立足核心概念　明晰思維路徑　積淀核心素養

崔濤　朱向東

1 原題呈現

如圖，P為正方形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長交AB于點E，過點P作MN⊥DE分別交BC，AD于M，N.

（1）如圖1，求證：MN=DE.

（2）如圖2，點F與點C關于直線DE對稱，連接FA并延長交直線DE于點G，連接BG.

①設∠ADE的度數為x，求∠DGF的度數；

②猜想AF與BG之間的數量關系，并證明.

2 解題思路分析

核心概念，居于學科知識的中心地位，具有廣泛的適用性和解釋力.在認知結構中，核心概念表現出網絡狀、持久性和可遷移等特點.對核心概念的深度理解，能夠幫助學生把握知識本質，形成學科觀念；推動知識關聯的高效形成，發展應用能力；生長和優化認知結構，培養核心素養.

對于第（2）大問的第②小問，筆者立足核心概念，深挖概念背后的本質屬性，明晰思維路徑，聯通知識網絡.利用幾何直觀，圖形化核心概念的內涵，給出如下解題方案：

第一種方案是以“軸對稱”為問題分析的起點，構造基本圖.利用圖形關系，與正方形的相關性質形成關聯.通過三角形相似或三角函數，落腳于線段的比，實現目標線段數量關系的求解.

第二種方案是立足“等腰三角形”，結合先驗知識，添加常用輔助線.聚焦圖形變化，與正方形的相關性質形成關聯.通過幾何直觀，進一步擬定解題策略.通過三角形相似或三角函數，求得目標線段的數量關系.

3 解題方案實施

結合上面的兩種方案，有如下6種具體思路和解法.

思路1：聚焦軸對稱，構造基本圖.通過幾何直觀，猜想并證明△CAF與△CBG相似.借助相似比，求得目標線段之間的數量關系.

思路2：以軸對稱為起點，基本圖為根本.通過構造和證明△CBH與△ABG全等，得到與線段AG等長的線段CH.最后，通過線段和差與等腰直角三角形BGH的相關性質，求得目標線段之間的數量關系.

4 反思

通過思維路徑的明晰和解題方案的實施，不難發現，核心概念作為問題分析的起點、知識融合的關聯點、素養提升的落腳點，貫穿解題活動的始終.核心概念背后潛藏的知識、方法和思想，反映出學科的主要觀點和思維方式，搭建成學科骨架，內化為認知結構的主干.為了加深數學理解、追求數學本質、發展關鍵能力、養成必備品格，筆者立足“三會”，從核心概念的視角，對積淀核心素養的方法進行了如下幾點思考：

4.1 豐富核心概念的圖形化內涵，發展幾何直觀

在我國現代漢語詞典中，對“直觀”的解釋是：用感官直接接受，直接觀察.國內學者和教育家則認為：直觀是直接從感覺和具體背后，發現抽象的實質.新課標對幾何直觀的定義為：運用圖表描述和分析問題的意識和習慣.在教學和解題活動中，將核心概念的內涵圖形化，有利于發現思維起點，洞察知識關聯點，把握問題本質，培養數學眼光.

4.2 厘清核心概念潛藏的內在關聯，提升推理能力

對核心概念的學習，應該更側重于概念背后的知識、方法和思想，側重于思維方式的建立和意識、觀念的形成.在教學和解題活動中，應注重對學生循循善誘，啟發引導.在探求概念實質的過程中，積累推理經驗，體悟數學思想.在對問題的發現、提出、猜想與證明的過程中，深化邏輯思維，提升推理能力.養成講道理、有條理的學科思維品質.

4.3 感悟核心概念的統攝性和解釋力，凝練數學表達

思維的統攝性，是指在思考和處理復雜的系統性事物時，能夠統籌兼顧各個部分，進行優化操作，使繁雜而浩大的思維工程有條不紊地進行.

核心概念在學科知識中的統攝性，體現在其對學科知識的包容性、關聯性，以及普遍存在性和廣泛遷移性.核心概念統攝學科知識的學習，學科思維的發展，學科觀念的形成.在教學和解題活動中，應引領學生發揮好核心概念的普遍解釋力，凝練好數學語言，多途徑、分層次地對數學觀點進行精準表達.滲透用數學語言表達現實世界的意識，發展用數學語言表達現實世界的能力.