其面積為24，所以AB=BC=CD=AD=26.因為點E是AB的中點，所以AE=BE=6.因為△BEF的面積為4，所以12BE·BF=4，所以BF=463.由此可知FC=BC-BF=263.由三角形的面積公式，可得S△ADE=12AE·AD=6，S△DFC=12FC·CD=4，從而可得S△DEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△BEF-S△DFC=10.

點評：這種解法將菱形特殊化為正方形，然后利用正方形的性質解決問題，從而快速準確地得到結論.由此可以看出，特殊化策略是一種“以退為進”的解題策略，所謂“退”，可以從一般退到特殊，從復雜退到簡單，從抽象退到具體，是解決復雜數學問題的有效方法，在解決中考填空題、選擇題時非常有效，可以為學生節省寶貴的答題時間.

思路2：“設而不求”策略.

“設而不求”的核心思想是通過設定未知數，但不直接求解這些未知數，而是利用題目中的條件進行換元或消元，從而簡化問題解決過程.

解析：設菱形ABCD的邊長為a，高為h，則ah=24.因為點E是AB的中點，所以AE=BE=12a，所以S△ADE=12·12h·AD=14ah=6，所以h=24a.設△BEF的邊BE上的高為h1，則S△BEF=12BE·h1=14ah1=4，所以h1=16a.由此可知h1=23h.設△DFC的邊CD上的高為h2，則h1+h2=h，所以h2=13h，可得S△DFC=12CD·h2=16ah=4，故S△DEF=S菱形ABCD-S△ADE-S△BEF-S△DFC=10.

點評：這種解法是根據基本圖形的面積公式直接求解，求解過程中雖然設出了有關線段的長度，但沒有直接求出未知數的值，未知數只起到了輔助作用，它是構建已知條件與所求結論之間數量關系的“橋梁”.這種解法思維嚴謹，對學生的思維能力要求較高.

解析：如圖2所示，連接BD，交EF于點G.因為菱形ABCD的面積為24，所以S△ABD=12S菱形ABCD=12.因為點E是AB的中點，所以S△ADE=S△BDE=6，S△BDF=2S△BEF=8.設S△BEG=m，則S△DEG=6-m，S△BFG=4-m，S△DFG=S△BDF-S△BFG=8-（4-m）=4+m.由此可知S△DEF=S△DEG+S△DFG=（6-m）+（4+m）=10.

點評：這種解法借助圖形之間的面積關系直接求解.與前一種解法相比，這種方法求解過程簡捷明了，屬于“多思少算”型的方法.在求解過程中，雖然設出了△BEG的面積，但并不需要求出其具體結果，它只起到“橋梁”作用，體現了“設而不求”的核心思想.

思路3：“等積轉化”策略.

在三角形中，等底等高的兩個三角形的面積相等；等高的兩個三角形，其面積之比等于對應底邊之比；等底的兩個三角形，其面積之比等于對應高之比；全等三角形的面積相等.在平行四邊形中，其對角線平分它的面積.根據三角形的面積公式及平行四邊形的性質容易得出這些結論，這些結論是“等積轉化”的依據.

解析：如圖3所示，延長DA，交FE的延長線于點G. 因為四邊形ABCD是菱形，所以AD∥BC，所以∠G=∠EFB，∠GAB=∠ABF.因為點E是AB的中點，所以AE=BE.由此可知△AEG≌△BEF，所以S△AEG=S△BEF=4，EG=EF.又易知S△ADE=6，所以S△DEG=S△AEG+S△ADE=10.由EG=EF可知S△DEF=S△DEG=10.

點評：這種解法借助線段AB的中點E構造“X型”全等三角形，成功構建了△DEF的面積與△ADE的面積、△BEF的面積之間的數量關系，為問題解決創造了非常有利的條件.與其他解法相比，這種解法運算量小，求解過程非常簡捷，是典型的“多思少算”型方法，體現了基本圖形的性質在解決幾何問題中的重要作用.

解析：如圖4所示，過點E作BC的平行線EH，交CD于點H，交DF于點I.過點F作AB的平行線FG，交EH于點G.因為菱形ABCD的面積為24，點E是AB的中點，所以S△ADE=6.易知四邊形BFGE和四邊形AEHD都是平行四邊形，由平行四邊形的性質易知S△EFG=S△BEF=4，S△ADE=S△DEH=6，FG=BE，DH=AE.因為點E是AB的中點，所以AE=BE.由此可知FG=DH.易知FG∥DH，所以∠IFG=∠IDH，∠FGI=∠DHI.在△FIG和△DIH中，因為∠IFG=∠IDH，∠FGI=∠DHI，FG=DH，所以△FIG≌△DIH，所以S△FIG=S△DIH.從而可知S△DEF=S△DEI+S△EFG+S△FGI=S△DEH-S△DIH+S△EFG+S△FGI=S△DEH+S△EFG=10.

點評：這種解法通過構造平行四邊形和“X型”全等三角形，成功構建了△DEF的面積與△ADE的面積、△BEF的面積之間的數量關系，有效實現了“等積轉化”.這種解法計算量小，只需經過簡單的推理即可解決問題.在初中數學教學中，教師要有意識地滲透轉化思想，提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.

解析：如圖5所示，連接AF.因為菱形ABCD的面積為24，所以S△ADF=12S菱形ABCD=12.因為點E是AB的中點，所以S△ADE=14S菱形ABCD=6，S△AEF=S△BEF=4.由此可知S四邊形AEFD=S△AEF+S△ADF=16，所以S△DEF=S四邊形AEFD-S△ADE=10.

點評：隨著研究的不斷深入，對圖形結構的認識也會更加深刻，圖形中已知量與未知量之間的邏輯關系也逐漸外顯化，從而可以得到更能反映問題本質的解法，這也是“一題多解”的魅力所在.

4"變式探究

愛因斯坦曾說過，提出一個問題往往比解決一個問題更重要.解決問題也許僅僅是獲得一個技能而已，而根據原有問題提出新問題，卻需要有新的思維突破與創造性思維.在初中數學學習中，善于提問是一個值得倡導的學習習慣.提出問題需要學生觀察、思考，需要借助想象力把知識和具體問題聯系起來，也需要解放自己的創造力.在一定程度上可以說，提出一個問題比解決一個問題更重要.基于此，給出問題的幾個變式，以此培養學生的創新素養.

變式1"如圖6，平行四邊形ABCD的面積為24，點E是AB的中點，點F是BC上的動點，若△BEF的面積為4，求△DEF的面積.

變式2"如圖7，菱形ABCD的面積為24，點E在AB上，BE=2AE，點F是BC上的動點，若△BEF的面積為8，求△DEF的面積.

5"結語

在初中數學教學中，教師要引導學生重視基本圖形的性質.不論多么復雜的幾何問題，都是由基本圖形構成的，考查的是基本圖形的性質.因此，基本圖形的性質是解決幾何問題的基本工具，是學生必須掌握的基礎知識.此外，教師要引導學生弄清楚解決幾何問題的基本思路，即根據已知條件和圖形結構特征，構建已知條件與所求結論之間的邏輯關系，添加輔助線是實現隱蔽的邏輯關系外顯化的重要手段.“一題多解”不僅是培養學生運用所學知識分析問題和解決問題能力的有效方法，而且是培養學生數學思維能力和創新素養的有效途徑.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.