結(jié)構(gòu)化視域下“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)探究

丁國美 張敏

［摘 要］文章結(jié)合“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)在不同學(xué)段的目標(biāo)，基于結(jié)構(gòu)化視角，在把握本質(zhì)的基礎(chǔ)上利用操作、觀察、關(guān)聯(lián)等教學(xué)策略，加深學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的整體認(rèn)識(shí)，促使學(xué)生將其與其他運(yùn)動(dòng)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、發(fā)展空間觀念。

［關(guān)鍵詞］旋轉(zhuǎn)；結(jié)構(gòu)化；教學(xué)探究

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）14-0054-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了“設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”的課程理念，該理念從課程內(nèi)容選擇、課程內(nèi)容組織、課程內(nèi)容呈現(xiàn)三方面對(duì)結(jié)構(gòu)化教學(xué)提出了明確的要求。筆者在結(jié)構(gòu)化視域下探究圖形旋轉(zhuǎn)的整體性教學(xué)策略，在層層深入的教學(xué)中不斷凸顯旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)。

一、解讀教材，把握關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)

（一）學(xué)段關(guān)聯(lián)

“圖形的旋轉(zhuǎn)”是小學(xué)階段“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”的重要組成部分，在多學(xué)段教材中都出現(xiàn)過。梳理教材中與“圖形的旋轉(zhuǎn)”有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，筆者發(fā)現(xiàn)其具有內(nèi)容螺旋推進(jìn)和難度層層遞進(jìn)兩個(gè)特點(diǎn)。

1.內(nèi)容螺旋推進(jìn)

比較人教版、北師大版和蘇教版教材中的圖形旋轉(zhuǎn)知識(shí)的編排，發(fā)現(xiàn)在小學(xué)階段，三個(gè)版本教材均安排在兩個(gè)不同的學(xué)段（見表1）。

細(xì)讀人教版教材，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容被安排在第一學(xué)段的二年級(jí)、第三學(xué)段的五年級(jí)，從旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)到繪圖方式，由淺入深、螺旋推進(jìn)，二年級(jí)時(shí)是借助風(fēng)車等生活場(chǎng)景讓學(xué)生初步感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，五年級(jí)時(shí)是借助方格紙讓學(xué)生認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的特征。另外，中學(xué)階段也有旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容，如九年級(jí)時(shí)借助輔助線讓學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。教材沒有對(duì)旋轉(zhuǎn)做一般化的描述，也沒有給出定義，只要求學(xué)生積累感性認(rèn)識(shí)，形成初步表象。

2.難度層層遞進(jìn)

二年級(jí)“旋轉(zhuǎn)的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)目標(biāo)是借助實(shí)物操作來幫助學(xué)生感知旋轉(zhuǎn)，五年級(jí)“旋轉(zhuǎn)的再認(rèn)識(shí)”的教學(xué)目標(biāo)是使得學(xué)生從動(dòng)手操作過渡到動(dòng)腦想象，能正確描述旋轉(zhuǎn)的三要素，并能畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，進(jìn)一步感知旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，對(duì)學(xué)生的空間觀念提出了更高的要求。另外，九年級(jí)的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容是要求學(xué)生在操作探究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象概括旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)，明確認(rèn)知。

（二）知識(shí)關(guān)聯(lián)

教師在解讀教材時(shí)不僅要關(guān)注學(xué)段間知識(shí)的聯(lián)系，更要注重對(duì)知識(shí)的整體教學(xué)，以幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系。

1.旋轉(zhuǎn)與其他圖形運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)

“圖形的旋轉(zhuǎn)”屬于圖形與幾何領(lǐng)域“圖形的運(yùn)動(dòng)”內(nèi)容，該內(nèi)容還包括軸對(duì)稱、平移兩種不同的運(yùn)動(dòng)。可見，旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱、平移一樣，其本質(zhì)是圖形的剛體運(yùn)動(dòng)，它們之間有關(guān)聯(lián)。例如，一個(gè)圖形通過兩次軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)（對(duì)稱軸不同）改變了位置和方向，這個(gè)圖形也可以通過旋轉(zhuǎn)加平移的運(yùn)動(dòng)組合到達(dá)同樣的位置和方向；兩次按順時(shí)針將圖形旋轉(zhuǎn)180°（旋轉(zhuǎn)中心不同）的運(yùn)動(dòng)效果相當(dāng)于平移……

2.旋轉(zhuǎn)與各種圖形的關(guān)聯(lián)

圖形與旋轉(zhuǎn)緊密關(guān)聯(lián)。用運(yùn)動(dòng)的眼光看待旋轉(zhuǎn)：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。例如，一個(gè)點(diǎn)繞另一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓周；基本圖形繞不同的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，會(huì)形成不同的圖案，如一個(gè)三角形分別繞其三個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)會(huì)得到不同的圖案；平面圖形繞某條邊旋轉(zhuǎn)一周會(huì)得到立體圖形，如長(zhǎng)方形繞其長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)一周形成圓柱。

（三）目標(biāo)關(guān)聯(lián)

基于對(duì)旋轉(zhuǎn)教學(xué)內(nèi)容的梳理與分析，教師在教學(xué)前應(yīng)梳理各學(xué)段旋轉(zhuǎn)知識(shí)，明確各學(xué)段相關(guān)內(nèi)容之間的聯(lián)系，把握各年級(jí)的教學(xué)要求，思考各學(xué)段間的知識(shí)銜接。“旋轉(zhuǎn)的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)重點(diǎn)是通過觀察操作感悟旋轉(zhuǎn)，逐步建立旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的表象。教材借助生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象和旋轉(zhuǎn)活動(dòng)，使學(xué)生通過“玩陀螺”活動(dòng)直觀感知點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。為了教學(xué)“旋轉(zhuǎn)的再認(rèn)識(shí)”時(shí)學(xué)生能更深入地感悟旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，“旋轉(zhuǎn)的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)不能僅僅停留在“旋轉(zhuǎn)是轉(zhuǎn)圈”這一單一表象上，教師可以提出有趣、有挑戰(zhàn)性的問題，讓學(xué)生通過觀察、操作等探究旋轉(zhuǎn)的三要素，體會(huì)旋轉(zhuǎn)前后圖形各部分之間的關(guān)系，從而建立豐富表象，發(fā)展空間觀念。

另外，九年級(jí)的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的描述和畫旋轉(zhuǎn)圖形，教學(xué)目標(biāo)是要讓學(xué)生進(jìn)一步感悟旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)。因此，教師在教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)描述旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)三要素、學(xué)會(huì)正確畫出旋轉(zhuǎn)圖形，還要完善學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)含義的認(rèn)知，使學(xué)生不停留于對(duì)旋轉(zhuǎn)的單一表象上，而是在這個(gè)過程中感悟旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)、感悟旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、基于學(xué)情，把握認(rèn)知難點(diǎn)結(jié)構(gòu)

在學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到一些困難，如對(duì)旋轉(zhuǎn)本質(zhì)的感悟不夠、無法正確畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形等。因此，教師需要了解學(xué)生原有認(rèn)知中存在的問題和教師教學(xué)中存在的問題。

（一）學(xué)生原有認(rèn)知中存在的問題

1.對(duì)旋轉(zhuǎn)的認(rèn)知停留在“轉(zhuǎn)圈”

對(duì)于圖形的旋轉(zhuǎn)的認(rèn)知，較多學(xué)生只停留在生活經(jīng)驗(yàn)上，無法厘清旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，具體表現(xiàn)為：知道風(fēng)車會(huì)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，但認(rèn)為分針從指向表盤的“12”轉(zhuǎn)到指向“3”不是在做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)或者不是完整的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為要轉(zhuǎn)完整的一圈才是旋轉(zhuǎn)。

2.觀察時(shí)忽略局部和整體的關(guān)系

有些學(xué)生在畫旋轉(zhuǎn)后的圖形時(shí)急于求成，往往只看關(guān)鍵線段、關(guān)鍵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，沒有想象整體圖形旋轉(zhuǎn)之后的位置。圖形中有相等的邊（如等邊三角形）時(shí)，部分學(xué)生就較難找到旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)的邊。

（二）教師教學(xué)中存在的問題

1.把握不準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)

部分教師對(duì)教學(xué)目標(biāo)把握不準(zhǔn)。如在教學(xué)“旋轉(zhuǎn)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)一些生活中做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的物體，沒有讓學(xué)生通過體驗(yàn)感知旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。在教學(xué)“旋轉(zhuǎn)的再認(rèn)識(shí)”時(shí)，沒有將關(guān)鍵點(diǎn)和中心點(diǎn)連線，導(dǎo)致學(xué)生在觀察圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)不能直觀地看到旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度，因此感到比較抽象和難以理解。

2.缺少對(duì)教材的優(yōu)化

對(duì)教學(xué)目標(biāo)把握不準(zhǔn)會(huì)減少對(duì)教材的優(yōu)化工作。例如，“旋轉(zhuǎn)的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)素材是旋轉(zhuǎn)情境圖和“玩陀螺”活動(dòng)，部分教師不知道如何用好這些素材，更不要說創(chuàng)新素材來引導(dǎo)學(xué)生了解圖形的旋轉(zhuǎn)和體會(huì)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)。又如，畫旋轉(zhuǎn)圖形是教學(xué)難點(diǎn)，傳統(tǒng)教學(xué)方式是引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)具，如將三角形學(xué)具先放在方格紙上，再按要求轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，最后畫下來。這并不利于學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)本質(zhì)，以及培養(yǎng)空間觀念。因此，教師要通過優(yōu)化素材來幫助學(xué)生進(jìn)一步理解圖形的旋轉(zhuǎn)。

三、把握本質(zhì)，結(jié)構(gòu)化教學(xué)

深度剖析學(xué)情與教學(xué)后可知，要實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化視域下的“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)創(chuàng)新，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷關(guān)聯(lián)的活動(dòng)，進(jìn)而把握旋轉(zhuǎn)本質(zhì)、注重整體關(guān)聯(lián)。

（一）利用操作，拓寬初步感知的廣度

在教學(xué)“旋轉(zhuǎn)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)方式是借助轉(zhuǎn)陀螺讓學(xué)生感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)陀螺轉(zhuǎn)起來以后陀螺上的點(diǎn)轉(zhuǎn)變成了圓。但是這樣教學(xué)，學(xué)生只有簡(jiǎn)單的發(fā)現(xiàn)，筆者對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)。

【教學(xué)片段】

師：大家猜猜，如果在小陀螺上任意點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)小陀螺，這個(gè)點(diǎn)會(huì)變成圓嗎？

生1：可能會(huì)。

師：大家來驗(yàn)證一下吧。請(qǐng)拿出水彩筆，在小陀螺上任意點(diǎn)幾個(gè)點(diǎn)，再旋轉(zhuǎn)陀螺，發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：我看到點(diǎn)變成圓。

生3：小陀螺轉(zhuǎn)起來后，這些點(diǎn)都在轉(zhuǎn)。

生4：點(diǎn)靠外面，變成的圓就大；點(diǎn)靠里面，變成的圓就小。

師：鐘表上的針也會(huì)轉(zhuǎn)。請(qǐng)幾位同學(xué)上來撥一撥鐘表上的分針，大家看看分針是否在做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

（幾位學(xué)生撥動(dòng)分針的方向和角度都不同）

生5：第二位同學(xué)是把分針從“12”順著轉(zhuǎn)到“6”，只走了半圈，不是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

生6：我覺得這樣是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)半圈的動(dòng)作和轉(zhuǎn)陀螺的動(dòng)作、轉(zhuǎn)一圈分針的動(dòng)作是一樣的，只不過旋轉(zhuǎn)得少了一點(diǎn)。

生7：第三位同學(xué)和前面兩位同學(xué)不同，是逆時(shí)針轉(zhuǎn)分針的。

師：原來可以按不同方向旋轉(zhuǎn)。你們能讓三角尺旋轉(zhuǎn)起來嗎？它們?cè)谵D(zhuǎn)的時(shí)候和分針的旋轉(zhuǎn)有什么相同之處？

生8：都要固定住一個(gè)地方不動(dòng)。

師：如果不固定，三角尺就會(huì)怎么樣？

生9：那整個(gè)三角尺都會(huì)移動(dòng)。

教學(xué)創(chuàng)新的三個(gè)落腳點(diǎn)是素材的關(guān)聯(lián)、活動(dòng)的關(guān)聯(lián)和運(yùn)動(dòng)本質(zhì)的關(guān)聯(lián)。通過陀螺、分針和三角尺的旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生體驗(yàn)點(diǎn)、線段和平面圖形的旋轉(zhuǎn)，從而理解旋轉(zhuǎn)的概念。在操作中，學(xué)生可以感受到旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)中心的變化，并且體會(huì)到平移和旋轉(zhuǎn)之間的區(qū)別。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在操作、觀察和比較等活動(dòng)中建立豐富的表象，以發(fā)展他們的空間觀念。通過簡(jiǎn)單的操作和觀察，學(xué)生可以深入地感悟旋轉(zhuǎn)的概念。

（二）經(jīng)歷畫圖，挖掘理解特征的深度

如果教師只是讓學(xué)生在方格紙上畫三角形旋轉(zhuǎn)后的圖案，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生會(huì)不知道為什么要畫圖。筆者對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)。

【教學(xué)片段】

師：一個(gè)三角形繞O點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°會(huì)得到怎樣的圖形？請(qǐng)大家先想象，再試著畫一畫，最后用三角形轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)進(jìn)行驗(yàn)證。

生1：我先找到長(zhǎng)邊OA繞O點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的位置，并確定長(zhǎng)度為4格。再找到短邊OB繞O點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的位置，并確定長(zhǎng)度為3格，然后把第三條邊AB連起來。

師：你們?cè)诋嫷倪^程中發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：要找到對(duì)應(yīng)邊，每一條邊的旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)度數(shù)、旋轉(zhuǎn)中心要相同。

生3：長(zhǎng)邊OA、短邊OB都與旋轉(zhuǎn)中心直接相連，不相連的邊AB的旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)度數(shù)、旋轉(zhuǎn)中心也和OA、OB相同嗎？

師：真是個(gè)好問題！旋轉(zhuǎn)圖形中沒有和旋轉(zhuǎn)中心直接相連的邊是怎么旋轉(zhuǎn)的呢？大家可以在課后探究這個(gè)問題，到初中時(shí)大家也會(huì)學(xué)到。

改進(jìn)后的教學(xué)把教學(xué)目標(biāo)確定為在繪圖過程中理解旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的特征，特征有：旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角度。然而，這些特征在中學(xué)數(shù)學(xué)教材才會(huì)概括。因此，此時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生研究如何正確繪制圖形，并通過觀察、想象、驗(yàn)證和思辨等自主探究的過程，讓學(xué)生自主感悟這些特征，發(fā)展他們的空間觀念，提升他們的學(xué)習(xí)能力。

（三）溝通建聯(lián)，提升認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)本質(zhì)的有效性

教學(xué)“旋轉(zhuǎn)的再認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師通常都是用問題引導(dǎo)學(xué)生用抽象的語言來概括說明圖形的運(yùn)動(dòng)，如“我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？”。但是學(xué)生較難用語言來概括說明，因?yàn)榻滩臎]有給這三種運(yùn)動(dòng)下明確的定義。筆者對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)。

【教學(xué)片段】

師：請(qǐng)觀察圖1-1、1-2、1-3，三幅圖中的圖形①可以分別經(jīng)過什么運(yùn)動(dòng)得到圖形②？

生1：圖1-1的圖形①經(jīng)過平移運(yùn)動(dòng)，圖1-2的經(jīng)過軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，圖1-3的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

師：這三種運(yùn)動(dòng)的相同之處和不同之處是什么？

生2：相同之處是運(yùn)動(dòng)前后圖形的形狀和大小都不變。

生3：不同之處是平移前后圖形的方向不發(fā)生變化，軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)之后圖形的方向發(fā)生了變化。

在第三學(xué)段，教學(xué)的定位是幫助學(xué)生感悟運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)和關(guān)聯(lián)。針對(duì)這個(gè)學(xué)段學(xué)生的心理特點(diǎn)，可以借助直觀幾何的方法來幫助學(xué)生理解三種運(yùn)動(dòng)，并且促使他們認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)和關(guān)聯(lián)。

總之，教師應(yīng)該根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，以明確的教學(xué)目標(biāo)為基礎(chǔ)，將教學(xué)內(nèi)容和方法有效地銜接起來，以便更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求；通過操作、觀察、思辨等活動(dòng)，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，從初步感知到深入理解，不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 傅瑞琦.基于結(jié)構(gòu)化的“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)：以“圖形的變化”單元第4課時(shí)“圖形的旋轉(zhuǎn)”為例[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2023，（Z2）：37-41.

[2] 徐曉良，黃陳辰.理解本質(zhì)獲得經(jīng)驗(yàn)發(fā)展想象：《圖形的運(yùn)動(dòng)（三）》第一課時(shí)重組思考與實(shí)踐[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2021（20）：36-39.

（責(zé)編 楊偲培）