高職數(shù)學統(tǒng)考中圓錐曲線的命題研究與教學策略

摘"要：圓錐曲線不僅是中職數(shù)學教學的重要內容，也是歷年高職數(shù)學統(tǒng)考重點考查內容，一直是高職數(shù)學統(tǒng)考的熱門問題.本文通過分析近五年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考圓錐曲線試題考查內容，討論了核心考點、命題思路、命題軌跡，并提出圓錐曲線教學建議和復習策略.

關鍵詞：高職數(shù)學統(tǒng)考；圓錐曲線；命題研究；教學策略

通過分析2020—2024年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考中圓錐曲線真題，發(fā)現(xiàn)命題緊扣《中等職業(yè)學校數(shù)學課程標準（2020年版）》（以下簡稱《課標》）［１］，題型分值穩(wěn)定，主要考查了圓錐曲線標準方程、幾何性質、中點弦、直線與圓錐曲線位置關系等問題，重點考查了數(shù)學情境創(chuàng)新、實際應用、數(shù)學運算等能力.

1"命題內容分析

1.1"考點分布

縱觀近五年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考試卷，考點詳情見表1，從整體結構上來看，每年變化不大；從知識角度來看，體現(xiàn)了以教材為本，高頻考點主要集中在圓錐曲線的標準方程、焦點坐標、焦距、離心率等.

1.2"題型分值

縱觀近五年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考中圓錐曲線試題，每年選擇題占5～6分，填空題占4分，解答題占10～12分，總分基本穩(wěn)定在19～22分.

1.3"難度層次

選擇題、填空題、解答題第（1）小題以較易題或中等難度題為主，解答題第（2）（3）小題以較難題為主，編排在試卷的壓軸題或倒數(shù)第二題的位置.

1.4"思想方法

近五年高職數(shù)學統(tǒng)考圓錐曲線試題在考查定義、標準方程、幾何性質的基礎上，也加強了對曲線與方程、數(shù)形結合、分類討論等基本思想方法的考查.

2"命題思路分析

筆者通過對近五年高職數(shù)學統(tǒng)考中圓錐曲線真題進行分類整理研究，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線試題重基礎、強應用、講創(chuàng)新.本文重點剖析了圓錐曲線解答題，其命題方向主要有以下三種.

2.1"立足定義性質，突出基本量思想

近五年考題中選擇題和填空題、解答題的第（1）小題主要考查圓錐曲線的定義、基本性質，體現(xiàn)了解決圓錐曲線問題的基本量思想.

2020年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考中第34題第（1）小題，主要利用橢圓的焦距、離心率，通過聯(lián)立方程組求得橢圓的標準方程.

2021年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考中第34題第（1）小題，先根據準線方程判斷出焦點位置，求出焦距p，進而求出拋物線的標準方程.

2022年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考中第35題第（1）小題，考查橢圓焦距、離心率，學生可以直接求出橢圓的標準方程.

2023年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考中第34題第（1）小題，先求出實半軸長a，代入已知點的坐標，利用待定系數(shù)法求出虛半軸長b，寫出雙曲線的標準方程.

2024年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考中第33題第（1）小題，考查橢圓中a，b，c之間的等量關系，通過代入法求出橢圓的焦點坐標.

2.2"聚焦弦長問題，強調靈活性原則

圓錐曲線的另外一個重要考點是直線與圓錐曲線相交弦長問題.2020-2021年高職數(shù)學統(tǒng)考中的直線與圓錐曲線相交弦長問題都重點考查了學生的邏輯推理、運算求解能力.

例1"（2020年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考第34題）若橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦距為2，離心率為22，斜率為1的直線經過橢圓的左焦點，交橢圓于A，B兩點.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）求｜AB｜的值.

解析：第（2）小題根據焦點弦特征，直曲聯(lián)立、消元、韋達定理、設而不求，由相交弦長公式求出｜AB｜，不僅考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系，而且考查學生的運算求解能力.

例2"（2021年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考第34題）如圖1所示，已知拋物線頂點為原點，準線l：y=-1/3.

（1）求拋物線的標準方程.

（2）過焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若｜AB｜=83，求直線AB的方程.

解析：第（2）小題求解時根據焦點在y軸上的拋物線焦半徑｜AF｜=｜y1｜+p2， ｜BF｜=｜y2｜+p2，得｜AB｜=｜y1｜+｜y2｜+p，求得直線的斜率k、直線AB的方程.重點考查拋物線的定義、準線方程、直線與拋物線相交弦長公式.

2.3"融入綜合問題，凸顯創(chuàng)新性理念

經研究發(fā)現(xiàn)，2022年起高職數(shù)學統(tǒng)考直線與圓錐曲線問題綜合性和創(chuàng)新性日益凸顯，運算量加大，學生理解困難，難以適應，需要掌握其解題思路和策略.

例3"（2022年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考第35題）橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦距為22，離心率e=63，過點（-2，0）的直線與橢圓交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為（-12，y0）.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）求y0的值.

解析：第（2）小題考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的中點弦公式.恰當運用點差法、“設而不求，整體代換”可以減少運算量，運用公式kAB·kOM=e2-1能快速解決橢圓、雙曲線中點弦問題.

例4"（2023年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考第34題）如圖2所示，雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）， F1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，實軸長為23，且雙曲線經過點（-2，-2）.

（1）求雙曲線的標準方程.

（2）若點M在雙曲線的漸近線上，且△MF1F2的面積為122，求點M的坐標.

（3）若點P（m，n）在雙曲線右支上，點N的坐標為（1，n），求｜PF2｜｜PN｜的值.

解析：第（2）小題再以焦距為底列出焦點三角形面積公式，進而求得點M的坐標；第（3）小題考查兩點間距離公式，將雙曲線上點P（m，n）代入雙曲線的標準方程，求出兩條線段的長度及比值.

例5"（2024年浙江省高職數(shù)學統(tǒng)考第33題）如圖3所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓x23+y2b2=1（bgt;0）的兩個焦點，且該橢圓過點A0，2.

（1）求橢圓的焦點坐標.

（2）過點A的直線與AF2垂直，交橢圓于點B，求點B的坐標.

（3）求四邊形ABF1F2的面積.

解析：第（2）小題根據直線AF2的斜率，求出與之垂直的直線AB的斜率、方程，聯(lián)立方程組，求出交點B的坐標；第（3）小題，先求出直線AB與x軸的交點M坐標，通過△AMF2與△BMF1的面積之差，求出四邊形ABF1F2面積.

3"圓錐曲線教學策略

基于上述高職數(shù)學統(tǒng)考圓錐曲線命題分析，筆者對于圓錐曲線教學提出以下建議.

3.1"把握真題明方向

高職數(shù)學統(tǒng)考試題是命題專家依據《課標》與當前教材體系，貼合教育部考試中心要求精心打磨而成，體現(xiàn)了命題的趨勢與導向.真題表征綜合，覆蓋知識主干，多點知識與多種數(shù)學思想方法匯聚于一題.因此，教師需要深入研析歷年經典真題，引導學生總結命題特點與解題思路，更要深入剖析圓錐曲線問題的本質并挖掘其中蘊含的數(shù)學實質.以圓錐曲線綜合題為例，探究特定圖形、特定直線、特定角或特定點得出的答案，在更一般的情境下是否成立，題目中參數(shù)的調整是否會影響最終結論.在探究過程中，著重培養(yǎng)學生的數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉化等數(shù)學思想方法，充分發(fā)揮真題的價值.

3.2"立足《課標》提素養(yǎng)

六個中職數(shù)學核心素養(yǎng)已成為新時代背景下中職數(shù)學課程育人的目標，同時貫穿了整個中職數(shù)學課程，并主導著課程目標的價值取向.［2］因此，將核心素養(yǎng)植根于課堂教學實踐顯得尤為重要.廣大中職數(shù)學教師需要認真研讀《課標》對圓錐曲線教學的具體要求，理解數(shù)學核心素養(yǎng)的深刻內涵.運用多元化、信息化、數(shù)字化的途徑，結合科學的教學策略，精心設計分層作業(yè)與精準作業(yè)，以有效提升核心素養(yǎng)的培養(yǎng)效果.在圓錐曲線的教學中，教師可以巧妙運用現(xiàn)代信息技術，通過調整方程中的參數(shù)，動態(tài)展示參數(shù)變化對曲線形狀及位置的直接影響，引導學生深入理解曲線與方程之間的本質聯(lián)系，從而發(fā)展學生的直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模等核心素養(yǎng).［3］

3.3"回歸教材抓基礎

中職學校數(shù)學教材是高職數(shù)學統(tǒng)考試題的原始生長點，諸多圓錐曲線試題均能在教材中追溯其“題根”，足見教材的基礎性和示范性作用.在圓錐曲線這一教學難點上，教師應深入挖掘教材中的精髓，使學生重點掌握圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質等基礎知識和基本應用.在此基礎上，著重強調數(shù)學概念及原理的嚴謹推導過程，并傳授解決有關圓錐曲線問題的通性通法，包括定義法、待定系數(shù)法、點差法等常見解題方法.此外，教師還可以利用教材中的典型例題，進行變式訓練、拓展延伸與知識遷移，促進學生對知識的深度內化、系統(tǒng)整合與網絡構建，從而全面提升學生的數(shù)學思維能力.

3.4"研讀問題強能力

鑒于高職數(shù)學統(tǒng)考對解題時效性的嚴格要求，學生在未充分解析題意的情況下急于求解，往往容易陷入解題困境.針對這一現(xiàn)象，教師亟須強化學生的審題意識與培養(yǎng)良好的審題習慣，確保學生能夠精準捕捉試題中的關鍵信息，深度解構文字內涵，有效提升學生的數(shù)學閱讀理解能力.在這一進程中，學生將逐漸提高對圓錐曲線等常見題型特征的識別敏銳度，掌握針對此類題型的系統(tǒng)性解題策略，由此迅速鎖定解題路徑，規(guī)避不必要的試錯環(huán)節(jié)，從而在保障解題精確性的基礎上，大幅度提升解題效率，進而全面增強其問題解決的能力.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.中等職業(yè)學校數(shù)學課程標準（2020年版）［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］朱建鵬，秦靜，王素霞，等.指向核心素養(yǎng)的中職數(shù)學教學實踐與策略研究［J］.中國職業(yè)技術教育，2024（11）：49-56.

［3］趙千惠，張維忠.STEAM教育理念下數(shù)學拓展課教學設計研究［J］.浙江師范大學學報（自然科學版），2024（2）：234-240.