凸顯數系擴充過程 強化核心素養導向

摘" 要：有理數及其運算是中小學數學課程的核心內容. 人教版新教材為了引導學生深度經歷數系擴充過程，強化核心素養導向，修訂了知識呈現方式，規范了運算體系架構，增加了“圖說數學史”等欄目. 現從新知布局、內容變化、欄目特色等方面，對有理數及其運算內容修訂前后進行比較、分析，深入剖析新教材的編寫意圖，同時提出教學建議.

關鍵詞：有理數；數系擴充；抽象能力；運算能力；教學策略

中圖分類號：G634" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）01-0007-05

引用格式：王飛兵. 凸顯數系擴充過程" 強化核心素養導向：人教版新舊教材有理數及其運算內容的比較分析及教學啟示［J］. 中國數學教育（初中版），2025（1）：7-11.

自《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）頒布以來，初中數學的教學方式已經發生改變，2024年發行的人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“新教材”）更是與時俱進地為數學教學變革提供了重要抓手. 數學教學要深化素養立意，凸顯學科育人價值，就要在理解《標準》、理解新教材的基礎上進行教學. 現對比新教材與2012年人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“舊教材”）中有理數相關內容，分析修訂原因并提出教學建議，與同行分享、交流.

一、有理數及其運算的地位與作用

有理數及其運算是“數與式”主題中的重要內容，也是學生進入初中階段首先接觸到的新知識，它是聯系小學階段算術與初中階段代數內容的橋梁. 負數的引入將學生認識的數擴大到了有理數，學生將首次經歷數系擴充的過程，體會數系擴充的重要思想. 《標準》在學段目標中對有理數和實數提出了“經歷有理數、實數的形成過程，初步理解數域擴充”的要求. 有理數的運算是有理數系的核心，探究有理數的運算蘊含著學科育人價值，即在小學的基礎上進一步發展學生的數感、抽象能力與運算能力. 有理數及其運算的研究內容、研究思路、研究方法是學生后續學習無理數、實數的基礎，也為研究代數式的形式化運算提供了一般觀念和思維方式，它也是學習方程、不等式和函數等代數知識的基礎. 依據《標準》對教學內容的新要求，“有理數及其運算”的教學內容不僅地位重要，而且與運算能力、抽象能力、空間觀念、幾何直觀、創新意識、應用意識等核心素養表現形式關聯密切，能較為全面地體現發展“三會”的數學核心素養要求.

二、新教材的變化及原因分析

為了更深刻、高效地落實《標準》的理念，導向核心素養的達成，新教材對有理數及其運算的新知架構、核心概念呈現方式、算法歸納等方面進行了全面修訂.

1. 調整了新知架構，更加契合學生的認知基礎

從結構上看，新舊版本教材的差異較大，新教材七年級上冊將有理數及其運算的教學內容分為兩章，如表1所示.

表1" 人教版教材有理數內容新知架構對比

[新教材 舊教材 第一章“有理數” 第二章“有理數的運算” 第一章“有理數” 1.1 正數和負數

1.2 有理數及其大小比較 2.1 有理數的加法與減法

2.2 有理數的乘法與除法

2.3 有理數的乘方 1.1 正數和負數

1.2 有理數

1.3 有理數的加減法

1.4 有理數的乘除法

1.5 有理數的乘方 ]

通過對比發現，作為七年級的起始章，舊教材七年級上冊第一章的教學內容確實較多. 學生既要經歷有理數的產生過程，學習有理數的相關概念，又要探究其運算法則與運算律. 同時，由于小學階段對負數沒有進行嚴格的表述，七年級學生缺少負數的學習基礎，將諸多學習重點安排在同一章，對剛進入初中階段的學生形成了較大的挑戰. 新教材將原“有理數”一章的內容分為前后相連的兩章，將有理數及相關概念的理解與有理數的運算兩個重點分散，既保證了有理數內容的整體性，又給予了學生更多適應初中學習的時間與空間. 這種安排不僅契合學生的認知規律，能引導學生經歷從結構化的視角自主構架知識體系的過程，也有利于教師在教學中循序漸進地分段突破教學難點，逐層滲透數系擴充的思想，突出對學生運算能力與推理能力的培養.

2. 規范了概念表述，進一步體現數學知識的嚴謹性

數學概念是學生數學思維形式的基礎，它能抽象地反映某一類事物內在的本質屬性，其表現形式必須準確、簡明. 數學法則也需要精準地描述數學對象的性質與關系.

（1）改進了有理數的概念.

有理數是“數與代數”領域的重要概念. 在確定有理數概念時，不僅要體現有理數的本質，還要適應學生的認知水平.

舊教材中給出“整數與分數統稱為有理數”，這種描述方式只是從形式上對有理數進行了說明. 例如，整數2可以寫成分母為1的分數[21]，從形式上來講2也是分數，由此產生了認知沖突. 新教材中將有理數的概念描述為“可以寫成分數形式的數稱為有理數”，避免了上述認知沖突.

從本質上講，有理數就是可以比的數，可以寫成一個整數與另一個非零整數的比，因此有理數就是有限小數或無限循環小數. 但由于學生還未接觸到有理數的除法，所以存在理解上的難點. 新教材中的“可以寫成分數形式的數稱為有理數”，更貼近數學本質. 在第二章學習有理數的除法時，教材中又對有理數的概念進行了更為規范的表述：“形如[pq]（[p，q]是整數，[q≠0]）的數都是有理數.” 對比發現，新教材分兩章逐層深入地引導學生剖析有理數這個核心概念，不僅符合學生的認知特點，也滲透了概念的本質，將教材的可讀性與數學知識的嚴謹性進行了完美統一.

（2）修正了數軸的概念.

數軸是輔助學生從形的視角理解有理數及其運算的重要載體，體現了數形結合思想. 舊教材中規定直線上從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負方向. 這種描述值得商榷. 首先，數軸上的相對位置是基于正負分類的需要，而不是空間位置的左右或上下；其次，在學生未學習平面直角坐標系之前，接觸到的數軸都是水平的，無法直觀感知“向上或向下”方向的含義. 新教材在定義數軸時規定：原點將數軸（原點除外）分成兩部分，其中正方向一側的部分叫作數軸的正半軸；另一側的部分叫作數軸的負半軸. 這種表述方式既從形的視角規定了“具有相反意義的量”的表示方法，又凸顯了數軸的意義與作用.

（3）完善了有理數的運算法則.

運算法則是為刻畫運算結果而人為規定的運算操作流程，既要陳述操作過程，又要嚴謹、準確地說明運算結果.

由表2可知，新教材對法則的描述更為精準. 加法法則與乘法法則雖然只是算法，但不能只強調操作方式，更要規定運算結果的形式. 因為從本質上講，加法法則與乘法法則的目標就是規定兩數“和”與“積”的形式. 新教材在規定法則時，清晰、準確地界定了兩個有理數相加（或相乘）所得和（或積）的符號與絕對值，而原來的表述則對運算結果關注得不夠，更像是對操作流程的說明.

表2" 有理數加法法則、乘法法則的描述

[ 新教材 舊教材 有理

數的

加法

法則 1. 同號兩數相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值的和.

2. 絕對值不相等的異號兩數相加，和取絕對值較大的加數的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值中較大者與較小者的差. 互為相反數的兩個數相加得0.

3. 一個數與0相加，仍得這個數 1. 同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加.

2. 絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值. 互為相反數的兩個數相加得0.

3. 一個數同0相加，仍得這個數 有理

數的

乘法

法則 兩數相乘，同號得正，異號得負，且積的絕對值等于乘數的絕對值的積. 任何數與0相乘，都得0 兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘. 任何數與0相乘，都得0 ]

在有理數系（域）中，有理數的和、差、積、商（除數不為0）仍然是有理數. 為增進學生對數系擴充后有理數四則運算封閉性的理解，引導學生從系統的高度理解有理數運算的意義，新教材在歸納有理數的運算法則之后，增加了運算封閉性的說明，如“顯然，兩個有理數相加，和是一個有理數”；歸納有理數減法法則之后，也增加了一句話：“顯然，兩個有理數相減，差是一個有理數.”

（4）補充了有理數運算的符號化表達.

運算是代數的核心. 式的運算其實就是對符號進行形式化運算的結果. 為了更好地滲透數式通性，為后續式的運算作鋪墊，新教材在給出有理數乘法法則時，補充了形式化表達. 設[a，b]為正有理數，c為任意有理數，則[+a×+b=+a×b， -a×-b=+a×b;][-a×+b=-a×b， +a×-b=-a×b ;c×0=0，][0×c=]0. 顯然，兩個有理數相乘，積是一個有理數. 在本章小結時，也對有理數四則運算的封閉性進行了符號化表征.

3. 升級了拓展欄目，進一步拓寬教師的教學資源

除了正文之外，教材配置的拓展性資源是教學內容的重要補充. 為了更好地發揮數學學科的育人價值，多角度增進學生對新知的理解，新教材中對這些教學輔助資源進行了重組與升級，更新了“閱讀與思考”“探究與發現”等欄目，增加了“圖說數學史”欄目.

由表3可知，舊教材的拓展欄目均安排在有理數的運算之后，而對數的發展過程關注不夠. 例如，“填幻方”旨在鞏固有理數加減法的應用；“翻牌游戲中的道理”是有理數乘法的應用. 新教材將“用正負數表示允許偏差”安排在“1.1 正數和負數”之后，以閱讀材料的形式展示現實生活中用正負數表示允許偏差的例子，說明負數在生活中的廣泛應用，強化負數在表示相反意義的量時的重要價值，展現數系擴充的現實必要性.

表3" 拓展性欄目設置對比

[新教材 舊教材 第一章“有理數” 第二章“有理數的運算” 第一章“有理數” 閱讀與思考：用正負數表示允許偏差；

圖說數學史：漫漫長路識負數 閱讀與思考：我國古代的正負數加減運算法則——正負術；

探究與發現：從數系擴充看有理數乘法法則 實驗與探究：填幻方；

閱讀與思考：中國人最先使用負數；

觀察與猜想：翻牌游戲中的數學道理 ]

“圖說數學史”是新增加的欄目. 在引入負數之后，該欄目以“漫漫長路識負數”為主題，以時間軸畫卷的形式，圖文并茂地展現了與負數發展相關的重要歷史節點，摘要式地呈現了中外數學家的重大貢獻，這既拓寬了學生的知識面，為學生了解中國古代數學家在數的發展方面的杰出貢獻提供了載體，又促進了學生在閱讀數學簡史的過程中體會數學的嚴謹性，感悟數學研究的曲折不易，從而發展學生的理性思維，輔助學生形成質疑、反思的學習品質，促進數學核心素養的發展.

學習了有理數的加法與減法后，為深化學生對加法法則和減法法則的理解，新教材修訂了原“閱讀與思考”欄目，重點分析了《九章算術》中的“正負術”. 學生通過本欄目的閱讀，能從古人的視角理解加法法則與減法法則的合理性，在鞏固新知的同時，培養了愛國情懷和民族自豪感. 對于較難理解的乘法法則，新教材則開發了“探究與發現”欄目，從數系擴充的視角引導學生理解有理數乘法法則的合理性.

4. 增加了綜合與實踐活動

為了輔助學生深度理解有理數及其運算，感受數學運算與現實生活的密切聯系，新教材以“進位制的認識與探究”為主題，呈現了第一個主題式學習. 該活動旨在引導學生探究理解不同進位制的數之間的轉換，掌握進制數的加法運算法則及其應用，體會運算法則的邏輯相容性與一致性. 該主題學習分為三個活動，每個活動又以問題串的形式層層遞進，有序推進了活動任務群組的探究. 這種全新的學習方式不僅能激發學生的研究興趣，讓不同學生都有學習的代入感，更能促進不同思維層次的學生在分工、合作中有不同的學習收獲.

三、基于有理數及其運算的教學建議

通過比較、分析可知，新教材在有理數及其運算相關內容的編排上變化較大. 教師在使用新教材時應該深刻領悟教材的編寫意圖，以核心素養為導向，提高教學實效.

1. 注重小初銜接，整體分析教學內容

《標準》要求教學目標的設定要體現整體性和階段性. 這就要求教師對數及其運算的教學內容進行整體性分析. 實際上，學生在小學階段學過的數及其運算的相關知識就是有理數及其運算，只是數的范圍限制在正數和0. 因此，教師要有整體教學觀，在教學過程中注重與小學階段算術知識與方法的銜接，將負數的產生過程納入自然數、分數的發展鏈中，整體展現數的發展歷程，促進學生理解數的發生發展的必然性與合理性，理解有理數的概念與價值. 同時，對運算法則的抽象要基于正數與0的運算經驗，輔助學生構建有理數運算的知識結構，讓學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，為后續用系統思維探究代數運算作鋪墊. 同時，整體分析并處理有理數及其運算的教學內容，有利于學生在探究過程中感悟數的研究的一般觀念，即“定義新數—研究分類及性質—研究運算—研究運算律—計算應用”，為后續實數、復數的學習提供了先行組織者，促使學生學會學習.

2. 剖析知識本質，滲透數系擴充思想

在有理數及其運算的教學中，教師要關注學生對有理數概念本質的理解，引導學生借助數軸了解其有序性，理解運算的合理性，再從加、減、乘、除運算法則與運算律之間的聯系出發，挖掘知識發生發展的暗線，輔助學生建立數的研究的知識結構.

在有理數及其運算的學習中，數系擴充思想將貫穿始終. 教師要引導學生深入淺出地感悟數系擴充思想，即擴大數集、拓展運算、保持運算律. 為了在生活中更簡約地表示具有相反意義的量，也為解決減法封閉性的問題，引入了負數. 把數的范圍擴大到有理數后，對新數集要研究其性質，比較大小，探究運算法則，研究運算律，要引導學生理解這是數系擴充大觀念下的知識發展的必然邏輯.

當然，運算是數系擴充中的關鍵，具體體現在新數集中的運算法則必須與原數集中的運算法則保持邏輯一致，原數集中的運算律在擴充后的數集中仍然保持. 教學中，教師要秉承“將小學學習的運算推廣到有理數范圍內”的教學目標引導學生探究，不能另起爐灶. 例如，在有理數乘法法則的探究中，我們希望在有理數范圍內，所有數都能像正數和0一樣進行乘法運算，并使乘法運算具有一致性. 于是從兩個正數相乘開始，先將一個乘數逐次減少1，直至這個乘數變成0、負數，再將另一個乘數也依次減少1，通過觀察變化過程中積的變化來歸納積的形式，最后通過抽象與歸納得到有理數的乘法法則. 這種連貫性的探究方式能促進學生領悟“新法”包含“舊法”的道理，從而滲透數系擴充思想.

同樣地，在數軸概念的教學中，也需要從數系擴充的視角進行引導. 例如，正數和0可以在一條直線上表示，負數可以在這條直線上表示嗎？如何合理地標記呢？從而自然地抽象出數軸的三要素.

3. 采用歸納教學，發展學生的抽象能力與歸納能力

史寧中教授認為，我們通過抽象獲得研究對象，又對這些對象進行抽象地研究. 所以抽象能力是發展學生用數學的眼光觀察現實世界能力的重要素養. 有理數及其運算的教學為學生抽象能力的培養提供了許多載體，如負數、數軸、相反數、絕對值等概念都是通過抽象獲得的（如數2是抽象所得，現實中并沒有2，只有2只筆、2個籃球等實物）. 教學中，教師要基于學生已有的生活經驗，采用典型的生活實例，引導學生從數學的視角分析問題情境，研究對象的本質特性，經歷抽象的過程，再通過歸納形成概念.

歸納推理是獲取新知、探究新知的重要思想方法. 初中階段許多代數知識都是通過歸納推理所得，對有理數及其運算的教學不能只停留在知識層面，應該基于知識的生成過程進行思維的教學，促進學生核心素養的達成. 因此，在教學過程中，教師要一以貫之地采用歸納的方式，為學生創設“生活實例—觀察試驗—比較分析—分類歸納—抽象概括”的探究性學習過程. 在有理數運算法則與運算律的探究中，要引導學生充分經歷有理數運算法則的生成過程，輔助學生在歸納推理的過程中抽象法則，理解運算律. 這種重視探究過程的教學引領方式不僅能提升學生發現問題、提出問題、分析問題的能力，更能幫助學生形成探究問題的一般思路與方法，促進“三會”核心素養的達成.

新教材是教學的藍本，它對有理數及其運算教學內容的深度修訂，體現了《標準》的理念及要求. 教師要在對比分析中領悟變化的原因，改進教學方式，提升教學效能，從而更高效地發揮數學的育人價值.

參考文獻：

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［4］史寧中. 數學基本思想18講［M］. 北京：北京師范大學出版社，2016.

基金項目：國家教材建設重點研究基地2023年度教育部規劃重大項目——中小學教輔、教學資源與教材的關系研究（2023GH-ZDA-JJ-Y-02）.

作者簡介：王飛兵（1978— ），男，正高級教師，浙江省特級教師，主要從事中學數學教學、教材和考試評價研究.