MPCK視角下的教學設計

何麗霞 程國忠

【摘要】MPCK是教師從事數學教學應具備的核心知識，是數學知識的學術狀態轉化為學生學習形態的理論基礎，關系到課程改革、課程教學和教師專業的發展.文章從MPCK視角出發，通過啟發引導和探究式教學相結合的方式，對“直線與平面垂直的判定”進行教學設計，并從MK、CK、PK三個維度分析教學設計，展現了MPCK理論在數學教學中的指導意義.

【關鍵詞】MPCK；直線與平面垂直；教學設計

一、概 述

1986年，美國學者舒爾曼提出了“教學內容知識”的概念（即“PedagogicalContentKnowledge”，簡稱PCK），認為教學內容知識是教師特有的知識.之后，國內外學者做了大量關于PCK的研究，提出了許多有價值的教學設計理念.

以前人們總認為，教師掌握的數學知識越多，教學能力就越強，所教學生的成績就越好，但現實并非如此.隨著教學體系的不斷改革和發展，越來越多的數學家注意到教師教學方法和教學設計的重要性. 2009年，黃毅英教授聯系PCK與數學學科，提出數學教師從事教學應具備“數學教學內容知識”（MathematicsPedagogicalContentKnowledge，簡稱MPCK），認為MPCK是數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）和有關數學學習的知識（CK）三類知識的交集，并且教師的MPCK會隨著各維度的增長得到提升.這一觀念一經提出，許多學者便展開了相關理論的研究，但在實踐方面的研究相對較少.下面從MPCK視角出發，以“直線與平面垂直的判定”這一課為例，從MK、CK、PK三個角度分析教學設計方案.

二、MPCK視角下“直線與平面垂直的判定”的教學設計

（一）教材分析

本節課選自新教材（人教A版）必修第二冊8.6.2節的內容.本節課主要研究空間中直線與平面垂直的判定，是立體幾何中的重要內容，既是線線垂直的延伸，也是面面垂直的基礎，并為學生后續學習直線與平面所成角等內容做了鋪墊，起著承上啟下的作用.

（二）學情分析

學生在之前的學習過程中有了觀察、操作、抽象、概括等活動體會，具備一定水平的數學抽象、邏輯推理、直觀想象能力.

（三）教學目標

1.理解直線與平面垂直的定義.

2.歸納直線與平面垂直的判定定理，運用定義和判定定理解決問題.

3.向學生滲透歸納、類比、猜想等數學思想方法，培養學生的幾何直觀和抽象概括能力.

（四）教學重點、難點

1.重點：判定定理的操作確認.

2.難點：探究判定線面垂直的方法，歸納判定定理，在解決問題時能對判定定理和定義進行轉化.

（五）教學過程

1.設置情境，引入課題

問題1：空間中直線與平面有哪些位置關系？

問題2：觀察兩幅圖片，圖1中比薩斜塔主體所在直線和地面所在平面具有怎樣的位置關系？圖2中旗桿所在直線和地面所在平面具有怎樣的位置關系？

追問：生活中還有線面垂直的例子嗎？

【設計意圖】思維從問題開始，問題1是新舊知識之間的紐帶，能夠激發學生學習新知的興趣，使其快速進入學習狀態.生活實例自然生動，方便學生直觀感知，可激發學生學習的積極性和主動性.

2.提煉定義，辨析深化

問題3：觀看動畫（如圖3），旗桿影子的位置BC隨著太陽的變化而改變，AB與BC具有怎樣的位置關系？AB與BC的位置關系是否隨BC的變化而改變？

這些影子有什么共同的特點？

追問：任取平面上一條不過點B的直線B′C′，是否還與AB垂直呢？

學生討論后，教師展示線面垂直的定義.

問題4：能否畫出線面垂直的直觀圖？

學生作圖后，教師給出規范性的圖示.

問題5：如果一條直線垂直于平面內無數條直線，這條直線是否垂直于該平面？

追問：如果一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于平面內任一條直線.這個說法是否正確？

【設計意圖】幾何畫板的動態演示遵循學生直觀感知的認知過程，可使學生更易理解和體會知識點，讓學生帶著問題思考，引導學生感知定義，探求線面垂直的本質所在，逐步形成嚴謹的公理化體系.最后，教師通過提問引發學生積極思考，得到線面垂直到線線垂直的結論，發現逆推的數學思想方法，深化學生對定義的理解.

3.操作實踐，探究定理

（1）分析實例，尋求定理

問題6：旗桿和地面如果不垂直，便會存在安全隱患.若想檢驗旗桿和地面的垂直關系，用定義的方式是否可行？為什么？

問題7：要保證線面垂直，需驗證直線至少和平面內的幾條直線垂直？

【設計意圖】讓學生由問題進行思考，思考后提出疑問，發現障礙，自然引出對判定定理的研究，發展了學生發現和提出問題的能力.

（2）實驗操作，概括定理

師：請同學們拿出三角形紙片，并標上A，B，C三點，取BC邊上任一點D，連接AD（如圖4），沿著AD進行翻折，展開一定角度后立在桌面上，觀察AD是否垂直于桌面？（如圖5）

生：不垂直.

師：D點位置如何調整，才能使折痕AD與桌面垂直？

生：當AD是底邊BC的高時.

師：不錯，那老師現在按照大家說的，使AD為底邊BC的高，但使B，C兩點在一條直線上（如圖6）， AD與桌面垂直嗎？

生：也不垂直.

師：那要讓直線與桌面垂直，除了使AD為底邊的高，還應該怎么辦？

生：讓三角形紙片沿著高線翻折.

師：好的.作AD為底邊BC的高，沿著AD將紙片翻折，如圖7翹起來放，AD與桌面還垂直嗎？

生：不垂直.若使AD與桌面垂直，則AD應為底邊BC的高，并沿著高線進行翻折，且使BD，CD兩條直線在平面內.

師：圖6與圖8中AD都為底邊BC的高，為什么翻折和不翻折得到了兩種不同的結果？

生：沒有翻折時，AD與平面上的一條直線垂直，翻折時，AD與平面上的兩條直線垂直.

師：平面上的兩條直線又有怎樣的位置關系呢？

生：兩條直線相交.

師：很好，現在誰能用簡單的話概括一下，要想使一條直線與平面垂直，應該保證什么？

生：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直.

師：這就是直線與平面垂直的判定定理.現在，請大家看屏幕，我已給出了判定定理的符號語言，大家可以畫出它的圖形表示嗎？

學生作圖后，教師給出規范性的圖形表示，如圖9.

【設計意圖】在學生理解粗淺時追問，在學生總結不全面時提出質疑，引領學生發現問題，并結合學生動手操作，循循善誘，促進學生進一步探究，最后直接給出定理的符號語言，讓學生嘗試作圖，用直接經驗與間接經驗相結合的方式提升學生的思維能力與表達能力，提高學生的空間想象力和邏輯推理能力.

（3）質疑反思，深化定理

師：在作圖過程中，老師發現有幾名學生是這樣做的（如圖10），請同學們觀察這種情況，直線與平面還垂直嗎？

生：垂直，可以通過平移的方法驗證.

師：由此，大家發現了什么呢？

生：線面垂直，只需證直線與平面上兩條相交直線垂直，與直線與兩條相交直線是否有交點無關.

【設計意圖】進一步探究定理，加深學生的認識和理解，通過對問題的思考及時鞏固知識，培養學生的抽象能力和解題能力.

4.動手練習，掌握延伸

【例】求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面.

【設計意圖】讓學生嘗試用線面垂直的定義和判定定理兩種方法進行證明，引導學生分析并作出輔助線，培養學生解題的習慣與能力.

5.梳理知識，歸納總結

師：今天學習了哪些數學知識？你能否對今天及之前學習的內容做一個簡單的框圖梳理？

【設計意圖】讓學生梳理要點，養成反思的良好習慣.

6.分層作業，因材施教

A：教材152頁練習第2，3題.

B：如圖11，ABCD是正方形，PA垂直于平面ABCD，過A且垂直于PC的平面分別交PB，PC，PD于點E，F，G，求證：AE⊥PB，AG⊥PD.

C：查閱書籍或借助網絡學習線面垂直判定定理的證明方法.

【設計意圖】分層作業有助于關注不同學生的發展需要和個性化發展.

三、MPCK視角下的分析

（一）MK分析

從MK的角度，教師需要對本節課的知識內容有充分的認識，不僅應該掌握線面垂直的定義和判定定理等，還應當充分了解知識的起源、發展，把握知識結構、重難點、關鍵點，明確教學過程中蘊含的數學思想方法，剖析內容的核心.教師只有對所教知識有著清晰明確的掌握，才能設計出好的教學主線，有效指導課堂教學的方向，提高教學效率.

研讀本節教材，筆者明確本節教學重點是體會抽象概括的方法和判定定理的歸納.然而，筆者在查閱大量優秀教學設計的過程中發現，許多教師在這節課的教學中總會設計讓學生總結直線與平面垂直的定義這一步驟，雖然這符合概念教學的基本環節，即“具體案例—共性特征歸納—下定義—理解定義”，但這里讓學生下定義并沒有太大意義，畢竟這種原始性的定義其實就是數學家的想法，重要的是要引導學生形成思考的能力，懂得如何歸納共性.

（二）CK分析

從CK的角度，教師需要了解學生的水平，包括學生已有的認知情況、在本節課的學習中會遇到的困難、學習本節課應達到怎樣的水平等.

在本節課中，學生自主探究、抽象概括、積累知識，體現了以學生為主體的課堂教學模式.不僅如此，教師從實際情境出發展開教學，并通過舉例有效幫助學生在頭腦中形成線面垂直的初步印象，發散思維，提升樂趣.但是，也有教師會直接給出線面垂直的畫法，忽略學生在幾何作圖方面的需求.目前，高中學生的作圖基本功不扎實，規范性不強，這就是教師在教學過程中不重視作圖教學導致的.在立體幾何學習中，準確畫圖也是學生需要鍛煉的能力，因此，教師應該注重在教學過程中讓學生自己動手作圖的重要性，補齊學生的作圖短板，使其全面發展.

（三）PK分析

從PK的角度，教師需要在深刻認識MK、深度了解CK的基礎上靈活選擇PK.在本節課教學中，教師需要確定本節的教學目標、原則、方法、評價等，并根據學生的實際情況選擇教學方式.筆者在教學設計中以問題串的方式步步推進，引出本節的學習內容，讓學生自主探究，提升了學生的自主性，然后對定義進行變形，加深學生對知識的理解，同時，在學生嘗試畫圖的過程中分析學生畫出不同圖形的想法及原因，關注個體差異，強化學生的認識，再有效結合小組討論讓學生之間互相答疑，取長補短，提升自我.

通過以上剖析，筆者建議：首先，教師應該深度理解教學內容，要對內容、知識、結構以及教材中的例題具有清晰的認識并進行合理設計；其次，在專題教學中學會適當放手，重點運用引導、啟發的方式；最后，合理應用多媒體技術，培養學生直觀想象和數學抽象的能力.

【參考文獻】

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