精準構建幾何思維 創設高效數學課堂

陳曉靜

摘要：數學思維的訓練對于學生學好數學這門學科至關重要，特別是發散性思維能夠開拓學生的思路、培養學生靈活的學習思維，讓學生在解題過程中不局限于一個解題方法。本文主要從一題多解、一題多問、一題多變等方面來闡述怎樣培養學生的發散思維。

關鍵詞：初中數學 幾何數學? 發散思維

發散思維就是從已知條件、規律、方法、概念出發，對問題的解決不按常規，而產生另一種或多種想法的思維方式。發散性思維可激發發學生的學習動機、啟迪思想、激發求知欲、探索欲和創新欲等。因此，在初中數學幾何教學中，鼓勵他們勇于創新、發散思維，使得學生從多方面、多層次以及多角度進行思考，探索出獨特、新穎、簡單的解題方法是非常重要的。

一、一題多解，激發學生的求知欲

思維循規蹈矩是學生發散思維培養的主要障礙，如果學生的思維積極性較強，則有利于發散思維的培養。通過一題多解的方法讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異欲望，培養學生思維的靈活性以及求同存異的思維能力。

案例1? 已知，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。

點撥? 一般來說，“證明兩條線段的和等于第三條線段”時，常用的方法是截長補短法。截長法是指在第三條線段即最長的線段上截取一段等于較短兩條線段中的一條，然后再證最長線段上所剩的部分，等于兩條短線段中的另一條。補短法是指把兩條較短線段接起來，然后證所得的最長線段等于第三條線段；根據這種思路我們就有兩種證明方法。

證明一? 如圖1，在AE上取點F，使EF=BE，

由CE⊥AB有，△CEF≌△CEB，

∴ ∠CFE=∠B

∵ ∠B+∠D=180°

∴ ∠CFA=180°－∠CFE=∠D

∵ AC平分∠BAD

∴ △ADC≌△AFC

∴ AD=AF

∴ AE=AF+FE=AD+BE

證明二? ?如圖2，延長AD到點F，使AF=AE，

由AC平分∠BAD，易證 △AFC≌△AEC

∴ ∠F=∠AEC，CF=CE

又∵ CE⊥AB

∴ ∠CEB=∠AEC=90°

∴ ∠F=∠CEB

∵ ∠B+∠ADC=180°，∠FDC+∠ADC=180°

∴ ∠CDF=∠B

∴ △DCF≌△BCE

∴FD=BE

∴ AF=FD+AD=BE+AD

即AE=AD+BE

通過一題多解，可以加深學生對題目的形式、組成元素以及題目隱含的邏輯（因果）關系的認識，從而培養了學生數學洞察力和推理能力，更重要的是培養了學生的發散思維，有利于學生今后在解決數學問題時拓寬解題思路，提高解題的靈活性。

二、一題多問，培養學生的發散性思維

要培養學生的發散性思維，首先要改變學生固有的思維模式，從多角度進行思考，這也是學生思維的求異性。要訓練以及培養學生抽象思維能力，就要注重培養思維的求異性，讓學生從多個角度來分析問題，最終探索出一條簡便、新穎的解題思路。

案例2 上完八年級上冊“2.7探索勾股定理”內容后，我安排了從勾股定理到圖形面積關系的拓展，我們知道，勾股定理反映了直角三角形三條邊之間的關系：a2+b2=c2。而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c為邊長的正方形的面積，因此，勾股定理也可以表述為：分別以直角三角形兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積之和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積，如圖3，即S1+S2=S3。

如果以直角三角形的三條邊a，b，c為邊，向外分別作正三角形，那么是否存在S1+S2=S3呢？如圖4，引導學生根據正三角形的面積公式，得到

S3=[34c2]，S1=[34a2]，S2=[34b2]

∵ △ABC是直角三角形，

∴ a2+b2=c2

經過分析，發現以直角三角形的三條邊a，b，c為邊向外分別作正三角形，同樣能得到S1+S2=S3。

類似地，上述結果是否適合其他圖形呢？分別以直角三角形的三條邊a，b，c為邊向外分別作半圓，作等腰直角三角形，則S1+S2=S3依然成立嗎？再畫幾個類似的圖試一試。

通過上述這么多問題的探討，學生的思維得到了更好的拓展，分別以直角三角形ABC三邊為一邊向外作相似圖形，其面積分別用S1、S2、S3表示，則S1+S2=S3都成立 。

三、一題多變，培養學生的思維廣闊性

思維廣闊性是發散思維的一大特征，在初中幾何數學教學過程中，通常有一些學生對于知識一知半解，在解決問題時往往存在一定的片面性，要改變這種狹隘性思維，老師在課堂上應該對同一類型的題目進行引申和多解，讓學生分組討論，如此不但拓寬了學生解題思路，也使得他們的發散思維得到培養。

案例3? 已知，如圖5，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，F是CD中點，連BF交AC于點E，∠ABE+∠CEB=180°，判斷BD與CE的數量關系，并證明你的結論。

結論：BD=CE

證明? 延長BF至點G，使FG=BF，連CG，

∵ F為CD中點，? ∴ CF=DF

在△GFC和△BFD中，

FG=BF，∠GFC=∠DFB，CF=DF

∴ △GFC≌△BFD（SAS）

∴ ∠CGF=∠FBD，CG=DB

又∵ ∠ABE+∠CEB=180°，∠CEG+∠CEB=180°，

∴ ∠CGF=∠CEG

∴ CG=CE? ? ∴ BD=CE

變式? 已知，如圖6，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延長交BC的延長線于點E，EF=FD。求證：AD=CE。

證明? 作DG∥BC交AC于G，如圖所示，則

∠DGF=∠ECF，

在△DFG和△EFC中，

∠DGF=∠ECF，∠DFG=∠EFC，FD=EF，

∴ △DFG≌△EFC（AAS），

∴ GD=CE，

∵ △ABC是等邊三角形，

∴ ∠A=∠B=∠ACB=60°，

∵ DG∥BC，

∴ ∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∴ ∠A=∠ADG=∠AGD，

∴ △ADG是等邊三角形，

∴ AD=GD

∴ AD=CE

這兩個題目從本質上看，是比較相似的，然而單獨拿出來給學生做的時候，學生卻不知道該如何下手，所以在教學中將這個題目安排在一起，通過變式的形式讓學生尋找它們的本質，從而讓學生的數學思維得到更好的發展。