HPM視角下高中立體幾何教學(xué)案例研究

摘 要：通過數(shù)學(xué)史展示數(shù)學(xué)知識的發(fā)展脈絡(luò)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)問題的思想方法，是有效滲透數(shù)學(xué)文化方式之一，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑之一.本文以“直線與直線平行”為例展開教學(xué)實(shí)踐與研究，探索HPM視角下高中立體幾何的教學(xué)方式.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)；立體幾何；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思想方法

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0045-03

本文以“直線與直線平行”內(nèi)容為研究課題，基于數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的三種表現(xiàn)方式，設(shè)計(jì)合理的、符合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)過程，并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，通過融入歐幾里得以及《幾何原本》相關(guān)數(shù)學(xué)史，達(dá)到“知史明理”的教學(xué)目標(biāo).

1 教學(xué)設(shè)計(jì)案例

1.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過觀察實(shí)物模型概括出基本事實(shí)4，了解《幾何原本》以及歷史上對基本事實(shí)4的證明，領(lǐng)悟公理化思想，感受數(shù)學(xué)家們對該定理的探索與推理，樹立鍥而不舍的數(shù)學(xué)精神，提升直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（2）經(jīng)歷探究-猜想-分析-推理論證四個階段，能夠在教師的引導(dǎo)下正確地推理證明等角定理，強(qiáng)化思維能力和邏輯推理能力.了解《幾何原本》對等角定理的證明，對照發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)家的邏輯思維有異曲同工之處，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣[1].

（3）觀看《天才簡史-歐幾里得》視頻，了解歐氏幾何的發(fā)展對人類做出的貢獻(xiàn)，體會數(shù)學(xué)史的魅力與價值.

1.2 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：了解歐幾里得與《幾何原本》，加深對基本事實(shí)4的理解并會應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題的解決；類比平面幾何等角定理初步判斷空間立體幾何等角定理是否成立.

教學(xué)難點(diǎn)：基于歐幾里得證明等角定理的思路，通過猜想-分析明確證明等角定理的邏輯思路，并給出正確的論證過程.

1.3 教學(xué)過程

1.3.1 復(fù)習(xí)舊知，加深知識理解

回顧在平面幾何的學(xué)習(xí)中，重點(diǎn)研究了兩直線平行的性質(zhì)以及判定定理，類比平面幾何，針對空間立體幾何直線與直線平行，研究的重點(diǎn)依然是直線與直線平行的判定與性質(zhì).

1.3.2 探究新知，加強(qiáng)空間想象

教師類比平面兩直線平行的結(jié)論“當(dāng)兩條直線都與第三條直線平行時，這兩條直線互相平行”提出問題.

問題1 空間中判定兩直線平行是否也有類似的結(jié)論？

活動1 讓學(xué)生通過觀察直觀感受生活中的實(shí)際情景從而得出結(jié)論.

情景1 如圖1，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，圖1長方體

可以看到DC和AB在同一平面內(nèi)，A′B′和AB也在同一平面內(nèi)，并且DC和A′B′都平行于AB，觀察一下DC與A′B′平行嗎？

情景2 如圖2，觀察所在教室，黑板邊所在直線AA′和門框所在直線CC′都平行于墻與墻的交線BB′，那么CC′與AA′平行嗎？

通過觀察以及根據(jù)定義判斷DC∥A′B′，CC′∥AA′.

得到基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

1.3.3 回顧歷史，感受幾何魅力

教師對基本事實(shí)4進(jìn)行擴(kuò)展，讓學(xué)生對這一基本事實(shí)有更深入的了解.

最早提出這一公理的數(shù)學(xué)家是著名的幾何之父歐幾里得，他在《幾何原本》第十一卷中將其以命題的方式展示，并給出了嚴(yán)格的推理證明過程.這一命題只是《幾何原本》的冰山一角，歐幾里得和《幾何原本》的魅力并不僅限于此.教師播放微視頻1：《天才簡史-歐幾里得》，讓學(xué)生通過視頻加深印象.

設(shè)計(jì)意圖 通過附加式和點(diǎn)綴式介紹歐幾里得以及《幾何原本》，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化之魅，達(dá)成德育之效，便于讓學(xué)生通過對此部分相關(guān)數(shù)學(xué)史的了解，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，從而能夠形成對數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)問題的探索精神.

除了歐幾里得的歐式證法之外，數(shù)學(xué)家勒讓德以及其他數(shù)學(xué)家在此基礎(chǔ)上不斷探索得到了三垂線法、同一法以及線面相交法，這些證明方法都運(yùn)用到了后面學(xué)習(xí)的直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.發(fā)展到今天，基本事實(shí)4就作為公認(rèn)的定理而不用加以證明，我們是站在偉人的肩膀上應(yīng)用知識解決問題，數(shù)學(xué)家們的思想方法值得我們學(xué)習(xí)[2].

設(shè)計(jì)意圖 課本中只是簡要敘述了基本事實(shí)4，這里通過附加式介紹關(guān)于歐幾里得以及其他數(shù)學(xué)家們對于這一基本事實(shí)的證明作為知識的補(bǔ)充，彰顯方法之美，構(gòu)建知識之諧，達(dá)成德育之效，讓學(xué)生能夠從中感受到數(shù)學(xué)思想方法和邏輯推理證明的重要性，了解數(shù)學(xué)家們不同的證明方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們的邏輯思維，感受幾何發(fā)展熠熠生輝，體會數(shù)學(xué)精神和知識之間環(huán)環(huán)相扣的緊湊感[3].

1.3.4 例題講解，領(lǐng)悟思想方法

例1 如圖5，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.圖5 空間四邊形

問題2 題目中已知的條件有哪些？要求證的是什么？

問題3 如何證明四邊形EFGH是平行四邊形？

問題4 如何將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化變成能夠證明EFGH為平行四邊形的條件？

問題5 E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化成什么？

變式訓(xùn)練 對于本例題，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形呢？

設(shè)計(jì)意圖 例題講解和變式訓(xùn)練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)基本事實(shí)4以及了解相關(guān)擴(kuò)展數(shù)學(xué)史之后，能夠及時鞏固知識，讓學(xué)生能夠體會基本事實(shí)4蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，提高思維能力和邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.3.5 擴(kuò)展新知，提高邏輯思維

在研究完直線與直線平行的判定后，接著研究直線與直線平行的性質(zhì).

問題6 在平面幾何中，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等，在空間中，這一結(jié)論是否還成立呢？

思路 如圖6，分別在∠BAC和∠B′A′C′的兩邊上截取AD，AE，A′D′，A′E′，

使得AD∥A′D′，AE∥A′E′且AD=A′D′，AE=A′E′，連接AA′，DD′，EE′，ED，E′D′.

問題7 要證∠BAC和∠B′A′C′相等，已知的條件是什么？

問題8 用什么方法可以證明∠BAC和∠B′A′C′相等？

問題9 要證ΔADEΔA′D′E′，需要證明什么？用什么判定方法？

問題10 如何根據(jù)已知條件證明ED=E′D′？（提示：證明EDD′E′為平行四邊形）

教師介紹的這個證明方法來自于歐幾里得《幾何原本》十一卷中的命題10，并介紹歐式證法與現(xiàn)在的證法有何異同.

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生進(jìn)行探究-猜想-分析-證明之后，通過介紹《幾何原本》中有關(guān)這一命題的證明，同時強(qiáng)調(diào)歐幾里得的證明過程和邏輯思維和本節(jié)課中的分析證明一致，再結(jié)合數(shù)學(xué)史的融入，能夠鼓勵學(xué)生勇于探究數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的自信心，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)以及提高學(xué)生對幾何證明的思維能力.

1.3.6 課堂小結(jié)，整合知識框架

學(xué)生小結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容以及體會到的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，并且表達(dá)自己對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的看法.

教師總結(jié) 牛頓曾經(jīng)說過這樣一句話：沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn).本節(jié)課我們就很好地貫穿了觀察與發(fā)現(xiàn)-直覺與猜想-推理與證明這樣的邏輯思維.

2 教學(xué)反思

本節(jié)課主要在兩個知識層面的教學(xué)中融入了相關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，一是空間平行線的傳遞性，二是空間等角定理的證明.通過多元化方式融入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生能夠在課堂中隨時保持對學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)動機(jī)，提升思維能力，同時感受數(shù)學(xué)與人文相契合的魅力，體會數(shù)學(xué)家的思想方法.

參考文獻(xiàn)：［1］ 韓粟，王巳震，汪曉勤.HPM視角下平面解析幾何序言課的教學(xué)實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（8）：8.

[2] 沈中宇.數(shù)學(xué)史融入立體幾何教學(xué)的行動研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2017.

[3] 安振亞.基于發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐與反思：以“直線與直線平行”的教學(xué)為例[J].中國數(shù)學(xué)教育，2022（20）：44-46，64.

［責(zé)任編輯：李 璟］