關(guān)于“切線的判定”的復(fù)習(xí)教學(xué)探究與思考

[摘" 要] “切線的判定”作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在幾何綜合題中有著廣泛的應(yīng)用. 復(fù)習(xí)教學(xué)中要整合知識定理，總結(jié)方法模型，結(jié)合實(shí)例指導(dǎo)應(yīng)用. 文章將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐開展章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計探究，并提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 切線;判定;直線;圓;模型方法

基金項(xiàng)目：福州市教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃2023年度課題“基于教學(xué)評一體化的初中生幾何推理能力培養(yǎng)行動研究”（FZ2023GH051）.

作者簡介：潘欽（1982—），本科學(xué)歷，中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

“切線的判定”是九年級上冊的重要內(nèi)容，是研究直線與圓的位置關(guān)系的核心知識，同時也是歷年中考的熱門考點(diǎn). 復(fù)習(xí)教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化判定方法，掌握作輔助線的技巧，提升學(xué)生的應(yīng)用能力. 教學(xué)過程應(yīng)注重教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生互動交流，下面開展教學(xué)探究.

教學(xué)環(huán)節(jié)探究

“切線的判定”的教學(xué)，需要指導(dǎo)學(xué)生掌握知識與方法，環(huán)節(jié)設(shè)計建議由易到難，引導(dǎo)學(xué)生從基礎(chǔ)的定義出發(fā)，再結(jié)合模型構(gòu)建判定方法，最后結(jié)合方法指導(dǎo)應(yīng)用. 綜上可知，整個教學(xué)過程可分為三個環(huán)節(jié).

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）：知識回顧，定義理解

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中直接呈現(xiàn)圖1所示的直線與圓的三種位置關(guān)系，即相交、相切、相離.

教學(xué)引導(dǎo)：借助圖像直觀呈現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系，教學(xué)中從三個視角進(jìn)行知識回顧引導(dǎo). 一是關(guān)注三種位置情形下直線與圓的交點(diǎn)個數(shù);二是關(guān)注圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系;三是關(guān)注相切情形下圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系. 根據(jù)上述引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化切線判定的證明方法，即d=r?直線與圓相切.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）：模型構(gòu)建，方法探究

該環(huán)節(jié)需要指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建切線判定的模型，開展方法探究，總結(jié)證明策略. 學(xué)生已經(jīng)初步掌握了切線判定的基本方法，復(fù)習(xí)教學(xué)的重點(diǎn)是總結(jié)模型方法.

教學(xué)預(yù)設(shè)：直線與圓相切問題，總體上可分為兩種條件情形. 教學(xué)中分情形構(gòu)建模型，探索判定方法.

情形1——直線過圓上一點(diǎn)

已知：如圖2-（a）所示，直線AB過O上的一點(diǎn)C.

求證：AB是O的切線.

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題特點(diǎn)，再探索證明思路，即分為兩個階段.

特征分析：本問題中已知直線過圓上的一點(diǎn)C，屬于“有切點(diǎn)”的情形.

思路探索：連接圓心與交點(diǎn)，即連接OC，再證明AB⊥OC，從而可推導(dǎo)出AB為O的切線.

方法總結(jié)：對于涉及直線與圓交點(diǎn)的情形，則先連接圓心與交點(diǎn)，再證明垂直，即“有點(diǎn)連半徑，證垂直”.

情形2——未設(shè)定特殊點(diǎn)

已知：如圖2-（b）所示，直線AB與O.

求證：AB是O的切線.

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中同樣需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注條件情形，再探索證明思路.

特征分析：本問題模型沒有設(shè)定直線與圓的交點(diǎn)，需要自行作圖再分析.

思路探索：可先作出OC⊥AB，設(shè)定垂足為C，再證明OC=r，即圓心到直線的距離等于圓的半徑，根據(jù)相切的定義來證明AB是O的切線.

方法總結(jié)：對于未設(shè)定直線與圓交點(diǎn)的情形，則可以先過圓心作出直線的垂線，確定距離，再證明該距離與半徑相等，即“無點(diǎn)作垂直，證半徑”.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）：應(yīng)用指導(dǎo)，方法強(qiáng)化

該環(huán)節(jié)需要指導(dǎo)學(xué)生使用上述總結(jié)的模型方法來解決實(shí)際問題. 教學(xué)中精選典型問題，關(guān)注學(xué)生的思維變化，合理設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生思考.

應(yīng)用指導(dǎo)1：作垂直，證半徑

例1" 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，以D為圓心，BD長為半徑作☉D.

求證：AC是☉D的切線.

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中使用黑板或投影儀展示上述問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，整合條件，根據(jù)上述模型方法來探索.

問題中未設(shè)定直線與圓的交點(diǎn)，這屬于上述模型的情形2，于是先作圖，如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥AC，設(shè)垂足為E. 已知AD是∠BAC的角平分線，由于DE⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可進(jìn)一步推得BD=DE. 其中BD為☉D的半徑，DE為圓心D到直線AC的距離，兩者相等，故可證明AC是☉D的切線.

[圖3][D][B][C][E][A]

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析問題，講解證明思路，讓學(xué)生在紙上規(guī)范作答. 同時設(shè)置如下問題，引導(dǎo)學(xué)生思考.

問題1：黑板上所呈現(xiàn)的思路中，你認(rèn)為最關(guān)鍵的一步是什么？

問題2：你的思路與黑板上呈現(xiàn)的思路相比，有何異同？是否還有其他的思路方法？

問題3：能否通過證明三角形全等來證明BD=DE？

應(yīng)用指導(dǎo)2：連半徑，證垂直

例2" 如圖4，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作☉O，與BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為E.求證：DE是☉O切線.

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中展示上述問題，引導(dǎo)學(xué)生分析其特征，即直線是否經(jīng)過圓上的一點(diǎn)，再確定模型方法. 本問題中，直線DE上的點(diǎn)D在圓上，屬于上述的情形1，顯然可以連接該點(diǎn)與圓心，即連接構(gòu)建半徑，再證明垂直.

連接OD，由于∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，可得∠BAC=∠BOD，所以O(shè)D∥AC. 根據(jù)條件可知DE⊥AC，則有∠AED=90°，所以∠ODE=∠AED=90°，于是可得半徑OD⊥DE，進(jìn)而證得DE是☉O的切線.

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生分析例2與例1問題的差異點(diǎn)以及所使用的模型方法思路有何差異，促使學(xué)生深入理解兩種切線證明的方法思路. 設(shè)置如下問題：

問題1：解題過程中的整體思路是什么？

問題2：與例1相比，解法思路有何差異？

問題3：請用自己的語言來概括切線證明的兩種思路.

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生互動交流，使用正確的方法思路來解決問題，歸納一般的解題步驟. 對于過程中的關(guān)鍵步驟和思路，教師要注意重點(diǎn)講解和提示.

教學(xué)設(shè)計思考

1. 精設(shè)課堂環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生參與

新課標(biāo)的核心理念是：把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生參與課堂探究. 因此教學(xué)中需要精設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生參與課堂的探究活動，使學(xué)生的思維處于活躍狀態(tài)，讓學(xué)生積極思考探索. 對于“切線的判定”復(fù)習(xí)教學(xué)課，其核心內(nèi)容應(yīng)該是總結(jié)方法模型，強(qiáng)化解題策略. 因此環(huán)節(jié)設(shè)計的重點(diǎn)應(yīng)放在模型總結(jié)與應(yīng)用探究之中. 上述設(shè)計了三個教學(xué)環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)1側(cè)重知識回顧，強(qiáng)化知識基礎(chǔ)，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生重溫教材的知識內(nèi)容;環(huán)節(jié)2則是分類探究模型，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注模型總結(jié)方法;環(huán)節(jié)3便是應(yīng)用探究，該環(huán)節(jié)側(cè)重思路應(yīng)用和講解，需要關(guān)注學(xué)生的思維變化.

2. 培養(yǎng)學(xué)生能力，拓展數(shù)學(xué)思維

學(xué)生的能力培養(yǎng)應(yīng)是教學(xué)的重點(diǎn)，也是課堂教學(xué)的最終目的. 因此復(fù)習(xí)課的教學(xué)需要從各個方面來培養(yǎng)學(xué)生的能力. 以上述“切線的判定”為例，需要學(xué)生既掌握模型分析的方法以及數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法，又掌握條件轉(zhuǎn)化、思路轉(zhuǎn)化的策略. 教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，結(jié)合圖形把握問題特征，挖掘其中的隱含條件，構(gòu)建證明結(jié)論與條件信息的關(guān)聯(lián). 思路構(gòu)建時需靈活運(yùn)用模型方法來進(jìn)行分析，理清思路，整理過程.

寫在最后

“切線的判定”的復(fù)習(xí)課教學(xué)，需要圍繞核心方法與模型開展教學(xué)探討，幫助學(xué)生掌握切線證明的方法策略. 教師要梳理知識內(nèi)容，縮短基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)時間，并對核心內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)概括，在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生參與討論，給學(xué)生留足思考時間，讓課堂煥發(fā)活力.