跳出圈子思維 培養(yǎng)模型觀念

[摘" 要] 隨著新知識(shí)的學(xué)習(xí)，有些學(xué)過(guò)的結(jié)論可以被代數(shù)證明，有些結(jié)論需要被明確前提，這些都需要跳出固有的思維圈.文章從身邊的情景剝離出數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用熟悉的習(xí)題，將結(jié)論通過(guò)二次函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行證明優(yōu)化，并推廣到一般化，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，促使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

[關(guān)鍵詞] 模型觀念;應(yīng)用意識(shí);數(shù)學(xué)思維

作者簡(jiǎn)介：姜萍（1984—），本科學(xué)歷，高級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教育工作，曾獲得杭州市教壇新秀稱(chēng)號(hào).

抽象能力和模型觀念欠缺的學(xué)生，很難將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)合在一起，這就需要教師對(duì)相關(guān)教學(xué)活動(dòng)重新定位，重新思考，重新設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生從具體事件剝離出數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的角度觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)，找到數(shù)學(xué)本質(zhì).本文以“圈地”設(shè)計(jì)活動(dòng)為例，通過(guò)學(xué)生活動(dòng)，探討如何將熟悉的問(wèn)題從“三會(huì)”的角度重構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

提出問(wèn)題

學(xué)生面對(duì)已抽象好的數(shù)學(xué)題，解題很順利，但是當(dāng)實(shí)際場(chǎng)景一出現(xiàn)，就會(huì)覺(jué)得困難，可見(jiàn)學(xué)生的抽象能力、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)均需要被培養(yǎng). 面對(duì)生活問(wèn)題，學(xué)生往往覺(jué)得它們和數(shù)學(xué)沒(méi)有關(guān)系，也就沒(méi)有了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般“套路”，不會(huì)用數(shù)學(xué)的方法去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題. 因此，重構(gòu)熟悉的場(chǎng)景，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，才能讓學(xué)生明白生活中處處有數(shù)學(xué)，從而用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

合理選材

“幾何直觀建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型.”學(xué)生的幾何作圖能力相對(duì)欠缺，尤其是方案設(shè)計(jì)類(lèi)，需要發(fā)散性思維結(jié)合幾何直觀能力，只有合理作圖后才能再進(jìn)一步抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而建立模型.

“圈地”設(shè)計(jì)活動(dòng)在教材課后習(xí)題和相關(guān)作業(yè)中多次出現(xiàn)，是二次函數(shù)的典例. 但是這些題目往往都會(huì)給出配套的圖形，忽略了培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，以致無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念. 這種看似常規(guī)且學(xué)生熟悉的問(wèn)題，重構(gòu)后就是教師最好的教學(xué)素材.

1. 數(shù)形結(jié)合，完善前提

我校勞動(dòng)基地想要用木欄圍出菜園，現(xiàn)每班分到木欄20米，該如何圍才能面積最大？

設(shè)計(jì)意圖" 打破學(xué)生小學(xué)時(shí)記憶中的結(jié)論“長(zhǎng)度固定，圍成正方形的面積最大”，這一結(jié)論并不是在任何情況下都成立.通過(guò)多種方案對(duì)比，引出沖突，學(xué)生利用二次函數(shù)求最值，驗(yàn)證兒時(shí)“正方形面積最大”這一結(jié)論的前提是不利用墻體圍四邊形.當(dāng)圍成圓，或者利用存在的墻體作為部分圍欄時(shí)，記憶中的結(jié)論也就不成立了，說(shuō)明通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)重新思考，通過(guò)持續(xù)學(xué)習(xí)，可以完善以前的結(jié)論，因此需要注意結(jié)論使用的前提.

學(xué)生設(shè)計(jì)1（不利用圍墻）：在空地上，用20米的木欄圍成矩形菜園，求能?chē)龅牟藞@面積的最大值. 具體過(guò)程如下：

設(shè)一邊長(zhǎng)為x米，面積為y，則y= x（10-x）=-（x-5）2+25，此時(shí)圍成邊長(zhǎng)為5米的正方形，面積最大，其最大值為25平方米.

學(xué)生設(shè)計(jì)2（不利用圍墻）：在空地上，用20米的木欄圍成圓形菜園，圓面積比正方形更大. 具體過(guò)程如下：

2πr=20，故r=，S=π·

2=gt;25，此時(shí)圍成半徑為米的圓，面積為平方米.

設(shè)計(jì)意圖" 這兩個(gè)方案都是特別好的設(shè)計(jì)，均符合題目的要求，說(shuō)明不能盲目使用小學(xué)根深蒂固的“周長(zhǎng)固定，正方形面積最大”這一結(jié)論.從實(shí)際場(chǎng)景分析，這兩個(gè)方案分別適用于不同的環(huán)境.設(shè)計(jì)1適用于空曠的沒(méi)有圍墻等阻隔的土地，且圍成四邊形，通過(guò)二次函數(shù)求最值，發(fā)現(xiàn)當(dāng)長(zhǎng)和寬相等時(shí)，面積最大;設(shè)計(jì)2是有重要意義的，打破了學(xué)生的固有思維，即圍成圓形，半徑最大時(shí)，面積也最大，且最大的圓面積大于正方形的面積，因此正方形面積最大的前提應(yīng)該是在沒(méi)有邊界，不利用墻體，圍成矩形這一“圈子”內(nèi)，而不是任意圖形.通過(guò)兩個(gè)方案的對(duì)比，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到結(jié)論成立的前提的重要性，而日常生活中沒(méi)有采用方案2是因?yàn)閳A形造成周?chē)耐恋睾茈y利用，不適合實(shí)際的生產(chǎn)生活.

2. 結(jié)合課本，拓展應(yīng)用

根據(jù)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，課本“二次函數(shù)的應(yīng)用”的課后作業(yè)題B組第4題“某農(nóng)場(chǎng)擬建兩間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻長(zhǎng)gt;50米），中間用一道墻隔開(kāi). 已知計(jì)劃中的建筑材料可建圍墻的總長(zhǎng)為50米，設(shè)兩間飼養(yǎng)室合計(jì)長(zhǎng)為x米，占地面積為y平方米……”可進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

學(xué)生設(shè)計(jì)3（利用圍欄）：如圖1，在空地上有一段足夠長(zhǎng)的墻MN，利用墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的一邊靠墻，另外三邊總計(jì)20米木欄，求矩形菜園ABCD面積的最大值.

[圖1][B][D][C][M][A][N]

學(xué)生：設(shè)BC= x米，面積為y，則y=x（20-x）=-（x-10）2+50，此時(shí)矩形菜園長(zhǎng)10米，寬5米，最大面積為50平方米.該方案結(jié)果大于設(shè)計(jì)1的結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖" 設(shè)計(jì)3源于課本上的習(xí)題，是較多學(xué)生條件反射作出的圖形，從而建立了模型，符合一般情況下的現(xiàn)實(shí)生活，場(chǎng)地有邊界，因此可以利用現(xiàn)有的圍墻，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的常規(guī)情況.有足夠長(zhǎng)的邊界“圈地”的最大面積的結(jié)論，與正方形面積最大這一結(jié)論也不相符.

結(jié)合課本上的場(chǎng)景，即可改編“圈地”的新問(wèn)題，具體如下：

由于生長(zhǎng)周期不同，農(nóng)作物擬分開(kāi)種植，圍兩個(gè)園子，園子一面靠墻，墻足夠長(zhǎng)，中間用一道木欄隔開(kāi)，木欄總長(zhǎng)為20米，設(shè)兩個(gè)菜園合計(jì)長(zhǎng)x米，總占地面積為y平方米，你能?chē)煽傆?jì)多大的園子呢？（如圖2）

學(xué)生回答：y=·x=-（x-10）2+.

教師引導(dǎo)：如果需要3個(gè)園子，你該如何圍呢？總面積最大是多少？

學(xué)生回答：y=·x=-（x-10）2+.

教師繼續(xù)引導(dǎo)：如果有4種農(nóng)作物需要種植，你怎么圍？總面積最大又是多少？

學(xué)生回答：y=·x=-（x-10）2+.

教師最后引導(dǎo)：如果有n種農(nóng)作物需要種植，你怎么圍？總面積最大是多少？（如圖3）

學(xué)生總結(jié)：y=·x=-（x-10）2+.

設(shè)計(jì)意圖" 通過(guò)變式，增加難度，探索通式通法. “培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是讓數(shù)學(xué)服務(wù)于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活，因此要讓學(xué)生明白種植周期不同，根據(jù)實(shí)際需要，將菜園分割，方便每種農(nóng)作物各自收割和再次種植，從而讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，需要將現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，突破傳統(tǒng)的方法，或許能想到比課本上更好的方法.

3. 結(jié)合設(shè)計(jì)，產(chǎn)生驚喜

學(xué)生設(shè)計(jì)4（利用角落）：圍成“L”型，考慮到實(shí)際場(chǎng)地一定有限，利用角落作為矩形的一角，只需圍左邊及下方的木欄AB，BC這兩條邊，即在空地上有足夠長(zhǎng)的墻MD及DN，利用墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的兩邊靠墻，可以用20米木欄，求矩形菜園ABCD面積的最大值. （如圖4）

學(xué)生：設(shè)BC=x米，則AB=（20-x）米，面積為y，則y=x（20-x）=-（x-10）2+100. 此時(shí)園子長(zhǎng)10米，寬10米，最大面積為100平方米.

設(shè)計(jì)意圖" 設(shè)計(jì)4最為特殊，學(xué)生考慮到最特殊的情況——可以利用角落“圈地”，兩邊都利用現(xiàn)有圍墻. 學(xué)生給出了突破常規(guī)的想法，求出了這四個(gè)方案設(shè)計(jì)中面積最大的情況，跳出了一般思維限制，成為這節(jié)課的亮點(diǎn)，體現(xiàn)了讓學(xué)生設(shè)計(jì)的重要性.

設(shè)計(jì)4的衍生情況：在上述基礎(chǔ)上，繼續(xù)圍“L”型，即利用一面墻MD以及前一個(gè)班級(jí)的一道木欄EF作為下一個(gè)班級(jí)的另一阻隔，跳出利用四個(gè)角落的常規(guī)思維，學(xué)生提出的分割方法如圖5所示.

拓展1：在空地上有兩段足夠長(zhǎng)的墻，利用墻MD，ND和木欄圍成矩形菜園ABCD，已知可以用20米木欄，需要圍成2個(gè)相等大小的菜園，求菜園總面積的最大值.

學(xué)生：設(shè)BF為x米，則AB為（10-x）米，總面積為y，則y=2x（10-x）= -2（x-5）2+50.

拓展2：需要圍成3個(gè)等大的菜園，求菜園總面積的最大值.

學(xué)生：y=3x

-x=-3x-

2+.

拓展3：在空地上有一段足夠長(zhǎng)的墻DN，利用墻MD，ND和木欄圍成矩形菜園ABCD，已知每班可以用20米木欄，需要圍成n個(gè)等大的菜園，求菜園總面積的最大值.（如圖6）

學(xué)生總結(jié)：y=nx

-x=-n·

x-2+.

最后思考：如果菜園子不需要等大呢？總面積的最大值會(huì)產(chǎn)生變化嗎？

學(xué)生回答：不會(huì)產(chǎn)生變化.

設(shè)計(jì)意圖" 充分肯定學(xué)生的“L”型設(shè)計(jì)，其不光可以在四個(gè)角使用，還可以橫向鋪開(kāi)，從而就具備了推廣的實(shí)際意義.進(jìn)一步結(jié)合課本習(xí)題相關(guān)的變式，從特殊到一般，從具體數(shù)字到用字母表示數(shù)，找到系數(shù)之間的關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的歸納能力和類(lèi)比思想.最后的思考題，讓這個(gè)問(wèn)題又進(jìn)一步一般化，本節(jié)課更加意猶未盡，耐人尋味.

專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)

本節(jié)課在教師的引導(dǎo)下，過(guò)程由學(xué)生完成，結(jié)果由學(xué)生呈現(xiàn)，課堂的主線和方向牢牢地把握在教師手里，為學(xué)生打上數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模和核心素養(yǎng)的底色，讓學(xué)生從學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)闀?huì)學(xué)，從關(guān)注怎么教，進(jìn)階為關(guān)注學(xué)生怎么學(xué)，不僅關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握，而且關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1. 注重創(chuàng)設(shè)引課

對(duì)于一節(jié)好課而言，一段精心設(shè)計(jì)的引課，相當(dāng)于一個(gè)好的序幕，以熟悉的“圈地”設(shè)計(jì)活動(dòng)引入，由此進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，把陌生的知識(shí)放到熟悉的環(huán)境中，再用熟悉的知識(shí)解決陌生的問(wèn)題，這就是深度學(xué)習(xí)，也是真實(shí)性學(xué)習(xí).

2. 注重基本學(xué)情

備知識(shí)的課，備學(xué)生的課.初三學(xué)生的思維能力已經(jīng)從形象經(jīng)驗(yàn)向抽象理論轉(zhuǎn)變，具備了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，也能從特殊到一般，從具體到抽象來(lái)思考和探究問(wèn)題.

3. 注重互動(dòng)交流

課堂教學(xué)不僅是知識(shí)的傳授，還有肢體語(yǔ)言、情感交流、眼神交流，更重要的是從學(xué)生身上得到生成資源.通過(guò)創(chuàng)設(shè)群體的交流提問(wèn)，利用橫向思維的遷移，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的素養(yǎng).

4. 注重核心素養(yǎng)

通過(guò)簡(jiǎn)單的應(yīng)用和形成的過(guò)程，提高學(xué)生的觀察能力、歸納概括能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，特別是數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)，培養(yǎng)分析、綜合、創(chuàng)造的高階思維. 學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探究，形成數(shù)學(xué)思想，感悟到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值，最終實(shí)現(xiàn)育人價(jià)值.