看三角函數(shù)如何“變”

雷凌凌

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)之一，對(duì)于求值、化簡和證明的過程中，往往有角的差異、三角函數(shù)形式的差異等，因此我們要對(duì)三角函數(shù)中的“變”要有所掌握，才能對(duì)三角函數(shù)知識(shí)融會(huì)貫通。

一、“變角”的方法

“變角”的方法是需要找出“已知角”和“目標(biāo)角”的關(guān)系，通過“已知角”來表示“目標(biāo)角”，通過對(duì)角進(jìn)行“拆、配、湊”等進(jìn)行操作，則可以把“變角”迅速解決。

例1? 已知[cosα+β=513]，若[sinβ=35]，且[α]，[β]為銳角，求[sinα]的值。

解析? 由于[α]，[β]為銳角，

即[0<α<π2]，[0<β<π2]，則[0<α+β<π]

則[sinα+β>0]，[cosβ>0]，

由[cosα+β=513]得到，

[sinα+β=1-cos2α+β=1213]

又[sinβ=35]得到，[cosβ=1-sin2β=45]，所以，

[sinα]=[sinα+β-β]

=[sinα+βcosβ-cosα+βsinβ=][3365]

點(diǎn)評(píng) 通過觀察角的特點(diǎn)，然后再進(jìn)行變湊，尋找出已知角與目標(biāo)之間的關(guān)系，本題中是將角[α]“變角”為[α+β-β]即可求解。

二、“變名”的活用

對(duì)于“變名”的題型，常用的方法是切化弦，然后結(jié)合和角公式或倍角公式等解決。

例2? 求值：[tan700cos100（3tan200-1）]。

解析? 原式=[sin700cos700cos1003sin200cos200-1]

[=sin700cos1003sin200-cos200cos700cos200]

[=2cos10032sin200-12cos200sin200]

[=2cos100sin200-300sin200]

[=-2sin100cos100sin200][=-sin200sin200=-1]

點(diǎn)評(píng)? 本題中可先將原式中的切化弦，再把分子、分母進(jìn)行約分，并且運(yùn)用兩角和與差的正弦公式進(jìn)行變形，然后運(yùn)用二倍角公式化簡就可得到結(jié)論。

三、“變冪”的應(yīng)用

對(duì)于二倍角公式[cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α]，其變形公式即為降冪公式：

[sin2α=1-cos2α2]，[cos2α=1+cos2α2]

例3 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C，

[fB=4cosBsin2π4+B2+3cos2B-2cosB]，

若[fB=2]，求[∠B]的大小。

解析[fB=4cosB×1-cosπ2+B2+3cos2B-]

[2cosB=2cosB（1+sinB）+3cos2B-2cosB=2cosBsinB]

[+3cos2B=sin2B+3cos2B=2sin2B+π3]

因?yàn)閇fB=2]，則[2sin2B+π3=2]，

所以，[2B+π3=π2+2kπ]，[k∈z]，

由于[0

點(diǎn)評(píng)? 本題中的[sin2π4+B2]可降冪為[1-cosπ2+B2]，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式，倍角公式及兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可。

四、“變1”的通途

已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)式子的值時(shí)，往往要用到[sin2α+cos2α=1]的關(guān)系式解決問題，當(dāng)然要視問題靈活運(yùn)用。

例4? 已知銳角[α]滿足[tanα=3]。

求[sin2α+2sinαcosα-3cos2α]的值。

解析? 原式=[sin2α+2sinαcosα-3cos2α1]

[=sin2α+2sinαcosα-3cos2αsin2α+cos2α]

[=tan2α+2tanα-3tan2α+1]

=[32+2×3-332+1]

[=65]

點(diǎn)評(píng)? 本題中用了“變1”的方法，將問題轉(zhuǎn)化為[tanα]，再利用[tanα=sinαcosα]將各項(xiàng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于[tanα]的代數(shù)式，充分體現(xiàn)化歸思想，從而天塹變通途。

對(duì)于三角函數(shù)中“變”的方法，“變”的角度多種多樣，但殊途同歸，需要我們把握三角函數(shù)中的相關(guān)公式并靈活運(yùn)用之解決相關(guān)問題。