數學建模在培養學生數學素養中的作用

摘 要：數學建模運用數學方法對復雜的現實問題進行抽象和轉化，揭示其內在的規律和邏輯。為增強學生運用數學知識解決實際問題的意識和能力，深入探討數學建模的重要性，結合案例分析學生應用數學知識解決實際問題的現狀，探究高中數學建模教學的有效策略，并提出高中數學建模教學思路，以促進學生數學應用能力的提升。

關鍵詞：數學素養；數學建模；創新意識

基金項目：本文系2023年度河南省基礎教育教學研究項目“高中生數學建模能力培養的研究”（立項編號：JCJYC2303170006）研究成果。

作者簡介：鄭記科（1982—），男，河南省駐馬店高級中學。

一、培養學生數學建模素養的重要性

“數學建模”從2020年起正式納入普通高中數學課程標準，各版教材將數學建模作為必修章節，并明確了相應的課時要求。作為《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中所述核心素養之一，數學建模與其他五個核心素養緊密關聯、相互滲透。“數學建模與數學探究活動”被確立為數學課程內容的四大主線之一，并明確了相應的課時要求［1］。數學建模活動已成為培養學生創新思維和實踐能力的重要途徑，學生在實際問題的驅動下主動探索、構建模型、尋求應用，實現數學知識與現實生活的緊密結合。學生具備較強的數學建模能力，有助于他們掌握數學知識之間的內在聯系和邏輯體系，形成系統化、結構化的知識網絡。

二、數學建模素養在高中數學中的具體體現

數學建模是將實際問題中的因素進行簡化，抽象成數學中的參數和變量，運用數學理論進行求解和驗證，利用計算機編程得出結果的活動。數學建模的主要過程：發現問題，提出問題；建立模型，求解檢驗；完善模型；分析和解決問題。高中數學建模的主要知識載體：平面向量及應用、復數、概率、數列、一元函數導數及應用、空間向量與立體幾何、平面解析幾何和計數原理。

三、高中數學建模教學實踐策略

（一）注重數學建模意識

數學建模課程強調學生的自主性、創新性，鼓勵學生開展深入的討論和辯論，尋找解決問題的最優策略。這種教學理念有助于激發學生的思維火花，培養他們的自主學習能力和數學核心素養，使他們具備創新解決問題的能力。為培養學生的數學建模應用意識，教師在教學過程中應采取一系列措施，讓學生了解知識的實際應用背景，將數學問題與實際生活相聯系。例如，在講解不等式、線性相關等概念時，可以結合一些實際問題和現象進行講解，讓學生更加深入地理解這些概念的應用價值。在高中數學教學中開展數學建模活動的目的在于引導學生將所學知識運用到現實情境中，使其學會發現問題、分析問題、解決問題。

（二）融入跨學科教學

在數學建模教學中，應強調跨學科的應用與實踐。在選擇建模案例時，教師應適當考慮那些與物理、化學、生物等其他學科有所關聯的主題。例如，在生物領域，基因的排列與組合是一個復雜的問題。通過結合數學的排列組合理論，學生可以更直觀地理解基因的多樣性與復雜性。這種跨學科學習不僅有助于學生解決生物領域的難題，還能培養他們的數學建模思維，提高其解決實際問題的能力。

（三）強調團隊合作和交流

數學建模往往需要團隊協作與交流，每個人都有自己的特長和愛好，通過有效的溝通和協作，可以更好地發揮個人優勢，達到共同進步的目標。教師應根據學生的特點和專長進行合理分組，使團隊成員能夠發揮自己的優勢，互相學習。通過組織小組討論、團隊活動等方式，鼓勵學生積極參與，分享意見，提高團隊協作效率。此外，教師還應引導學生對建模過程進行反思和總結。

（四）有效運用數學軟件

在數學建模過程中，我們經常會用數學軟件來完成數值計算、數據分析和可視化等任務。因此，教師可以為學生介紹一系列常用的數學軟件，比如MATLAB、Python、SPSS等。教學可從三個方面著手：介紹常用數學軟件，指導實際應用案例，培養創新和實踐能力。

四、數學建模教學案例

以數學建模的方式培養學生數學核心素養的過程是一個系統性、綜合性的教育過程，旨在提升學生的思維能力、解決問題的能力以及跨學科應用的能力。具體數學建模教學模式如圖1所示。

本研究以“測高”為例進行數學建模教學實踐。

（一）提出問題：確立建模主題

項目名稱：數學建模活動——測高

（二）探索思路：構建數學模型

1.探索方案

（1）可接觸物體

模型a：仰角法（如圖2所示）

測算步驟：測出長度h1、L以及角的值，用計算器求出的數值，再利用公式，即可得出高度。

模型b：距離法（如圖3所示）

測算步驟：測出長度L1、L2和高度H1，基于相似三角形知識，用公式即可得出高度。

（2）不可接觸物體

模型c：四點測高法（如圖4所示）

測算步驟：分別取兩點位測出a1、a2的度數以及兩點位之間的距離L，求出其中一點位的仰角a3的度數，利用公式即可得出高度。

2.模型簡評，誤差分析

模型a方法簡單，變量較少，且受外界因素的影響較少，建模關鍵在于仰角測定的誤差控制以及水平位置的確定，教師應對器具和操作步驟進行把關。模型b與模型a相比，省略了角度測量這一容易產生誤差的步驟，可通過測量長度直接測算出高度，但運用了“三點一線”的數學知識，需要精確確定觀測點的位置。模型c的靈感來源于珠峰高度測算，通過“利用三角形一邊長求高度”的創新思維來解決問題，理論可行但操作難度較大，需要根據實際情況改進建模方法以克服困難。

（三）實驗操作：引導學生進行建模操作

1.模型a

測量工具：激光筆、卷尺、三腳架、尋星鏡、量角器

測量對象：國旗旗桿

測量步驟：先利用激光使旗桿與三腳架在同一水平面上，三維呈現模型a，通過激光和卷尺測算出三腳架中心距旗桿的水平距離L與三腳架高度h1。再通過尋星鏡將其視野中心對準旗桿頂部并用激光輔助尋找。最后通過量角器得出角θ的值，使用科學計算器得出結果。實驗進行三組，以平均值作為最終測量結果。實驗數據表格如表1所示。

h總的平均值為18.51 m。經查詢，該旗桿高度為18 m，測量結果在系統誤差允許范圍之內。

2.模型b

測量工具：激光筆、三腳架、卷尺

測量對象：高級中學圖書館

測量步驟：先利用激光筆確定三腳架位置，三維呈現模型b。調整激光筆位置，使圖書館頂部、三腳架、激光筆三點共線，即激光筆發射出的激光需要同時出現在圖書館頂部及三腳架的位置（由于光線沿直線傳播，且激光筆有點狀光斑，可以出現二者的疊加態）。測出激光筆到三腳架距離L1、三腳架到樓底距離L2和三腳架高度H1，利用科學計算器得出測量結果。為減小誤差，測定三組數據取其平均值。實驗數據表格如表2所示。

H2的平均值為20.78 m。遺憾的是，我們未獲取到官方數據來證實實驗數據，于是小組預備在模型c中再次測定圖書館高度。

3.模型c

測量工具：尋星鏡、激光筆、卷尺

測量對象：高級中學圖書館

測量步驟：尋找視野開闊、可自由活動的區域，通過尋星鏡的觀察地點切換完成模型d的三維呈現。確定好位置后以激光筆為輔助，將尋星鏡的視野中心確定在圖書館頂部一定點處，測出其仰角a1及水平角a2，再將尋星鏡水平平移距離L，重復上述步驟得出水平角a3，利用科學計算器得出結果。為減小誤差，依舊測量三組數據，取平均值作為最后結果。實驗數據如表3所示。

H的平均值為21.74 m。與模型b進行對照，發現兩模型測量數據相似，在系統誤差的允許范圍內，實驗結果成立。取其平均值，得出圖書館樓的高度H=21.26 m。

（四）實驗結果與分析：創新思維，利用新方法

在實踐中，三個模型都能夠正常運用，得出了理想結果，但仍然存在一些有可能造成誤差的因素，比如a模型是否保持三腳架始終水平、模型b是否三點共線、c模型的測角誤差與其普適性（視野開闊且能自由移動）。

在實際計算中，面對冗雜、煩瑣的數據，人們容易出現計算錯誤。為改善計算過程，可使用Python軟件進行編程，使計算更為簡便。以模型a為例（斜體部分為具體操作）：

t1=float（input（“輸入角θ的正切值”））

l1=float（input（“輸入L1的長度”））

h1=float（input（“輸入h1的高度”））

print（“建筑物的高度是%.2f”，%（h1+l1*t1））

得出結果自動保留2位小數。經測試，程序運行無誤。

其他模型同理，只需改變輸入參數與運算公式即可。編程成功后便可以利用Python進行數據計算。至此，實驗結束。

（五）評價與反饋：強化建模意識，提升數學核心素養

經歷數學建模的具體過程，學生能夠更好地理解數學建模的意義。在建模過程中，教師要鼓勵學生“揚長”而不是一味“避短”。許多從未得到過表揚的學生，在數學建模過程中展現出自己的特長，比如擅長使用計算機或者善于在線查找資料，受到了教師的認可和鼓勵，從而樹立了學習的自信心。因此，在與學生交流的過程中，教師應該及時給予激勵性評價，給學生提供指導和幫助。教師在設計評價內容時，不僅要關注結果，更要關注過程，關注學生之間的個體差異、學生參與數學建模的前后變化，使不同層次學生的數學建模素養均有所發展。通常可以從以下幾個方面觀察和評價學生：提出的問題是否具有獨特性，解決方法是否新穎，探究過程是否有效，成果是否具有特色，反思和拓展是否有所收獲，學習方法是否得當，數學素養是否有所提升。教師要積極組織建模活動，開展數學建模大賽，讓更多的學生參與其中，經歷建模的過程，真正解決實際問題，深刻感受數學知識的現實意義，通過學數學、做數學、用數學來提升數學核心素養［2］。

五、總結

通過數學建模活動，學生可以培養“優化”思維、決策能力、建模能力、運算能力以及跨學科思維能力。

數學建模是數學學科的六大核心素養之一，它要求學生具備扎實的數學基礎、廣闊的視野和跨學科的知識整合能力。在指導學生建模時，教師應當堅持立德樹人，鼓勵創新，遵循教育教學規律，培養新時代的人才。

［參考文獻］

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：5-6.

史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀［M］.高等教育出版社，2020：103-104.