基于“三新”背景的數列試題評析

摘要：在“三新”背景下，高考命題堅持“雙減”改革與強化創新，全面綜合考查學生的基礎知識與關鍵能力.本文結合數列部分命題的基本特點，抓住本質，從夯實基礎、強化本質、彰顯能力、培養創新等視角展開與應用，總結數列命題特點與解題規律，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：教材；課程；高考；數列

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程（《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》）、新高考的“三新”背景下，數列部分知識試題的命制有如下顯著的特點：夯實基礎，注重知識的基礎性、根本性；強化本質，凸顯思維的靈活性、深刻性；彰顯能力，強化方法的綜合性、應用性；培養創新，強調意識的探究性、創新性等等，這些特點充分體現高考數學的考查與選拔功能.［1］

1夯實基礎，注重知識

“三新”背景下數列的命題，突出對數列的基本概念、基本公式、基本性質的考查，強調數列與函數的聯系、數列與不等式的聯系以及兩類特殊數列之間的聯系等，注重數列知識的理解和思維能力的培養，夯實數列基礎，注重數列知識.

例1已知Sn是數列{an}的前n項和，Sn=1－an，則下列結論正確的是（）.

A. 數列{an}是等比數列

B. 數列{an}是等差數列

C. an=12n

D. Sn=1－12n

分析：根據題設中的數列前n項和與數列通項之間的關系，結合兩者之間的遞推關系，等比數列的定義以及通項公式、求和公式等，從基本概念、基本公式等基礎層面加以分析與推理，進而得以正確判斷.

解析：由于Sn=1－an，當n=1時，a1=S1=1－a1，解得a1=12.

當n≥2時，an=Sn－Sn－1=（1－an）－（1－an－1），則有2an=an－1，則知數列{an}是首項為12，公比為12的等比數列，

所以an=12×12n-1=12n，則有Sn=1－an=1－12n，

故選擇答案ACD.

例2［2023年江蘇省南通市高三（上）期中數學試卷］已知等差數列{an}的公差不為0，且a3＋a10=0，則集合{x|x=|an|，1≤n≤15}的子集個數是（）.

A. 215

B. 9

C. 1024

D. 512

分析：根據已知條件，先求出集合{x|x=|an|，1≤n≤15}的元素個數，再結合其與子集個數的關系，即可求解.

解析：等差數列{an}的公差不為0，且a3＋a10=0，則a1＋a12=0，a2＋a11=0，a4＋a9=0，a5＋a8=0，a6＋a7=0，

所以a1=－a12，a2=－a11，a4=－a9，a5=－a8，a6=－a7，

故集合{x|x=|an|，1≤n≤15}中有9個元素，即該集合子集個數為29=512，故選擇答案D.

點評：數列的基礎性涉及數列的基本概念、基本公式、基本性質等.解決此類題型的關鍵是熟練掌握等差數列、等比數列這兩個基本數列的相關基礎知識，注重基礎與根本.學生需要掌握對應數列的基本公式與基本性質等，落實對數列的基本知識架構與網絡體系的理解與掌握，結合數學運算與邏輯推理進行綜合應用.

2強化本質，凸顯思維

“三新”背景下數列的命題，重視數列的函數本質，特別注重等差數列、等比數列與對應相關函數的聯系與函數本質；注重數列的基本性質及其應用，突出數列的思維能力、運算能力等方面的考查等，凸顯數學思維.

例題［2023年廣東四校（深圳中學、華南師大附中、廣東實驗中學、廣雅中學）高三第一次聯考數學試卷］Sn是公差為2的等差數列{an}的前n項和，若數列{Sn＋1}也是等差數列，則a1=.

分析：直接利用等差數列的通項公式符合一次函數的特點，對相關數列的通項中被開方數滿足的條件加以界定，利用完全平方式的結構特征，結合判別式為0來建立方程，進而得以求解數列的首項.

解析：依題，等差數列{an}的公差為2，可得其前n項和Sn=na1＋n（n-1）2×2=na1＋n（n－1），則知Sn＋1=na1＋n2-n＋1，

又數列{Sn＋1}也是等差數列，

結合等差數列的函數性，可知n2＋（a1－1）n＋1是個完全平方式，

則有判別式Δ=（a1－1）2－4=0，解得a1=1±2，即a1=－1或3，

故填答案－1或3.

點評：此題強調數列的本質，直接抓住數列的函數性，結合其本質特征加以分析，更加直接有效，直達目的.借助并回歸數列的函數性，利用特殊數列（等差數列或等比數列）的函數性質，合理構建對應的函數本質與特征，來結合數列的相關知識點，是解決一些數列問題時最常見的思維方法.

3彰顯能力，強化方法

“三新”背景下數列的命題，需要學生熟練理解并掌握數列求和的基本方法，以及數列與函數、數列與不等式等相關問題中的技巧與方法；重視數學能力的應用與綜合，從而開闊數列問題的思考空間與思維角度，提升認知水平與技巧策略，強化數學方法.

例題［2023年云南省云南師范大學附屬中學高考適應性月考卷（五）數學試題］已知數列{an}滿足：（n－1）an＋1=nan－1，且a2=3.

（1）證明：{an}為等差數列，并求{an}的通項公式.

（2）數列bn=12an＋1＋n，求滿足b1＋b2＋b3＋…＋bnlt;100的最大正整數n.

分析：（1）根據題設中數列的遞推關系式，利用關系式的恒等變形與轉化，構建通項與項數的比值之差的關系式，進而通過合理轉化并構建新數列，利用常數列的構建與判斷，結合通項公式的轉化而達到目的.（2）根據題設中的數列的通項公式進行分組求和處理，綜合等差數列、等比數列的求和公式加以變形與綜合；在此基礎上，通過數列不等式的變形與轉化，進而結合函數的單調性確定滿足條件的最大正整數的值.

解析：（1）由（n－1）an＋1=nan－1，可得（n－1）·an＋1－nan=－1，

當n≥2時，an＋1n－ann-1=－1n（n-1）=－1n-1＋1n，即an＋1n－1n=ann-1－1n-1（n≥2）.

構建新數列cn=an＋1n－1n，則cn=cn－1（n≥3），

又（n－1）an＋1=nan－1，令n=1時，可得0=a1－1，即a1=1.

又a2=3，可得a3=2a2－1=5，則有c2=a32－12=2，故cn=c2=2（n≥3），

所以an＋1=2n＋1（n≥2），由于a1=1，a2=3也符合上式，所以an=2n－1（n∈N*）.

an＋1－an=2n＋1－（2n－1）=2（常數），所以數列{an}是等差數列.

（2）由（1）得bn=12an＋1＋n=14n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋…＋bn=141-14n1-14＋n（n＋1）2=13－13·14n＋n（n＋1）2lt;100，

整理可得n（n＋1）2－13·14nlt;100－13.

因為函數f（x）=x（x＋1）2－13·14x在區間（1，＋∞）上單調遞增，

f（14）=105－13·1414gt;100－13，f（13）=91－13·1413lt;100－13，

所以滿足條件的最大正整數為13.

點評：此題在判斷等差數列的類型與求解對應的通項公式時，關鍵是借助題設條件中的數列的遞推關系式，從不同思維視角，借助等差中項的性質、關系式的變形與運算、特殊數列（常數列）的構建以及數學歸納法的應用等來分析與處理.這里通過常數列的構建與應用，是數列的類型判斷、數列的通項公式的確定等問題中經常應用的一種技巧方法，關鍵在于合理變形與巧妙構建.

4培養創新，強調意識

“三新”背景下數列的命題，結合數列基礎知識與其他知識的交匯應用、數列的實際應用、數列中的數學文化問題等加以合理創新與應用，增強數學思維的綜合性、探究性與創造性，體現數列的創新應用，養成創新精神，強調創新意識.［2］

例題［2023年黑龍江省哈爾濱六中高三（上）期中數學試卷］一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的實心塔群，共分十二階梯式平臺，自上而下一共十二層，每層的塔數均不少于上一層的塔數，總計108座.已知其中十層的塔數成公差不為零的等差數列，剩下兩層的塔數之和為8，則第十一層的塔數為（）.

A. 17

B. 18

C. 19

D. 20

分析：本題是數列與數學文化的交匯與綜合，先設出對應的等差數列與公差，并確定數列的基本性質，結合題設中的應用場景加以分析與推理，進而確定對應的等差數列，并得以確定十二層的塔數的排列情況，從而得以分析與判斷.

解析：設成為等差數列的其中十層的塔數為a1，a2，…，a10，由已知得該等差數列為遞增數列.

因為剩下兩層的塔數之和為8，故剩下兩層中的任一層，都不可能是第十二層，所以第十二層塔數必為a10，

故10（a1＋a10）2=108－8=100，則知

a1＋a2=20.①

又a10－a1=9d（其中d＞0，且d∈N*）.②

由①＋②，可得2a10=20＋9d，則有a10=10＋92d.

由a1＋a10=20知a10＜20，組成等差數列的塔數為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19.

剩下兩層的塔數之和為8，所以這兩層的塔數只能為2，6.

十二層的塔數，從上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19.

其中第二層的2和第五層的6不組成等差數列，滿足題意，則第十一層的塔數為17，

故選擇答案A.

點評：此題以數學文化的創新場景加以設置，結合數學文化與實際應用之間的敘述與分析，并結合等差數列的基本性質加以綜合與應用.涉及此類數學文化場景的數列問題，關鍵在于正確剖析題設內涵，挖掘問題的創新性與應用性，結合問題的實際加以合理的數學運算與邏輯推理.

5結語

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，隨著新課程教學與新高考改革的不斷推進與深入，高考數列部分的命題在尋求基礎、本質、能力、創新等的基礎上，多層面、多視角、多方位考查與體現不同層面學生的數學基礎知識與數學基本能力等，堅持開放創新，堅持數學核心素養導向，倡導數學關鍵能力的提升與考查，注重數學創新意識與創新應用，全面體現高考的選拔性與區分度.［3］

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］王飛燕.談“三新”背景下數學運算核心素養的提升——以解析幾何的習題課教學為例［J］.中學數學教學參考，2021（4）：44-46＋50.

［3］周威.基于核心素養的高中數學教學設計問題反思——以“三新一舊”背景下一節“充分條件、必要條件”教學設計為例［J］.中學數學，2020（3）：28-30.