水平劃分視域下初中生幾何直觀能力的培養策略

摘? 要：在新課程標準下，隨著課程目標從知識本位轉向素養本位，明確數學課程要培養學生的核心素養.幾何直觀是初中數學核心素養之一，發展學生的幾何直觀能力有助于其更好地理解概念的本質及探索規律，將抽象的數學對象直觀化、顯性化.幾何直觀能力的培養有助于思維能力及創新能力的發展.文章基于幾何直觀能力的水平劃分，給出了相應的教學策略.

關鍵詞：初中數學；水平劃分；幾何直觀；培養策略

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）02-0035-03

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：王煥然（1996.1-），男，研究生，中學二級教師，從事初中數學教學研究.

基金項目：本文系福建省廈門市思明區教育科學“十四五”規劃 2022年度課題“初中生幾何直觀能力培養的策略研究”的階段性研究成果（課題編號：W2022Z0031）

在初中數學教學中，學生能力的培養離不開幾何直觀.幾何直觀能力不僅在“圖形與幾何”領域的學習中發揮著重要作用，而且也可以在“數與代數”領域借助圖象的直觀來研究函數的有關性質；在“統計與概率”領域可以借助統計圖的可視化來解決實際問題；在“綜合與實踐”領域也可以通過數學化抽象出幾何模型解決地理、經濟中的跨學科問題.

1 幾何直觀的內涵及其形成的載體

《義務教育數學課程標準（2022年版）》新增了“增加代數推理，加強幾何直觀”的要求［1］，由此可以看出幾何直觀的重要性.幾何直觀是由“幾何”和“直觀”兩部分組成，而“幾何”最早在古希臘時期實際所指的就是“土地”與“測量”［2］，顯然，幾何直觀與實際問題是息息相關、不可分割的.由此可見，培養學生幾何直觀能力，對于學生解決一些實際問題是有幫助的.反之，學生在實際問題的解決中也會進一步加深對幾何直觀的理解.

例如，在學習“數與代數”時，學生可以借助數軸的方向性直觀地理解正負數所代表的含義——具有相反意義的量；在學習“實數”時，學生可以利用數軸直觀證實2，π等非有理數是真實存在的；在學習“方程、方程組”時，可以借助畫圖讓學生直觀地感受二元一次方程中兩個變量之間的關系，兩個一次函數圖象的交點坐標就是其對應的二元一次方程組的唯一解；在學習“不等式（組）”時，學生可以利用數軸直觀地表示不等式（組）解集；在學習“函數”時，學生可以結合函數圖象研究函數的性質.在“形”中猜想，在“數”中證明，使函數的學習更加完備；在學習“統計與概率”時，數據收集、數據分類、數據整理與數據表達的有關內容主要借助統計圖直觀描述數據，使學生更加清晰地分析問題和解決問題；而在解決抽樣與數據分析、隨機現象發生的可能性、隨機事件的概率等問題時，可以利用散點圖、樹狀圖等直觀地分析可能性.由此，可以利用幾何圖形分析實際情境，解決數學問題，促進學生幾何直觀的形成與發展；在學習“綜合與實踐”時，在解決有關科學、技術、金融問題的過程中，可以建立相關的數學模型，通過對模型的分析得出相應的結論.

2 基于水平劃分幾何直觀培養策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對每個核心素養的表現作了精確的界定.分別對其從“內涵”和“表現”兩個方面作出描述.表現又分為關鍵能力、必備品格、價值觀念三個方面.學者喻平認為，對于關鍵能力表述可以把數學核心素養劃分為三級水平：知識理解（水平1）、知識遷移（水平2）、知識創新（水平3），得到了下表具體描述［3］.

基于以上劃分，結合教學實踐，可以提煉以下教學策略.

2.1 “看圖”索驥，明確組成要素

例1? 如圖1，四邊形OACB的四個頂點的坐標分別為（0，0），（0，6），（4，6），（4，0），對角線OC與AB交點D，則D的坐標為.

本題考查目標屬于知識理解（水平1）層面，主要考查學生能否抓住關鍵條件解決問題，即在解決問題時要從四邊形OACB的邊入手.通過調查發現，學生缺乏這種問題解決意識，對坐標的意義理解不足，無法把坐標之間的數量關系轉化為點之間位置關系.兩者之間的轉化，可以幫助學生在空間中更直觀地理解和刻畫點之間的相對位置.

在初中數學教學中，教師要注重培養學生系統性思維的習慣，引導學生能夠將問題和信息放入一個整體框架中進行思考，關注問題之間的相互關系和影響，能夠從整體和細節兩個層面來分析問題.對于圖形的初步認識，就是要先看到圖形的基本組成元素，即要判斷給定的圖形是平面圖形還是立體圖形，是直線形還是曲線形.若為直線形，有幾條邊，有幾個角.在教學中，教師要引導學生從整體和局部等不同角度去觀察圖形的特征、性質以及組成要素等，明確元素之間的位置關系、大小關系，用發現的眼光看圖形，加強學生的觀察能力和判斷能力的鍛煉.最后，根據圖形特征對圖形進行系統分類，有助于學生對圖形的認識和理解.

2.2 “畫圖”分析，建立數形關系

例2? 已知點P（b，12-b）在第一象限內，且到x軸與y軸的距離相等，點B在y軸正半軸上，連接BP，過點P作BP⊥AP交x軸正半軸于點A，則OA+OB=? ．

本題考查目標為知識遷移（水平2）層面，解決本題時需根據已知條件畫出符合要求的圖形，由“數”到“形”，根據已知條件求出點P的坐標，然后利用全等三角形性質進行線段的轉化與計算，最終求出OA+OB的長度.

畫圖是幾何直觀形成過程中必不可少的步驟之一. 在解決數學問題時，通過畫圖，可以有效提取題干中的數學信息，進而將文字信息加工成圖形信息，然后借助圖形處理、解決問題，這是培養學生幾何直觀的重要途徑.正確畫圖是學生薄弱技能，在初中數學教學中，教師要引導學生仔細閱讀題目，確保對已知條件中的相關信息有清晰的認識，然后根據已知條件繪制基本圖形，添加細節，要引導學生細致、準確地繪制每個要素.最后進行校驗和調整，把錯誤或不符合要求的地方，及時進行調整和修正，以確保繪制的圖形與描述相符.

例3? 已知△ABC內接于⊙O，AB=AC，∠ABC＝67.5°，弧BC的長為22π．點P是射線BC上的動點，BP=m（m≥2）．射線OP繞點O逆時針旋轉45°得到射線OD，如圖2所示．點Q是射線OD上的點，點Q與點O不重合，連接PQ，PQ=n．

（1）求⊙O的半徑；

（2）當n2=m2-2m+2時，在點P運動的過程中，點Q的位置會隨之變化，記Q1，Q2是其中任意兩個位置，探究直線Q1Q2與⊙O的位置關系．

本題主要考查知識遷移（水平2）層面，在問題（2）中探究點 Q 位置變化規律的思維過程有如下環節：①發現“垂徑結構”，從而得到等腰直角三角形△OEC 的邊、角信息；②基于對等式 n2=m2-2m+2 結構特征的觀察，變形為 n2=（m-1）2+1，再結合圖形中的線段數量，聯想勾股定理，找到Rt△OEP，從而發現 OP=n=PQ；③發現“一線三直角模型”，并得到模型的性質；④觀察與點Q有聯系的線段長度或角度，發現QF＝CF，從而發現點Q在定直線上.上述環節中，②④是探究過程的關鍵點，也是難點.同時也充分反映了“數”與“形”之間的聯系：觀察代數結構特征，解釋幾何關系.

2.3 “用圖”解題，運用圖形分離

例4? 探究活動

（1）知識回顧.如圖3，王芳把一塊三角形的玻璃打成三塊碎片，現要配出與原來一樣的玻璃，則應攜帶的玻璃碎片編號是? ．

（2）直觀感知.如圖4，李明把一塊四邊形的玻璃打成四塊碎片，現要配出與原來一樣的玻璃，則應攜帶的玻璃碎片編號是? ???．

（3）問題探究.在平面幾何里，能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形．類似的，我們把能夠完全重合的兩個四邊形叫全等四邊形．也就是說四條邊和四個角都分別相等的兩個四邊形全等．

已知：如圖5，在四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′中，AB=A′B′，BC=B′C′，CD=C′D′，DA=D′A′，∠ABC=∠A′B′C′．求證：四邊形ABCD與四邊形

A′B′C′D′是全等四邊形．

本題考查目標屬于知識創新（水平3）層面.首先，需深入了解實際情境，對問題的需求和限制要有清晰的認識；其次，分析圖形，建立數學模型，對于四邊形全等的問題，需利用類比思想方法將陌生問題轉化為熟悉的數學問題；最后，驗證和解釋結果，建立實際情境和數學模型之間的關系.

在圖形之間相互轉化的過程中，要通過分析已知條件，重新繪制幾何圖形，感受圖形由單一的幾何圖形到多個圖形形成的組合圖形的生成過程，從而發現復雜圖形中的基本圖形，進而找到組合圖形中單一圖形的性質與規律.

3 結束語

幾何直觀能力的培養對于學生的認知發展、問題解決和創新能力的培養都具有重要的意義.水平劃分為教師提供了一個新的模式，對學生的學業成就進行具體刻畫，也為單元作業設計、考試命題提供了可行性的方法.但是，在教學中要與具體教學內容建立聯系，引導學生通過“看圖”索驥、“畫圖”分析、“用圖”解題等具有可操作性過程體會幾何直觀.

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社， 2022.

［2］ 蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角［J］.課程·教材·教法，2013（5）：109-115.

［3］ 喻平.《義務教育數學課程標準（2022年版）》學業質量解讀及教學思考［J］.課程·教材·教法，2023（01）：123-130.

［責任編輯：李? 璟］