高職微積分數學思想方法的教學策略實踐研究

摘?要：本文以高職微積分的教學現狀為基礎，論述了微積分數學思想方法的起源和發展，總結了在高職院校微積分教學中的主要數學思想方法，研究了微積分教學中數學思想方法的教學策略、教學途徑、教學價值，并以定積分的概念為例對微積分教學中主要數學思想方法進行了案例分析。通過以上研究指出在微積分教學中滲透數學思想方法的教學有助于學生形成辯證唯物主義思維方法，培養學生的抽象概括能力、逆向思維能力，提高學生對現實生活中客觀現象的認知能力和培養踏實認真的工作態度。

關鍵詞：微積分教學；數學思想方法；教學策略及途徑

高職教育在大一階段的數學課是就是微積分教學，其實學生在高中階段已經學習過一部分導數等微積分知識，但是高中階段學習的許多知識只是單純地學習解題方式，有些知識強調其“然”，但不注重其“所以然”，所以在高職階段的微積分教學并不是高中階段知識的重復和難度加深，而是著重對微積分的思想方法進行深入系統地解讀和數學分析。微積分學對人的思維方式和思維能力的訓練都起著十分重要的作用，無論將來學生畢業后從事何種工作，微積分的數學思想方法都是不可或缺的。在高職數學教學中強化數學思想方法，能夠為學生建立系統的數學知識體系，使學生形成完整的數學觀念，指導學生思維創新，提升學生綜合素質。

一、高職微積分的教學現狀

高職院校的數學課程是“高等數學”，由于高職學生基礎薄弱，學習能力比較弱，對于數學學習有畏難情緒，有部分職業學院的領導和教師認為職業教育就是注重動手能力，注重專業課的觀點，對基礎課教學不太重視，特別是數學課，由于學生期末不及格的人數較多，也使教師和學生都對在高職院校要不要開設“高等數學”課產生了疑慮，有的高職學院將數學課縮減課時等方式，讓“高等數學”課成為在高職院校開設課程中變得可有可無，目前本人所在學院“高等數學”課程中只開設一個學期，基本是70學時左右。

二、微積分教學中主要的數學思想方法

（一）微積分數學思想方法的起源和發展

微積分的研究起源于西方研究，18世紀末以前，英國的數學家牛頓和德國的數學家萊布尼茨提出了無窮小量方法——微積分，奠定了微積分學的基礎，是數學發展史上的一個偉大的發明，其思想方法一直影響到現在數學的發展；18世紀末到20世紀初：柯西、魏爾斯特拉斯、康托爾，在數學分析中提出了極限與集合論的思想方法，其代表人物是集合論的思想和數學公理化方法的運用，極大地推動了20世紀數學的發展。

我國很早就對極限的思想方法有較深入的研究和理解，古代數學家劉徽“割圓術”，這是極限思想方法的萌芽——圓周率，體現了極限的思想。通過以思想方法的分析來帶動具體數學知識內容的教學，我們即可真正地做到把數學課“講活”“講懂”和“講深”。

現代數學家鄭毓信在《數學方法論》提出教師在數學教學中不僅應當使學生掌握具體的數學知識，而且也應幫助學生領會內在的思想方法。

（二）微積分教學中所體現的主要數學思想方法

在高職微積分數學課的教學中，主要著重介紹講解的數學思想方法主要有函數思想方法、極限思想方法、類比思想方法、數形結合思想方法、化歸思想方法、整體與局部思想方法、數學建模思想方法等。

三、微積分數學思想方法的教學策略

（一）根據學情，選編教材

高職學生學習基礎薄弱，很多學生初中的知識都沒學好，如果直接講解微積分知識，會讓學生聽不懂，產生厭學情緒，因此學生成績大部分不及格。這些都是客觀事實，面對這樣的情況，就要適當調整微積分的教學內容，現在微積分教材絕大部分都是本科的微積分教學內容，不適合高職學生，因此選編教材十分必要，在高職教學一線的教師應該根據多年的教學經驗以及本學校學生的學情特點，編寫適合高職學生的教學，在教材編寫上應該充分體現微積分的數學思想方法，培養學生的邏輯思維能力，發散學生思維，提高學生的學習能力。

（二）挖掘提煉，系統講解

有了蘊涵數學思想方法的教材，就要求我們一方面要充分挖掘、提煉隱含在教材中的數學思想方法，善于將教材中的數學思想方法凸現出來，以便學生領悟和體會；另一方面要把數學思想方法的教學納入教學目標，做到有目的、有計劃、有步驟地進行教學。如數形結合思想方法的教學，在講解定積分的應用的時候，對于具體求面積的習題要讓學生將圖形畫出來，直觀理解需要求解哪一部分的面積，應該采用什么樣的方法能更簡便合理地把圖形中的面積求出來；在講解導數的概念時要充分提煉極限的數學思想方法，要讓學生充分建立極限的思想，用極限的思想去理解無窮小、導數、積分等微積分的有關概念。這樣教學，不但讓學生理解了該概念，而且展現了這一概念形成的過程以及該概念定義的合理性與必然性，更重要的是將數學思想和方法的教學真正落到實處。

（三）綜合把握，階段滲透

數學教學是一個系統的、整體的教學過程，在教學中要有整體思想，綜合把握微積分的數學思想方法，在不同的階段，要以相應的方式講到恰當的程度，把數學思想方法教學落實到每一個教學環節。高職學生在大一的時候講一元函數的微積分，主要是講函數的概念、極限和連續、導數和微分、導數的應用、不定積分和定積分以及定積分的應用等，當在講函數的概念的時候就要重點講解函數的思想內涵、運動變化的思想、講解變量之間的關系、讓學生建立數學建模的思想等；要講解極限的時候要讓學生通過中學階段的數列極限進一步理解函數的極限、理解無窮小和無窮大、理解通過極限的思想方法可以讓無限求解從近似到精確的思想精髓；導數和微分部分要繼續理解極限思想、學會利用極限思想理解導數和微分的概念，理解導數的實質是求極限；講解積分的時候要繼續滲透極限思想、整體與局部思想、以直代曲思想。這樣在每個不同的知識階段有計劃地階段性滲透，使學生循序漸進，在潛移默化中對微積分思想方法理解和掌握。

（四）運用現代化技術，提高課堂教學效率

現代教育的發展，教育技術手段先進、信息量大、直觀生動，教師在教學中有效地加以利用，會使得課堂教學更為直觀、生動、有趣。高職數學課屬于基礎課，與專業課相比更抽象難懂，采用多媒體技術，可以吸引學生的注意力，提高學生的學習積極性。如我們在講解定積分概念的時候對于曲邊梯形面積的求法，就可以采用動畫演示，表現“無限細分”“近似替代”“無限累加”，對于極限以劉徽的“割圓術”為例，通過動畫直觀展示，充分理解由“無限”到“有限”，由“近似”到“精確”的思想精髓。

四、微積分中數學思想方法的教學價值

（一）完善認知結構

認知結構是學生頭腦中的知識結構，按照自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、思維等，形成一個具有內部規律的知識結構。數學學習過程是一個數學認知的過程，即新的學習內容和學生原有數學認知結構相互作用，形成新的數學認知結構的過程。

良好的數學知識結構不只是取決于知識點的數量多寡，更為重要的是知識的聯系和組織方式，是結構排列的層次性和有序性，數學思想方法能夠優化這種組織方式，促進各部分數學知識的融合，成為數學知識結構的核心和靈魂。

我們在講解導數的時候，要深入挖掘其思想內涵，讓學生理解運動和靜止的辯證統一、“勻速”代替“變速”的思想方法、“無限趨近”的涵義，這樣就在學生心中形成了一種新的認知結構，完成由常量數學到變量數學的學習思維的轉變，可見微積分數學思想方法的教學對優化、發展、完善學習者的數學認知結構有著十分重要的影響，為以后的高等數學的學習打下基礎。

（二）引導學生學習的遷移

遷移是一種學習對另一種學習的作用和影響，它是學習中的普遍現象，我們所講的遷移是一種對學生起到積極作用的正遷移，也就是我們平時所說的“由此及彼”“舉一反三”。微積分中教學目的不是只是教會學生如何解題，重要的還是引導學生學會學習的遷移，學習遷移包括兩個方面的遷移，一個是對以后數學學習的遷移，一個是非數學領域的遷移。

我們在講函數的連續的時候，盡管這部分內容對于學生的考試并不是重點內容，但是這部分內容起到了一個承上啟下的作用，我們要讓學生形成連續的認知結構，遷移到學習到導數概念，連續函數、中值定理等數學定理和公式，同時對于連續概念的理解也讓學生在工作和學習中堅定信心、持之以恒，應對各種困難和挑戰。

（三）促進思維的發展

在學習微積分的過程中形成的數學思維一般有抽象概括思維、逆向思維、類比思維、一般與特殊思維等，數學思維的訓練對改善思維能力、掌握思維方法都是比較重要的，數學是思維訓練的一個主要通道，一個人如果數學思維能力比較高，那么他在其他方面如物理、天文甚至是哲學等方面都會有較高的理解能力，對于培養學生的創造性思維是一個突破口。

歷史上數學家的創造性的數學思維推進了科學的發展，牛頓以“勻速”代替“變速”的思維解決了變速運動的瞬時速度，從物理方面發明了微積分，德國數學家萊布尼茨以“以直代曲”的思維從幾何方面發明了微積分，微積分的發明在數學史上具有跨時代的偉大意義，兩位數學家以數學思想方法傳導著數學精神，極大地推進了現代科學的發展和進步。

（四）培養學生辯證唯物主義的世界觀和方法論

我們現在提倡課程思政教學，對于數學課的思政教學，不能簡單地為了思政而思政，不能在教學中將思政內容簡單插入課堂教學中，這樣的教學顯得突兀、與學生有距離，應該在數學思想方法的基礎上，有機融入教學。微積分所體現的數學思想方法就已經體現了抽象概括能力、辯證唯物主義的思想，如在講導數的時候，其中所體現的函數的思想就體現了運動和靜止的辯證統一關系，在講復合函數的時候體現的整體和局部的思想就體現了看問題的時候要由表及里、層層遞進的思想。在講定積分的時候其中所體現的無限細分的思想方法，可以告訴學生在工作中如果遇到一個復雜的問題就可以把大問題分解成小問題，逐個求解。因此一個人的數學能力比較強的時候，在工作和生活中就會自然而然地應用數學思維解決生活中和工作中的疑難問題。

五、微積分教學中主要數學思想方法解析實例（以定積分的概念為例）

定積分的概念是微積分教學中一個比較重要的章節內容，在微積分發明的時候先從求解運動路程函數和不規則圖形的面積發明了定積分，進而發明了微積分，因此定積分中所體現的數學思想方法對領悟微積分的思想內涵具有重要的意義。具體解析如下：

（一）兩個實例演示，一個是曲邊梯形的面積，一個是變速直線運動的路程

通過上述兩個實例的教學活動可以得出他們的共同特征：

（1）都通過“四部曲”——分割、近似替代、求和、取極限來解決問題。

（2）都歸結為求同一種類型的和式∑ni=1f（ξi）Δxi的極限問題。

（3）解決問題的思想方法相同——在局部小范圍內“以直代曲”“以不變代變”和“逼近”的思想。

這種以直代曲、抽象概括、化整為零、由繁化簡、由難化易，也可以培養學生抽象概括能力和嚴謹的科學精神和工作態度。

把這些問題從具體的問題中抽象出來可以給定積分的定義。

（二）定義解析：定義的講解中蘊涵著數形結合思想方法、極限的思想方法、矛盾轉化的思想方法

讓學生體會到事物的發展變化由量變可以到質變、從有限可以到無限，由近似可以到精確的數學哲學思想。學習這種矛盾轉化和無限變化的觀點有助于學生由常量數學的學習發展到變量數學的學習。

（三）定積分的幾何意義解析：結合上述曲邊梯形的面積及定義得到定積分的幾何意義

本段內容體現了數形結合的思想方法，學生通過直觀圖形可以直接得出結果，培養學生在實際生活中的觀察能力和形象思維能力。

（四）小結：定積分的思想方法歸納

（1）定積分的實質：特殊和式的極限；

（2）定積分的思想和方法。

結語

微積分的教學盡管是高職課程的一門基礎課，但其中所體現的思想方法有助于學生對“高等數學”課程的學習及專業課的學習，有助于學生形成辯證唯物主義思維方法，有助于培養學生的抽象概括能力、逆向思維能力，同時也提高了學生對現實生活中客觀現象的認知。對學生今后的工作和學習都將產生深遠的影響。

參考文獻：

［1］莫里斯·克萊因.古今數學思想［M］.張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海科技出版社，2002.

［2］米山國藏.數學的精神思想和方法［M］.毛正中，吳素華，譯.四川教育出版社，1986.

［3］張奠宙，宋乃慶.數學教育概論［M］.高等教育出版社，2004.

［4］袁睿澤.高職經濟數學“微積分”的教學思想與方法分析［J］.太原城市職業技術學院學報，2021（05）：8890.

［5］文青.高職一元函數微積分概念的教學策略研究［J］.武漢船舶職業技術學院學報，2020，19（01）：5557+66.

［6］鄭毓信.數學方法論入門［M］.浙江教育出版，2006.

基金項目：遼寧省職業技術教育學會科研規劃項目《高職微積分教學中數學思想方法的研究與實踐》（項目編號：LZY22192）

作者簡介：張玲（1970—?），女，漢族，吉林德惠人，碩士，副教授，教師，研究方向：統計學。