抓住問題根源 回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

[摘" 要] 為考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)技能中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，鼓勵(lì)學(xué)生思考而不是記住或復(fù)述幾何中的“模型”，在命制試題時(shí)應(yīng)抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，創(chuàng)造性地開發(fā)和利用課程文本資源. 文章以教材中的題目為素材，通過研究這些模型中隱圓的由來與其生成的邊、角關(guān)系，完成對一道試題的命制.

[關(guān)鍵詞] 試題命制;教材;數(shù)學(xué)本質(zhì)

作者簡介：馮玉德（1982—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，福州市教育系統(tǒng)先進(jìn)工作者，長樂區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人.

考試是教學(xué)評價(jià)的有效途徑之一，教學(xué)評價(jià)決定教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施，影響教師教學(xué)的內(nèi)容、方式、側(cè)重點(diǎn)，同時(shí)使學(xué)生通過客觀的評價(jià)結(jié)果對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行自我評價(jià)、反思，對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)具有導(dǎo)向作用. 筆者在圖形與幾何模塊的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生能夠識別經(jīng)典幾何模型，但又囿于模型，在題目中“看不到”幾何模型時(shí)會(huì)顯得束手無策. 究其原因，這部分學(xué)生對幾何模型的認(rèn)識只停留在幾何直觀上，雖能夠識別，但不能理解其本質(zhì). 因此，如果嘗試以教材中的題目為素材，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多本質(zhì)上具有相同背景的題目. 本文從人教版九年級課本題目出發(fā)，由一對直角的兩邊分別相交形成“A字型”“K字型”“飛鏢型”相似模型都可由隱圓構(gòu)造的實(shí)質(zhì)，通過研究這些模型中隱圓的由來與其生成的邊、角關(guān)系，完成對一道試題的命制.

筆者希望通過這道“舊詞新唱”的試題喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探索興趣，同時(shí)說明在教師的教學(xué)研究過程中，可以深入思考課本上例題與練習(xí)題，體會(huì)不同模型間的共性，抓住數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，增強(qiáng)教學(xué)的有效性.

試題呈現(xiàn)

在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是BC，AC的延長線上一點(diǎn)，連接DE，設(shè)∠EDC=α，AB=m，AC=n.

（1）如圖1，若AC·CE=BC·CD，求α的值;

（2）如圖2，若DE=CE，平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，滿足點(diǎn)B，F(xiàn)在直線AE同側(cè)，EF∥DC，EF·DC=AC·CE.

①求EF的長（用含m，n的式子表示）;

②連接AF，DF，求∠AFD的度數(shù)（用含α的式子表示）.

命題立意

（一）知識立意

本題考查了相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理、勾股定理、90°的圓周角所對的弦是直徑、等邊對等角、三角形的中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角定理.

（二）能力立意

本題考查了學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.要求學(xué)生能夠觀察等積式化歸出比例式，從而想到相似三角形;題目中用字母表示數(shù)，體現(xiàn)符號意識;通過等腰三角形想到直角三角形，通過兩邊分別相交的直角得到隱圓，從而發(fā)現(xiàn)解題的關(guān)鍵.

（三）素養(yǎng)立意

本題考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象這三大素養(yǎng). 要求學(xué)生能把第（1）小題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)抽象運(yùn)用到第（2）小題中，兼用逆向思維與正向思維對結(jié)論與條件進(jìn)行分析綜合，結(jié)合所學(xué)知識對解題方向直觀把握.

命題過程

（一）命題素材

命題以人教新版九年級下冊第35頁例2和第36頁練習(xí)1中的基本圖形（如圖3，圖4）作為素材. 這兩題設(shè)置的意圖是讓學(xué)生掌握相似三角形的判定定理3，識別題目中“公共角”這一隱含條件.

（二）命題思路

1. 圖形的一般化

仔細(xì)觀察圖3與圖4，特殊的是這兩個(gè)圖判定相似用到的兩對角，除去公共角，另一對都是直角. 再仔細(xì)觀察，圖4中的點(diǎn)E沿AC平移，直至點(diǎn)E和點(diǎn)C重合，圖形就轉(zhuǎn)化為圖3了. 于是，筆者萌生了一些思考：保持ED⊥AB，點(diǎn)E繼續(xù)沿AC平移會(huì)怎么樣？點(diǎn)E沿AC反向延長線平移又會(huì)怎么樣？于是有了圖5、圖6.

2. 發(fā)現(xiàn)隱圓

在點(diǎn)E沿直線AC平移的過程中，垂直和相似是一直存在的. 但是，這四幅圖更為本質(zhì)的內(nèi)涵不止于此. 垂直與很多知識都有聯(lián)系，但是觀察這四幅圖，兩個(gè)直角的兩條邊始終分別相交，連接兩個(gè)交點(diǎn)BE，不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D，點(diǎn)C始終在以BE為直徑的圓上（如圖7-圖10），這也就是在變化中不變的本質(zhì).

到此，此類圖形完成了本質(zhì)的統(tǒng)一. 因此，命題時(shí)只選取其中一種（即圖7）作為題干的基本圖形.

3. 畫板探索

利用幾何畫板畫出Rt△ABC，如圖11-圖13. 觀察點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程與隱圓圓心F的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線l，且l∥AC. 連接DF，F(xiàn)C發(fā)現(xiàn)∠DFC在運(yùn)動(dòng)的過程中角度不變.

在這個(gè)基礎(chǔ)上，對三角形相似的因果進(jìn)行置換，將相似轉(zhuǎn)化為比例式，將比例式轉(zhuǎn)化為等積式得到基礎(chǔ)題干，再利用基礎(chǔ)幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化等積式中的因數(shù)，形成一道完整的試題.

（三）命題方案改進(jìn)

1. 第一稿

如圖14，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的延長線上的點(diǎn)，連接DE，若AC·CE=BC·CD，求證：AB2+AE 2=DE 2+DB2.

分析" 本題主要考查了相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理、勾股定理. 需要連接EB，能夠體現(xiàn)點(diǎn)D和點(diǎn)A在以EB為直徑的圓上，但是后續(xù)求證的問題與此無關(guān)，“有來龍，但無去脈”，脫離了命題的本來意圖.

2. 第二稿

如圖14，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D， E分別是BC，AC的延長線上的點(diǎn)，連接DE，AC·CE=BC·CD，存在一點(diǎn)F到點(diǎn)D，E的距離相等，點(diǎn)F到點(diǎn)A，B的距離相等.

（1）使用尺規(guī)在圖14中作出點(diǎn)F，連接AF，DF;

（2） 求∠AFD與∠DCE的數(shù)量關(guān)系.

分析" 本題考查了尺規(guī)作圖的能力、線段垂直平分線的定義、相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理、90°的圓周角所對的弦是直徑，體現(xiàn)了筆者利用幾何畫板找到的規(guī)律. 但是圖中存在的相似關(guān)系可以通過幾何直觀看出來，仍未實(shí)現(xiàn)“去模型化”.

3. 第三稿

在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的延長線上的點(diǎn)，連接DE，設(shè)∠EDC=α.

（1）如圖15，若AC·CE=BC·CD，求α的值;

（2）如圖16，若DE=CE，平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，滿足點(diǎn)B，F(xiàn)在直線AE同側(cè)，EF∥DC，且EF·DC=AC·CE，連接AF，DF，求∠AFD的度數(shù)（用含α的式子表示）.

分析" 本題考查了相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理、勾股定理、90°的圓周角所對的弦是直徑、等邊對等角、三角形的中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角定理. 能體現(xiàn)圖形的實(shí)質(zhì)，同時(shí)需要學(xué)生思考兩個(gè)小題之間的關(guān)系，從認(rèn)識模型到理解模型的實(shí)質(zhì). 但是第（1）小題與第（2）小題之間的跨度太大，需要一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生思維過渡的橋梁.

解答思路

這道題的第（1）小題題干出現(xiàn)了等積式AC·CE=BC·CD，根據(jù)等式的性質(zhì)，可將其轉(zhuǎn)化為比例式. 學(xué)生可以從幾何直觀去感受，圖中存在的相似三角形為△DEC與△ABC，因此，題中的AC·CE=BC·CD應(yīng)轉(zhuǎn)化為=，從而證明△DEC∽△ABC，求出α的值.

在完成了第（1）小題之后，需要對該小題蘊(yùn)含的圖形關(guān)系進(jìn)行思考，圖形中存在一對兩邊分別相交的直角，對直角的特殊性的思考是對本題的重大突破.對直角的思考一：90°的圓周角所對的弦是直徑，從這個(gè)思路出發(fā)，嘗試連接EB，點(diǎn)D和點(diǎn)A在以EB為直徑的圓上. 對直角的思考二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從這個(gè)思路出發(fā)，嘗試連接EB，取EB中點(diǎn)F，連接FD和FA，則EF=FB=FD=FA，從而E，B，D，A四點(diǎn)共圓.

第（2）小題的圖形與第（1）小題相比，保留了對頂角相等這一條件，但是不再有“雙垂直”，根據(jù)試題思維的遞進(jìn)性，應(yīng)從變化中尋找或構(gòu)造不變，即我們需要在第（2）題的△DEC中構(gòu)造垂直. 利用等腰三角形構(gòu)造直角三角形的常見思路有兩種：一種是利用三線合一定理作底邊中線，本題中可作CD邊上的中線;另一種是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，倍長一腰，本題中可延長CE至點(diǎn)G，使得CE=EG. 這兩種方法都能完成第（2）題①.

完成第（2）題①后再來審視這個(gè)結(jié)果：EF=BC，EF∥BC，延長CE與BF相交于一點(diǎn)，形成一個(gè)三角形，EF是這個(gè)三角形的中位線，而CE與BF的交點(diǎn)恰是前面所說的利用△DEC構(gòu)造垂直的第二種思路中的點(diǎn)G. 從這里回過頭去看①，應(yīng)該優(yōu)選“倍長一腰”法.

到這里圖形已經(jīng)完全回到了第（1）小題的思考中，∠AFD實(shí)際上是一個(gè)圓心角，可利用圓周角定理求∠AFD的度數(shù).

命題拓展

在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是射線CB，CA上一點(diǎn)，連接DE，設(shè)∠EDC=α.

（1）如圖17，若AC·CE=BC·CD，求α的值;

（2）如圖18，若DE=CE，平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，滿足點(diǎn)B，F(xiàn)在直線AE同側(cè)，EF∥DC，且EF·DC=AC·CE.

①求EF的長（用含m，n的式子表示）;

②連接AF，DF，求∠AFD的度數(shù)（用含α的式子表示）.

命題反思

（一）關(guān)注學(xué)生主體地位，分層考查核心素養(yǎng)

試題應(yīng)能作為客觀評價(jià)學(xué)生的一種工具，能考查學(xué)生的核心素養(yǎng). 為了呈現(xiàn)區(qū)分度，體現(xiàn)命題的效度，更全面地評價(jià)學(xué)生，一份試卷里要有各種難度梯度的試題，尤其少不了“畫龍點(diǎn)睛”的壓軸綜合題，筆者在本文中命制的就是一道綜合題. 在命制綜合題時(shí)，特別要注意各小題之間的難度遞進(jìn)關(guān)系與思維方法的共性，使學(xué)生在螺旋上升的思維過程中體會(huì)試題揭示的規(guī)律.

（二）圍繞教材研究教學(xué)，思考課本模型實(shí)質(zhì)

考試是教學(xué)評價(jià)的一種手段，對教師的教學(xué)具有導(dǎo)向作用. 命題遵守“源于課本而又高于課本”的原則. 在教學(xué)過程中，正需要把“源于課本”的題目理解透徹，厘清其內(nèi)核，在保持內(nèi)核的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式、拔高立意. 如庖丁解牛，從“所見無非牛”到“目無全牛”;從“技”開始，更進(jìn)一層達(dá)到“道”. 學(xué)生的核心素養(yǎng)正是在這樣的過程中落地生根的.

（三）發(fā)揮信息技術(shù)作用，提升教學(xué)研究效率

以圖形與幾何模塊的教學(xué)研究為例，幾何畫板作用巨大. 研究課本例題及練習(xí)題時(shí)，先思考題干條件的“定”與“動(dòng)”. 利用幾何畫板動(dòng)畫演示圖形的運(yùn)動(dòng)過程，適當(dāng)添加輔助線，尋找在圖形的變化過程中不變的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系.