加強(qiáng)多元表征策略研究，提升幾何直觀核心素養(yǎng)

摘要：基于“如何充分利用多元表征策略，不斷提升學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng)”的研究分析，主要從豐富語(yǔ)言情境表征、加強(qiáng)動(dòng)態(tài)展示表征、強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合表征、開(kāi)展實(shí)踐操作表征、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型表征五個(gè)方面，充分體現(xiàn)學(xué)生幾何直觀的“五度”.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；多元表征；幾何直觀；核心素養(yǎng)；策略研究

在初中階段數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，充分利用多元表征理論進(jìn)行學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)，可以多方面引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解與研究，也更容易幫助學(xué)生理解把握一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).采用多種表征轉(zhuǎn)換，更有助于學(xué)生深入學(xué)習(xí)，可以達(dá)成更好的學(xué)習(xí)效果.本文中就多元表征的應(yīng)用策略進(jìn)行研究，以更好地提升學(xué)生的幾何直觀核心素養(yǎng).

1 豐富語(yǔ)言情境，提升幾何直觀的“純度”

在解答一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，往往會(huì)遇到很多以文字為主的問(wèn)題，特別是涉及到數(shù)學(xué)古代文化知識(shí)問(wèn)題，需要對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)化，有時(shí)還需要將相關(guān)的問(wèn)題情境利用圖形語(yǔ)言或者符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，這樣才能更容易把握問(wèn)題的本質(zhì).利用幾何圖形展示問(wèn)題特征，會(huì)使得問(wèn)題更加直觀形象，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究分析，充分彰顯文化特色.

例1" 我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽著有《海島算經(jīng)》．內(nèi)有一篇：“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直．從前表卻行百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合．從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合．問(wèn)島高及去表各幾何？”請(qǐng)你計(jì)算出海島高度為步．（提示：三丈二5步.）

分析：此類問(wèn)題，不光在語(yǔ)言上給學(xué)生們?cè)O(shè)置了障礙，在分析解決問(wèn)題的過(guò)程中還有更多的難點(diǎn).針對(duì)此類問(wèn)題，單純從字面上來(lái)理解，學(xué)生很難入手計(jì)算，這就需要教師幫助學(xué)生轉(zhuǎn)化語(yǔ)言描述，用更簡(jiǎn)單、更直接的文字將題意表述出來(lái)，再借助相關(guān)的數(shù)據(jù)提示，如兩根標(biāo)桿高均為5步、前后相距1 000步、退行123步等.這樣的轉(zhuǎn)化，學(xué)生起碼在閱讀上沒(méi)有了障礙，而如何解答計(jì)算此問(wèn)題，又成了學(xué)生突破的難點(diǎn).因此，再根據(jù)題意，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，最終轉(zhuǎn)化為相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的問(wèn)題，從而可根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系列出分式方程，即可求出島高．

2 加強(qiáng)動(dòng)態(tài)展示，提升幾何直觀的“維度”

在一些有難度的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有時(shí)很難發(fā)現(xiàn)它的切入點(diǎn)，特別是涉及最值的問(wèn)題，在什么情形下才能達(dá)到最小或最大呢？有些問(wèn)題光靠觀察分析很難解決，如果將靜態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)問(wèn)題來(lái)分析，將問(wèn)題從“一維”轉(zhuǎn)化為“多維”來(lái)思考，將平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為立體問(wèn)題來(lái)觀察，這樣問(wèn)題會(huì)更加生動(dòng)直觀，能更加吸引學(xué)生的注意力，便于解決問(wèn)題［1］.

例2" 矩形ABCD滿足ABAD＝k（k＞1），在邊DC上截取線段DE使得△ADE∽△ABC，F(xiàn)是線段EC的中點(diǎn)，如圖1.若AC＝1，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．求BF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的最小值（用含k的代數(shù)式表示）．

分析：本題單純地求解BF的值，學(xué)生很難入手，更不用說(shuō)探究其最小值了.但是我們根據(jù)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)可知，由F為中點(diǎn)，此時(shí)很大程度上可考慮利用中位線定理.如圖2，取AC的中點(diǎn)O，連接OF，OB．OB交⊙O于點(diǎn)F′．由OC＝OA，CF＝FE，推出OF＝12AE，則OF是定值.這樣可以推出點(diǎn)F在以O(shè)為圓心、OF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).利用幾何畫(huà)板，將靜態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生借助動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)，體會(huì)點(diǎn)F的變動(dòng)過(guò)程，從而借助相關(guān)數(shù)據(jù)確定當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與F′重合時(shí)，BF取的值最小，此時(shí)再求出OB，OF的表達(dá)式即可解決問(wèn)題．

3 強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合，拓展幾何直觀的“深度”

“數(shù)”與“形”相輔相成，二者在某種程度上可以互相轉(zhuǎn)化，借助圖形來(lái)表示數(shù)之間的某種關(guān)系，借助數(shù)的精確性來(lái)闡明圖形特點(diǎn).只有在解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷深入強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的表征，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形思維轉(zhuǎn)化，從而更好地把握數(shù)形規(guī)律，拓寬學(xué)生幾何圖形的直觀辨別度.

例3" （1）已知兩個(gè)正數(shù)x，y滿足x+y＝7，求x2+4+y2+9的最小值；

（2）如圖3，正方形網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，在格點(diǎn)上有兩個(gè)點(diǎn)，分別為A，B，且滿足AB＝7．請(qǐng)?jiān)诰€段AB上找一個(gè)點(diǎn)P，使AP的長(zhǎng)為（1）中所求的x，并在圖形中畫(huà)出點(diǎn)P位置，寫(xiě)出結(jié)論即可．

分析：對(duì)于第（1）小題，咋看起來(lái)似乎無(wú)法解決，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)甚至有超綱的嫌疑.假如我們將代數(shù)問(wèn)題看作幾何問(wèn)題，借助網(wǎng)格或坐標(biāo)系，就可以從數(shù)形結(jié)合的角度思考分析，問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單了.例如，可以把32+42看做邊長(zhǎng)為3和4的直角三角形的斜邊，將x2+4看成是直角邊分別為x和2的直角三角形的斜邊.這樣，求x2+4+y2+9的最值問(wèn)題就可轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的幾何最短路徑問(wèn)題.

對(duì)于第（2）小題，通過(guò)作圖，得到圖4，這樣可證明△APC′∽△BPD，列比例式即可求出x的值．

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀.”這句話很明顯點(diǎn)出了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，“數(shù)”與“形”缺少哪一方面都不是完美的數(shù)學(xué)，并且告訴我們，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要注意利用“數(shù)形結(jié)合”法，注意“數(shù)”和“形”的互相轉(zhuǎn)化.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所描述的情境，將數(shù)與形有機(jī)聯(lián)系在一起，可將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將抽象問(wèn)題直觀化.

4 開(kāi)展實(shí)踐操作，拓展幾何直觀的“寬度”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)離不開(kāi)實(shí)際操作.在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視動(dòng)手實(shí)踐操作活動(dòng)的開(kāi)展，能更有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，增強(qiáng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀性，能更好地拓展學(xué)生幾何直觀的寬度，讓學(xué)生在操作中探究問(wèn)題的本質(zhì)，從而更容易接收相關(guān)知識(shí)，解答也會(huì)變得更加容易［2］.

例4" 現(xiàn)有如圖5所示的若干個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形紙片①，長(zhǎng)為b、寬為a的長(zhǎng)方形紙片②，以及邊長(zhǎng)為b的大紙片③．請(qǐng)解決下列相關(guān)問(wèn)題.

（1）如果小正方形①的紙片有1張，大正方形③的紙片有1張，長(zhǎng)方形②的紙片有3張，利用這些紙片你能否將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（如圖6所示）？結(jié)合各個(gè)紙片表示的面積之間的大小關(guān)系將多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式.

（2）如果現(xiàn)有上面所描述的三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接），那么可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同的正方形？

分析：實(shí)際上，這樣的問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)既抽象又難以理解，本來(lái)整式問(wèn)題對(duì)他們來(lái)說(shuō)就感覺(jué)摸不著頭腦，解決此類應(yīng)用問(wèn)題更是難上加難.如果將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)際操作問(wèn)題，讓學(xué)生準(zhǔn)備類似的硬紙片，剪成相對(duì)應(yīng)的形狀，再操作擺放，并在擺放過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)擺放的一些方法或技巧，讓學(xué)生在操作中分析，在操作中思考、總結(jié)，借助剪切的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究.這樣不僅加強(qiáng)了學(xué)生的空間想象力，更提高了他們的幾何直觀能力，在擺放過(guò)程中找到了邊與邊的關(guān)系，找到了多項(xiàng)式與圖形之間的關(guān)系，找到了面積與圖形之間的關(guān)系，從而順利突破難題.

綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)只有充分調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)的多元表征，關(guān)注公式、概念、性質(zhì)的“數(shù)”的特點(diǎn)以及數(shù)學(xué)模型、幾何圖形的“形”，將“數(shù)”與“形”完美結(jié)合，充分體現(xiàn)幾何直觀的優(yōu)勢(shì)，才能讓學(xué)生在提高直觀能力的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正體現(xiàn)幾何直觀的價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

［1］孫紅強(qiáng).圖形：培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的關(guān)鍵要素［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2020（3）：50.53.

［2］嚴(yán)玲.借助多元表征" 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)——以七年級(jí)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)為例［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（6）：1.3.