準變量思維的內涵解讀與培養策略探究

【摘 要】準變量思維在學生小初思維銜接中起著重要作用。教師教學時基于新課標理念，通過增強全域觀念、錨定種子資源、滲透方程思想、激活抽象能力等策略，可以有效培養學生的準變量思維。

【關鍵詞】小學數學；數學思維；準變量思維；全域觀念；種子資源；方程思想；抽象能力

【中圖分類號】G623.5" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）37-0046-05

【作者簡介】1.孫朝仁，江蘇省蘇州市教育科學研究院（江蘇蘇州，215004）教育發展研究所所長，正高級教師，江蘇省數學特級教師；2.劉玉勇，江蘇省蘇州高新區文昌實驗小學校（江蘇蘇州，215151）教科室主任，高級教師，蘇州市數學學科帶頭人。

數學是思維的體操，思維是數學的靈魂。數學思維發展是人的發展和社會發展的應然追求。在思維的諸多分類中，算術思維和代數思維是義務教育階段數學的兩大基本思維形式，介于其間的準變量思維則是一座融合二者的橋梁，具有較高的理論和實踐價值。

一、準變量思維的內涵解讀

準變量思維是基于算術思維和代數思維融合需求而產生的概念。算術思維是主要通過運算關系進行“執果索因”或“由因導果”的程序式思維，它關注數或數量的運算求解；代數思維是重視關系、結構和模式的整體性思維，它注重對符號、變量和式的運算理解，繼而發現新的關系、結構和模式。不難發現，兩者之間存在較大的差異，需要一定的思維中介來彌合。

這一中介就是準變量思維。準變量思維是識別、提取并運用所隱含的代數關系、結構或模式，對非符號化的語句或表達式進行準變量式、準代數式的轉換和表達，從而實現“代數地思考”。簡言之，即把“數”當“式”計算，就是先不考慮具體的結果，而是提取、變換、生成新的關系、結構或模式。因其具有中介特性，故準變量思維常常被認為是學生從算術思維過渡到代數思維的“最近發展區”。

日本學者利明·藤井和澳大利亞學者麥克斯·斯蒂芬斯經過研究指出：即使在解釋和使用作為變量標記的文字符號之前，學生也能夠進行“準變量思維”。比如，當學生從一般化的視角解釋“為什么‘56-27+27=56’這樣的算式是對的”時，他們的準變量思維就已經顯現出來了。這是因為，雖然學生或許還不明白“56-a+a=56”這樣的等式的普遍適用范圍，但它們可以幫助學生逐步理解更為正式的變量符號。

在小學階段，學生的算術思維占比較大，初中階段則更為側重代數思維，算術思維和代數思維之間存在著復雜的非線性關系。“先算術，后代數”的中小學數學課程結構，使得不少學生難以適應從計算訓練到抽象代數思維的突然轉變。隨著新課改的深入，算術思維與代數思維的融合引起了學者們的廣泛關注。算術思維向代數思維的發展可能出現四種基本樣態（如圖1），第一象限中的“強算術思維+強代數思維”是發展的理想目標，當然也可能發展為第二象限樣態，小學生多處于第三或第四象限狀態。培養學生的準變量思維，將有助于他們發展代數思維。從內容角度而言，準變量思維讓算術思維和代數思維有了新的生長平臺，豐富了算術思維和代數思維發展的廣度與深度。但是，準變量思維的培養不是一蹴而就的。教師教學時既要在知識和能力上關注學生的發展，更要引導他們在數學思想和學習習慣上進行雙效提升。

二、準變量思維的培養策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出的“三會”目標，在一定程度上已經架構出了準變量思維的培養框架。其中，“會用數學的眼光觀察現實世界”指向算術思維的背景理解和代數思維的概念抽象，形成關系結構；“會用數學的思維思考現實世界”指向算術思維的運算和代數思維的邏輯推理，形成理性精神；“會用數學的語言表達現實世界”指向算術思維的數據意識和代數思維的概括模型，形成實踐應用能力。教師在教學中要基于新課標理念，有效培養學生的準變量思維。

1.增強全域觀念

加拿大學者路易斯·拉弗德對代數及其小學生的代數思維分析發現，思維是一個“物質—想象”的動態系統，對于思維的研究應作為一個全域的整體來展開，這里的整體包括鄰近知識系統的整體化，也包含不同知識系統和跨學科知識的整體化。新課標提出要“整體把握教學內容”“重視教學內容結構化”“關注教學環節的整體設計”“形成跨學科的應用意識與實踐能力”等，恰好與上述主張相對應。

“數形結合”“跨學科”等關鍵詞與思維的全域化相關聯。教師在教學中要注意引導學生形成全域化思維結構的意識，這有利于他們準變量思維的自我孵化；在跨域的數學教學中通過尋找不同域知識的共性，有助于學生運用準變量思維實現從算術關系到代數關系的實踐轉變。

其一，通過數形結合促進學生發展準變量思維。數形結合是一種常見的跨域準變量思維。以形來量數，以數可定形。充分利用數形結合，有助于學生實現具象思維和抽象思維的準變量運作。通過對數和形的屬性、關系及結構進行對比、概括、抽象，有利于學生實現代數思維的整體性和結構化抽象表達。如圖2所示，在一個立體圖形（如圓柱、長方體、三棱柱等）中豎直貫穿挖去一個與原來形體等高的其他立體圖形，通過字母抽象（原立體圖形的底面積為S1，挖去的立體圖形的底面積為S2，高為h），對每個空心立體圖形的體積進行準變量推理，可以得到：V=S1h-S2h=（S1-S2）h。也就是說，通過準變量字母表達和推演，由原來基于數據進行算術思維的體積數值計算（體積差），可得到代數思維的關系表達——體積=底面積差×高，從而實現不同形體計算方法的一致性。

其二，通過跨學科學習助力學生發展準變量思維。跨學科學習有利于培養學生的準變量思維。具有跨學科性質的學科實踐是數學學習的重要方式，基于生活的數學學習多呈現出算術思維的特性，而對生活中的數學進行抽象、主題化或項目化后，則容易讓準變量思維得到運用，從而有助于學生形成代數思維。如圖3所示，從左圖兩組物體質量的天平平衡關系到右圖不同數量的等距離長度和兩個質量的平衡關系，都源于生活經驗，通過觀察思考可以發現，兩者存在同樣的等量關系，即兩個圓形物體的質量之和等于四個星形物體的質量之和，繼而可以抽象為“6×2=？×4”這樣的準方程，這里將生活、科學、數學進行跨領域、跨學科融合，有助于學生實現準變量思維的發展和運用。教師還可以繼續引導學生通過此準方程進行生活聯想，尋找生活中相關的例子，促進他們在準變量思維的溝通下實現算術思維和代數思維的共同發展。

2.錨定“種子”資源

小學階段有不少利于培養學生準變量思維的教學內容，教師在教學時應注意引導學生充分運用這些內容進行轉化、概括、推理，從而促進學生發展準變量思維，提升思維品質。

其一，特定的教學單元結構是培養學生準變量思維的抓手?，F有各版本教材都安排了一些具有規律性或思想性的教學內容，如蘇教版教材中的“一一列舉”和人教版教材中的“烙餅問題”，都是以有序、不重復、不遺漏的列舉為基礎，引導學生經歷從有限數到不確定數的演變過程的，這有助于促進他們實現代數思維的萌芽與發展。

其二，小學計算教學是培養學生準變量思維的保障。在現代公理體系下，數學推理可以實現從一個命題判斷到另一個命題邏輯的思維過程。概括是學習代數的一種有效途徑，基于概括的歸納推理有利于思維創新，基于應用的演繹推理有利于實證和遷移。如9+5的計算，若拆分成9+1+4，則屬于數學程序思維；若變換為（9+1）+（5-1），則更傾向于代數思維，看似繁雜了，卻是一種思維升級和創新。新課標在計算中強化了計數單位的作用，倡導通過計數單位統整多種數的計算；在筆算中強化了橫式的重要性，提出在關注豎式算法的基礎上強化橫式的算理作用。如筆算18×23的橫式為“=18×（20+3）=18×20+18×3”，這種基于定律的轉化凸顯了算理代數思維的通用性，并能與豎式進行算理和算法的有效對應與銜接，還能用計數單位對復雜計算進行一致解釋。可以發現，上述算式雖然沒有用字母表達，但其模型基礎是乘法分配律，具有典型的準變量思維特點。

綜上，準變量模型化發展一方面基于大量事實境脈，另一方面基于基本事實（定律、定理等）。在算術思維的表象要求下，定位好“種子”資源，教師在教學中多走幾步或許可以更好地促進學生發展準變量思維，從而實現算術思維和代數思維的有效銜接。

3.滲透方程思想

通過培養準變量思維讓算術思維更好地向代數思維過渡，其實質是數學思想在個體思維中確立、完善、統領和運用的過程。數形結合、轉化、模型等數學思想在上文已有所體現。其實，在小學階段滲透方程思想和函數思想，對于學生發展準變量思維、形成代數思維也尤為重要。

我國最早的方程解法起源于古代數學名著《九章算術》中的“秦九韶算法”。充滿代數思維的方程讓很多數學家折服。法國數學家笛卡爾曾指出：任何問題都可以轉化為數學問題，任何數學問題都可以轉化為代數問題，任何代數問題都可以轉化為方程問題。我國數學家吳文俊教授也認為：四則運算的難題可以借助代數進行突破。由此可見方程在數學學習和問題解決中的重要性，可以說，方程是代數思維的重要起點。

新課標將簡易方程移至了初中階段。在小學階段，教師需要更加重視引導學生在具體情境中理解等式的性質，用字母表示事物的關系、性質和規律，感受字母表達的一般性，其目的在于更好地和初中代數式、方程、不等式、直角坐標系、函數及統計等進行銜接，充分體現方程的代數思維價值，實現知識體系的階段性和一致性。其實，現有教材編排也充分體現了準變量思維培養的理念。如蘇教版五下《簡易方程》，教材要求學生聯系天平保持平衡的過程，思考等式如何變化后其結果還是等式。（如圖4）從具體數字的變化到字母抽象的一般化，從單一字母到多個字母，讓學生通過準變量思維的推進充分理解等式的性質，為他們利用等式的性質并以代數化解方程奠定了基礎。

另外，新課標將反比例移至初中學習，保留“成正比例的量的認識”這一內容。在成正比例的量之間關系的教學中，教師可以引導學生借助列表或畫圖的方法分析量的對應和變化，探索成正比的量的變化規律和變化趨勢，通過這部分內容的學習培養學生的準變量思維，促進學生從算術思維走向代數思維，為初中學習反比例函數、方程及其他函數等內容奠定基礎。

4.激活抽象思維能力

史寧中教授認為，抽象是從許多事物中舍棄個別的非本質屬性，得到共同的本質屬性的思維過程，是形成概念的必要手段。抽象可以把現實世界的東西抽取變成數學的研究對象，實現一般化代數思維的過程，繼而實現表示、論證和推理的代數思維的發展。抽象包含對數或關系進行抽象，通常通過符號來實現。從某種意義上來說，抽象的過程也是準變量思維發展的過程。英國數理邏輯學家羅素說：“什么是數學？數學就是符號加邏輯?！睌祵W家萊布尼茨說：“符號的巧妙和符號的藝術，是人們絕妙的助手，因為它們使思考工作得到節約。在這里它以驚人的形式節省了思維?！币虼?，我們會發現，世界都是以符號和符號關系來呈現的，這里的符號是抽象的產物，更是代數思維的原料。

抽象出的符號是一個廣義的概念，不一定都用字母來表示，也可以用自然語言、圖形、手勢、行為和節奏等來表示。不少定理、公式（如S=vt）都是在各單詞中選取首字母實現符號化，此處對數量的抽象包含語言意義、關系境脈和字母呈現等多重抽象表征。數軸在小學（數線）和初中（數軸、坐標）的數學學習中起到了很重要的抽象和準變量的銜接作用，從自然數、整數、分數、小數、負數到相反數、有理數、無理數、實數，都能在數軸上找到相應的點，如數軸上的某點A，其字母實際上可能是多種數的一般表示。小學的數線模型銜接初中的數軸概念，將實數與數軸上的點一一對應，將順序關系、絕對值、運算等融入代數思維。若把數軸“拉”為面，則從長度的數或數量的抽象提升成了面積數量關系式的抽象，為坐標、函數等關系抽象提供支撐，再次實現了準變量思維推動下的代數思維發展。

法國數學家、“代數學之父”韋達通過引進符號系統促進了代數學的發展，開辟了數學的新篇章。字母表示數或式子是學習方程、函數的基礎，其重要性在新課標中也有所體現。如新課標要求學生“經歷用字母表示數的過程”“形成符號意識、運算能力、推理意識”“能用字母表示數量關系和規律”，提出“學生先經歷從數量到數、從數量的多少到數的大小的抽象過程，然后經歷字母表示數的進一步的抽象過程”。字母進入代數思維的發展，伴隨著字母變量化的發展，用字母表示思維呈現出動態過程和靜態對象的融合屬性。變量和定量是代數思維的基本因子，像π這樣的字母表示圓周率，從表象上看是定值，其實蘊含著C÷d中兩個變量之間的動態對應關系。其雙重屬性，讓圓相關周長和面積的計算、圓柱的表面積和體積計算、圓錐體積的計算，在運算中既可用算術思維數值表示結果，也可用含有π的式子來呈現關系。因此，看似算術思維的定量π中其實蘊含著變量結構，是培養學生準變量思維的很好資源。

綜上所述，要更好地培養學生的準變量思維，教師需要充分做好知識、能力等方面的準備，也要有數學思想引領下創新課堂的行動呈現，還要整體把握教材，基于新課標理念深度滲透數學思想，開發更加科學合理的思維評價方式。

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