摘要：向量運(yùn)算對象的多樣性與運(yùn)動(dòng)發(fā)展的特殊性，使其成為促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展的重要載體.本文立足數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的向量解題教學(xué)，首先，需呈現(xiàn)問題，確定運(yùn)算對象；其次，經(jīng)過多法破解，深入理解運(yùn)算整體算理；最后，經(jīng)過解題反思，形成與自己相符的運(yùn)算算法.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；高中數(shù)學(xué)；向量；解題策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中明確指出，立足數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)開展的教學(xué)活動(dòng)，需提出適合的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和交流，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的形成與發(fā)展.鑒于此，本文主要以高中數(shù)學(xué)的向量解題為例，對其實(shí)施深入剖析，引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地解釋向量題中隱含的信息，并加以提取，通過知識的靈活轉(zhuǎn)換，進(jìn)行信息翻譯，對解題思路的形成基礎(chǔ)以及解題方法的形成全過程展開分析，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行周密思考，實(shí)施正確判斷與高效解題，從而使學(xué)生形成敏捷、條理性思維，并促進(jìn)其核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1向量是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體

1.1向量運(yùn)算的對象多樣

向量是促進(jìn)代數(shù)、幾何各個(gè)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)溝通的重要橋梁，既具備數(shù)的屬性，又具備形的特性；既具備幾何運(yùn)算，又具備代數(shù)運(yùn)算.由此可知，向量運(yùn)算的對象是多種多樣的，如向量的混合積、向量積、向量的加減法、數(shù)量積等，能夠是實(shí)數(shù)和向量的運(yùn)算，類似于數(shù)乘運(yùn)算；同時(shí)，還能是有向線段的運(yùn)算，類似于三角形法則、平行四邊形法則等；也能是點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)算，如坐標(biāo)計(jì)算；還可以是符號運(yùn)算，如通過其他的向量來表示另一個(gè)向量等等，可以說，向量的運(yùn)算包含了高中數(shù)學(xué)中所有的運(yùn)算對象，這對學(xué)生明確運(yùn)算的對象是有著顯著象征意義的.

1.2向量運(yùn)算的獨(dú)特性

大部分情況下，進(jìn)行向量運(yùn)算都要遵守常規(guī)的代數(shù)計(jì)算法則，類似于分配律、交換律、結(jié)合律等，其也有自己獨(dú)有的運(yùn)算法則，如向量具備的“自由移動(dòng)”的特征，這就使任何的向量都能平移至相同起點(diǎn)或平移至有助于解決問題的狀態(tài)，從而使向量能夠應(yīng)用于任何的幾何位置關(guān)系.向量中的“數(shù)量積”的計(jì)算，可以使兩個(gè)“向量”的乘積變?yōu)椤皵?shù)量”，以此使計(jì)算的結(jié)果出現(xiàn)“質(zhì)的變化”.有些代數(shù)計(jì)算法則中，如消去律、結(jié)合律，在數(shù)量積的運(yùn)算中就不成立，而數(shù)量積的運(yùn)算過程，也不再成立，數(shù)量積也不存有逆運(yùn)算.這雖然和“常理”是有所相悖的，但經(jīng)過數(shù)量積的探究，都能促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展.

1.3向量運(yùn)算的方法靈活

向量運(yùn)算過程能夠從“形”進(jìn)行感知，通過直觀感知來獲取運(yùn)算結(jié)果；又或者是從“數(shù)”入手，數(shù)的運(yùn)算又包含了“基底運(yùn)算”以及“坐標(biāo)運(yùn)算”.向量運(yùn)算的方法靈活性造成了解題法的多元化.

2核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)解題策略探討——以向量解題為例

2.1立足算理，培養(yǎng)邏輯推理運(yùn)算素養(yǎng)

2.1.1問題呈現(xiàn)

設(shè)e1、e2是單位向量，非零向量b=xe1＋ye2，其中，x、y∈R，如果e1、e2的夾角是π6，那么，｜x｜｜b｜的最大值為.

2.1.2多法破解

解法1：直接運(yùn)算.

b2=（xe1＋ye2）2=x2＋y2＋3xy.

因此，｜x｜｜b｜=｜x｜x2＋y2＋3xy=11＋yx2＋3yx.

現(xiàn)令yx=t，則有｜x｜｜b｜=1t＋322＋14≤2，因此，｜x｜｜b｜的最大值是2.

解法2：三角換元.

由于b2=（xe1＋ye2）2=x2＋y2＋3xy，可得到

1=｜x｜｜b｜2＋｜y｜｜b｜2＋3｜x｜｜b｜·｜y｜｜b｜，現(xiàn)令｜x｜｜b｜=m，｜y｜｜b｜=n，那么就有1=m2＋n2＋3mn，即1=14m2＋32m＋n2.令m2=｜c(diǎn)osα｜，32m＋n=｜sinα｜，由此可知，m的最大值是2，｜x｜｜b｜的最大值是2.

解法3：坐標(biāo)法.

設(shè)e1=（1，0），e2=32，12，則有b=x＋32y，12y，由此可得

｜x｜｜b｜=｜x｜x＋32y2＋14y2=｜x｜x2＋y2＋3xy.令yx=t，則有｜x｜｜b｜=1t＋322＋14≤2，因此，｜x｜｜b｜的最大值是2.

解法4：平行四邊形法.

假設(shè)x≠0，依據(jù)b=xe1＋ye2，可得到bx=e1＋yxe2，即bx=e1＋yxe2.運(yùn)用平行四邊形的法則可畫出圖1，依據(jù)圖1 可得bxmin=12，此時(shí)｜x｜｜b｜=2，即｜x｜｜b｜的最大值是2.

2.1.3解題反思

解題反思的全過程既有利于學(xué)生鞏固知識，熟練掌握解題方法，貫通與分化全部思想與策略，又有利于完善學(xué)生自身的算法結(jié)構(gòu).完成解題并不代表著解題活動(dòng)都已結(jié)束，學(xué)習(xí)的重中之重就是回顧整個(gè)解題過程，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)程序化以及算法化也是經(jīng)過該過程所達(dá)成的.本題的解題反思更多是由其涉及的問題之間的關(guān)系、知識與思想的方法、運(yùn)算推理全過程、解題程序、數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)果等各個(gè)方面實(shí)施，以獲取某類的題目或者運(yùn)算的常規(guī)算法.

2.2立足動(dòng)態(tài)最值問題，培養(yǎng)直觀想象運(yùn)算素養(yǎng)

2.2.1問題呈現(xiàn)

給定兩個(gè)長都是1的平面向量OA、OB，兩個(gè)向量之間的夾角是23π，如圖2所示，點(diǎn)C在將O作為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，如果OC=xOA＋yOB，且x、y∈R，那么，x＋y的最大值是.

2.2.2多法破解

解法1：直角坐標(biāo)法.

如圖3所示，將點(diǎn)O作為坐標(biāo)的原點(diǎn)，且將直線OA作為x軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，則有A（1，0），B-12，32.設(shè)∠AOC=α0≤α≤23π，而點(diǎn)C坐標(biāo)為C（cosα，sinα）.依據(jù)OC=xOA＋yOB，可得出x-12y=cosα，32y=sinα，求解可得x=33·sinα＋cosα，y=233sinα，由此可得x＋y=3·sinα＋cosα=2×sinα＋π6，且0≤α≤23π，因此，當(dāng)α=π3的時(shí)候，x＋y獲得最大值，最大值是2.

解法2：不等式法.

對OC=xOA＋yOB的等式兩邊同時(shí)進(jìn)行平方，可得到OC2=x2OA2＋y2OB2＋2xy｜OA｜｜OB｜·

cos23π，也就是x2＋y2-xy=1，即（x＋y）2=3xy＋1.依據(jù)向量加法中的平行四邊形法則可知xgt;0，ygt;0，因此，（x＋y）2≤3x＋y22＋1，求解可得x＋y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，等號成立，由此可知，x＋y的最大值是2.

解法3：三角換元法.

對OC=xOA＋yOB的等式兩邊同時(shí)進(jìn)行平方，可得到OC2=x2OA2＋y2OB2＋2xy｜OA|｜OB｜·

cos23π，也就是x2＋y2-xy=1，即x-12y2＋32y2=1，假設(shè)x－12y=cosα，32y=sinα，與圖3結(jié)合可知，0≤α≤23π，則存有x=33sinα＋cosα，y=233sinα，由此可得x＋y=3sinα＋cosα=2×sinα＋π6，因此，當(dāng)α=π3的時(shí)候，x＋y獲得最大值，最大值是2.

解法4：判別式法.

對OC=xOA＋yOB的等式兩邊同時(shí)進(jìn)行平方，可得到OC2=x2OA2＋y2OB2＋2xy｜OA｜｜OB｜·

cos23π，也就是x2＋y2-xy=1，假設(shè)t=x＋y，則有y=t-x，將其代入x2＋y2-xy=1中，經(jīng)整理后，可得3x2-3tx＋t2-1=0.依據(jù)題意可得，與x有關(guān)的方程存有實(shí)根，其判別式為Δ=12-3t2≥0，求解得出-2≤t≤2.當(dāng)t=2時(shí)，也就是x＋y=2，且有x2＋y2-xy=1式子等號成立，此時(shí)，存有x=y=1，因此，x＋y的最大值是2.

解法5：平面向量法.

如圖4所示，經(jīng)過點(diǎn)C作CD∥OA且與OB相交于點(diǎn)D，則有∠ODC=π3，假設(shè)∠DCO=α0lt;αlt;23π，且有∠DOC=2π3-α.

在△ODC中，依據(jù)正弦定理知ODsinα=CDsin23π-α=OCsinπ3，所以O(shè)D=sinαsinπ3，CD=sin2π3-αsinπ3.

由于OC=OD＋DC=｜OD｜·OB＋｜DC｜·OA=sinαsinπ3OB＋sin2π3-αsinπ3OA.又有OC=xOA＋yOB，依據(jù)平面向量的基本定理可得x=sin2π3-αsinπ3，y=sinαsinπ3，由此可知x＋y=sin2π3-αsinπ3＋sinαsinπ3=2sinα＋π6，因此，當(dāng)α=π3的時(shí)候，x＋y取最大值，最大值是2.需注意，當(dāng)點(diǎn)C和A或者B重合的時(shí)候，x＋y=1.

2.2.3解題反思

平面向量具備代數(shù)與幾何兩種特性，因此，在對向量最值有關(guān)的問題進(jìn)行求解時(shí)，可從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度入手.立足“數(shù)”的角度，通過直角坐標(biāo)法、不等式法、三角換元法、判別式法進(jìn)行運(yùn)算與轉(zhuǎn)化處理；立足“形”的角度，可與向量具備的幾何特征有效結(jié)合加以解決.

3結(jié)語

核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)向量解題教學(xué)中，教師可通過一題多解的方式，深化學(xué)生對相關(guān)向量知識及題型的理解與掌握，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)向量題具備的功能與價(jià)值，并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多個(gè)角度思考，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生自身解題能力提高的同時(shí)，對其數(shù)學(xué)思維進(jìn)行培養(yǎng)，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到有效發(fā)展.