指向深度學(xué)習(xí)的整合型微專(zhuān)題的實(shí)踐與思考

摘"要：數(shù)學(xué)微專(zhuān)題應(yīng)理性回歸教材，利用好例題或課后習(xí)題，進(jìn)行整合性、創(chuàng)造性、分層性改編，充分領(lǐng)悟新課標(biāo)的指導(dǎo)意義、教材的內(nèi)涵及外延.追求深度學(xué)習(xí)，讓碎片化的知識(shí)結(jié)構(gòu)化，讓零亂的思想方法系統(tǒng)化，構(gòu)筑完備的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，形成解決問(wèn)題的一般方法，發(fā)展學(xué)生的高階思維，提升解決問(wèn)題的能力，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程.

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；整合型微專(zhuān)題；解三角形

解三角形是高考考查的重點(diǎn)章節(jié)內(nèi)容，其中“解三角形中的范圍與最值問(wèn)題”一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).究其原因，學(xué)生未能深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想內(nèi)涵，內(nèi)化于心，而教師往往注重方法總結(jié)和展示，對(duì)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)支持不足.因此，筆者嘗試通過(guò)一次整合型微專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，對(duì)此進(jìn)行探討.

1"明確目標(biāo)，深研教材，整體架構(gòu)

“教什么”往往比“怎么教”更重要.從“教什么”的視角來(lái)看，高水平的教師，能透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，在教授顯性知識(shí)的同時(shí)，能挖掘出其后的隱性知識(shí)，即數(shù)學(xué)的本質(zhì)、過(guò)程、思想和結(jié)構(gòu)四個(gè)方面.通過(guò)深度挖掘和解讀教材隱性知識(shí)，達(dá)到與隱性知識(shí)的深度對(duì)話(huà)，有助于提高數(shù)學(xué)課堂實(shí)效和學(xué)生的綜合能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）提到，教材各個(gè)章節(jié)的設(shè)計(jì)要關(guān)注同一主線(xiàn)內(nèi)容的邏輯關(guān)系，不同主線(xiàn)內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，不同數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的通性通法、數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)內(nèi)容的展開(kāi)應(yīng)循序漸進(jìn)、螺旋上升，使教材成為一個(gè)有機(jī)的整體.［1］新課標(biāo)不僅指引教師教授教材中的顯性知識(shí)，也指引著教師如何深度挖掘其背后的隱性知識(shí).

整合型微專(zhuān)題是一種教學(xué)或?qū)W習(xí)的內(nèi)容組織形式.在教學(xué)方面，它是把教材中相關(guān)聯(lián)的、容易混淆的，或者同屬一個(gè)知識(shí)體系下的多個(gè)小知識(shí)點(diǎn)整合在一起.從定性角度看，一個(gè)三角形包含多種幾何量，如邊長(zhǎng)、角的度數(shù)、周長(zhǎng)、面積、外接圓（內(nèi)切圓）半徑、高、中線(xiàn)長(zhǎng)、角平分線(xiàn)長(zhǎng)等，從它們之間存在的各種關(guān)系中，體現(xiàn)出三角形知識(shí)的整體性；從定量角度出發(fā)，三角形六個(gè)基本要素中，只要知道其中三個(gè)（至少有一個(gè)是邊）就可以求出其余三個(gè)要素，就可以確定三角形.在學(xué)習(xí)方面，整合型微專(zhuān)題可以是學(xué)生自己根據(jù)學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)或者知識(shí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，將分散的內(nèi)容梳理整合，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以恰當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián).正弦定理、余弦定理是反映三角形邊、角關(guān)系的重要定理.利用正弦定理、余弦定理，可以將三角形中的邊的關(guān)系、角的關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，從而有助于問(wèn)題的解決.另外，許多幾何問(wèn)題、物理知識(shí)以及實(shí)際問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題來(lái)研究，這是本章的教育目標(biāo)之一.［2］教師通過(guò)構(gòu)建教學(xué)的整體觀(guān)，注重思維的進(jìn)階與知識(shí)的架構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，再通過(guò)幾何證明、計(jì)算、最值探索等方式解決三角形的實(shí)際問(wèn)題.

學(xué)情分析：學(xué)生在完成“解三角形”新授課學(xué)習(xí)后，對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題比較熟悉，如已知三邊、已知兩邊及夾角、已知兩角及一邊、已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，即在已知三個(gè)要素時(shí)會(huì)使用正弦定理、余弦定理對(duì)邊與角進(jìn)行表征；初步體會(huì)到學(xué)科內(nèi)的向量、圓、三角函數(shù)等知識(shí)與正、余弦定理的聯(lián)系，還體會(huì)到跨學(xué)科問(wèn)題中（物理學(xué)中的力學(xué)等）正、余弦定理的使用，體會(huì)到一些所謂的“隱性知識(shí)”，具備一定的整體觀(guān)，但知識(shí)體系還是零散的，體會(huì)不深，使用起來(lái)靈活性不足，化歸意識(shí)淡薄.例如，在課余對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，問(wèn)起“向量與解三角形有哪些聯(lián)系”，多數(shù)學(xué)生只是記得向量可以推導(dǎo)出正、余弦定理，至于怎么使用、本質(zhì)、過(guò)程等答不上來(lái).此外，學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題中只給兩個(gè)條件時(shí)，往往束手無(wú)策.

本微專(zhuān)題將在立足學(xué)情的基礎(chǔ)上，從新課標(biāo)提到的三條主線(xiàn)出發(fā)，關(guān)注“解三角形”的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，采取知識(shí)整合、凸顯思想的教學(xué)策略，挖掘教材中的習(xí)題資源，以開(kāi)放性主問(wèn)題引發(fā)思考，以問(wèn)題串的形式，拓展思維，自然體悟、完善其“本質(zhì)、過(guò)程、思想和結(jié)構(gòu)”.挖掘能力的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的整體觀(guān)、系統(tǒng)化思維的目標(biāo)，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程.

2"精選例題，啟迪思維

2.1"主問(wèn)題

如圖2所示，已知∠A為定角，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長(zhǎng).當(dāng)P，Q處于什么位置時(shí)，△APQ的面積最大？［3］

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題驅(qū)動(dòng)探究，提出具有挑戰(zhàn)性、開(kāi)放性的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感悟知識(shí)間的整合與聯(lián)系，從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)一類(lèi)問(wèn)題；引導(dǎo)學(xué)生提煉方法，拓展思維，感悟數(shù)學(xué)思想.題目中條件只有兩個(gè)：一角及其對(duì)邊，通過(guò)典例探究，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，提升知識(shí)的遷移能力，在現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.

2.2"教學(xué)片段

師：△APQ的面積如何表示？請(qǐng)同學(xué)們談一談自己的思路.

生：S△APQ=12AP·AQsinA.

師：哪些是變量？

生：AP與AQ.

師：面對(duì)兩個(gè)變量，如何研究AP·AQ整體的范圍？

生：轉(zhuǎn)化為單一變量，借助正弦定理，用統(tǒng)一的角表示AP與AQ.

師：面對(duì)兩個(gè)變量，還有其他轉(zhuǎn)化思路嗎？

生：可以借助于余弦定理，利用基本不等式整體放縮.

師：△APQ的面積還可以怎么表示？

生： S△APQ=12h·PQ （h為點(diǎn)A到直線(xiàn)PQ的距離，即邊PQ上的高）.

師：哪些是變量？

生：h為變量.

師：∠A和PQ為定量，但是其相對(duì)位置的變化引起h的變化，可不可以固定一個(gè)不動(dòng)呢？

生：可以借助△APQ的外接圓，將PQ作為一條固定的弦長(zhǎng)，點(diǎn)A作為圓上的動(dòng)點(diǎn)，觀(guān)察點(diǎn)A在何處時(shí)，h最大？

師：回答得很棒，下面請(qǐng)同學(xué)在黑板上完成解題過(guò)程.

隨后，學(xué)生活動(dòng)，并做總結(jié).以下呈現(xiàn)學(xué)生的主要方法.

方法一：設(shè)PQ=a，AP=x，AQ=y，則S△APQ=12xysinA.由正弦定理，得xsinQ=ysinP=asinA=2R，∴S△APQ=12xysinA=12·2RsinQ·2R·sinPsinA=2R2·sinQsin［π-（A+Q）］·sinA=2R2sinQsin（A+Q）sinA =2R2［sinQ·（sinAcosQ+cosAsin2Q）］sinA=2R2sinAsin2Q2+cosA1-cos2Q2sinA=R2·（cosA+sinAsin2Q-cosAcos2Q）=R2·［cosA-cos（2Q+A）］sinA.∵0lt;Qlt;π-A，∴Alt;2Q+Alt;2π-A，∴當(dāng)2Q+A=π時(shí)，cos（2Q+A）=-1.

S△APQmax=R2（cosA+1）sinA=a2sinA2·（cosA+1）sinA=a2（cosA+1）4sinA，

此時(shí)2Q+A=π，Q=π2-A2.再由A+P+Q=π，得P=π2-A2，∴當(dāng)AP=AQ時(shí)，△APQ的面積最大.

方法二：設(shè)∠A=α，PQ=a，AP=x，AQ=y，其中α，a為定值.由已知條件，得a2=x2+y2-2xy·cosα≥2xy-2xycosα=2xy（1-cosα）.∵1-cosαgt;0，∴xy≤a22（1-cosα），∴S△APQ=12xy·sinα≤a2sinα4（1-cosα），當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)AP=AQ時(shí)，△APQ的面積最大.

方法三：設(shè)圓O為△APQ的外接圓，把P，Q固定在圓O上，讓A點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，過(guò)A點(diǎn)向PQ所在直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為B（如圖3），則S△APQ=12AB·PQ=12AB·a，易見(jiàn)當(dāng)AB最大時(shí)S△APQ最大，即AB與過(guò)O到PQ的垂線(xiàn)段重合時(shí)，S△APQ最大（如圖4），結(jié)論同上.

3"重視小結(jié)，巧妙整合

數(shù)學(xué)解題需要靈活的思維.教師在處理此主問(wèn)題時(shí)，若處理不當(dāng)，只會(huì)使得學(xué)生就題解題，取新舍舊，不會(huì)發(fā)生學(xué)習(xí)的更高遷移.教學(xué)中不僅要教宏觀(guān)意義的思想方法，也要教具體解決問(wèn)題的思想方法.數(shù)學(xué)知識(shí)的鞏固主要在于做題，很多教師往往很在意“一題多解”，在完成主問(wèn)題后，會(huì)做如下總結(jié).

在解三角形專(zhuān)題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，通常有以下四種解題視角：①利用基本不等式求范圍或最值.在問(wèn)題涉及邊之間的關(guān)系時(shí)可以考慮；②利用函數(shù)求范圍或最值.在已知條件下根據(jù)邊、角的范圍和函數(shù)的性質(zhì)求最值或者范圍；③利用幾何性質(zhì)；④根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值.方法的根源：解三角形的條件“知三求三”，條件不夠時(shí)設(shè)變量.基本數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)、不等式等基本思想，抓住變化的量，轉(zhuǎn)化為可控的單變量（角或邊）或者幾何模型.

教師更多要關(guān)注“多解歸一”.“多解”后的“歸一”關(guān)系到學(xué)生的元認(rèn)知能力，主要包括：原認(rèn)知結(jié)構(gòu)、原學(xué)習(xí)能力.通過(guò)“多解”后的“歸一”，讓學(xué)生能夠站在系統(tǒng)的高度看問(wèn)題，進(jìn)而升華到從哲學(xué)的角度認(rèn)識(shí)世界，形成強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力.所謂的“歸一”主要從數(shù)學(xué)的“本質(zhì)、過(guò)程、思想、結(jié)構(gòu)”四個(gè)方面進(jìn)行歸納總結(jié)，形成一個(gè)整體框架.

建構(gòu)起“解三角形”的整體框架后，學(xué)生會(huì)抓住問(wèn)題本質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}，以“不變應(yīng)萬(wàn)變”.

4"科學(xué)變式，及時(shí)反饋，拓展思維

變式1"銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，B=π3，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題不變，適度改變條件.當(dāng)面對(duì)“邊角不統(tǒng)一、三角形形狀有限制”的背景時(shí)，體會(huì)正弦、余弦定理的適用性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題，靈活思維，抓住本質(zhì).

變式2"已知0°＜∠A＜180°，點(diǎn)B，C分別為其兩條邊上不與點(diǎn)A重合的點(diǎn).

（1）如圖5，若∠A＝60°，AB＝4，△ABC為銳角三角形，求AC的取值范圍.

（2）如圖6，若∠A＝60°，BC＝4，以BC為邊構(gòu)造等邊△BCD，設(shè)∠ABC＝θ，試求AD的最大值.

【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)面對(duì)條件中邊角不統(tǒng)一、三角形形狀有限制的問(wèn)題，體會(huì)正弦、余弦定理的適用性；當(dāng)問(wèn)題中的邊不在已知的三角形中時(shí)，體會(huì)轉(zhuǎn)化化歸思想，構(gòu)造條件，回歸到三角形問(wèn)題；靈活使用兩個(gè)定理，使用函數(shù)、不等式、幾何等方法解決問(wèn)題.變式2主要考查學(xué)生的思維靈活度與深度，實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階.

5"實(shí)踐反思，優(yōu)化教學(xué)

總結(jié)不同學(xué)科整合型微專(zhuān)題的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，整合型微專(zhuān)題是通過(guò)對(duì)原有相關(guān)或相似的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行提煉、歸納和有機(jī)整合，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原來(lái)分散的知識(shí)點(diǎn)在概念、思想和方法的統(tǒng)領(lǐng)下集中起來(lái)，形成一種聯(lián)系緊密、邏輯清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以整合、情境化的方式存儲(chǔ)于記憶中.深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)以高階思維為主要認(rèn)知活動(dòng)，在理解基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)本質(zhì)進(jìn)行批判性地吸收；注重對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的提煉、歸納、有機(jī)整合，將新的認(rèn)識(shí)“縫合”到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，建立有意義的聯(lián)結(jié)，高質(zhì)量地獲取知識(shí)；追求通過(guò)聯(lián)系、加工、處理和轉(zhuǎn)換，將已有知識(shí)遷移應(yīng)用到新的情境中，實(shí)現(xiàn)有效的學(xué)習(xí)遷移，促進(jìn)真實(shí)問(wèn)題的解決.［4］整合型微專(zhuān)題往往以“明、暗”兩條線(xiàn)貫穿始終，明線(xiàn)是顯性的知識(shí)點(diǎn)，暗線(xiàn)則是背后體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想、方法.整合型微專(zhuān)題還體現(xiàn)出微觀(guān)與宏觀(guān)、部分與整體的哲學(xué)思辨，表現(xiàn)出“聚焦、查漏、靈活、實(shí)用、有效、升華”的特征，可以認(rèn)為它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一道深度、精細(xì)化的加工流程，也是對(duì)數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的一種有效方式，而不是對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單的重復(fù)操作.

面對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，需要教師運(yùn)用微專(zhuān)題的手段幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，掌握重點(diǎn).微專(zhuān)題的實(shí)施需要做到以下幾點(diǎn)：關(guān)注學(xué)情，把握好時(shí)機(jī)，發(fā)現(xiàn)主問(wèn)題；回歸教材，強(qiáng)化基礎(chǔ)，問(wèn)題設(shè)計(jì)把握好度，圍繞中心精準(zhǔn)設(shè)計(jì)；變式要有理有據(jù)，回歸本源，建立知識(shí)的體系，掌握好基本思路和方法；問(wèn)題解決中注重引導(dǎo)學(xué)生，充分暴露問(wèn)題，變解題為解決問(wèn)題；關(guān)注問(wèn)題解決的效果，及時(shí)作出評(píng)價(jià)反饋.

本次微專(zhuān)題實(shí)踐中暴露出一些不足之處，如課堂中缺乏多樣化的評(píng)估與反饋，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和運(yùn)用不夠全面.后期需努力嘗試構(gòu)建高層次數(shù)學(xué)思維能力的評(píng)價(jià)框架和指標(biāo)體系，開(kāi)發(fā)高層次的數(shù)學(xué)思維任務(wù).［5］ 做到及時(shí)反饋與調(diào)整，根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)、作業(yè)反饋等，對(duì)微專(zhuān)題內(nèi)容和活動(dòng)設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，以更好地促進(jìn)深度學(xué)習(xí).教會(huì)學(xué)生能從閱讀和練習(xí)中自己找到隱性知識(shí)，學(xué)會(huì)總結(jié)和反思.

2024年新高考Ⅰ卷表現(xiàn)出題目數(shù)量減少、難度分層明顯、兼顧思維運(yùn)算、考點(diǎn)覆蓋全、回歸基礎(chǔ)、側(cè)重素養(yǎng)、注重通性通法、數(shù)學(xué)味更濃、導(dǎo)向人才選拔的特征.如何在今后的新授課、復(fù)習(xí)課中依托新教材進(jìn)行拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，在深度學(xué)習(xí)的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)，體會(huì)、生成、發(fā)展數(shù)學(xué)的思維方式，進(jìn)而培養(yǎng)出應(yīng)對(duì)新高考創(chuàng)新型試題的能力，無(wú)疑是每位一線(xiàn)教師重點(diǎn)思考與實(shí)踐的方向.

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