GeoGebra軟件與高中數學教學融合的探索

劉健康

摘要：本文利用數學GGB軟件，探究高中數學圓錐曲線的定點問題教學，通過動態圖形激發學生興趣，拓廣思路，避免畏難情緒，減少復雜運算，有效提高教學質量與效率.

關鍵詞：GGB軟件；圓錐曲線；數學教學

GeoGebra（以下簡稱GGB）是一款集代數運算和幾何畫圖于一體的動態教學軟件，以其動態化、過程化的圖象演示，可以展現知識的形成過程，利于學生觀察圖象，發現問題，總結規律，充分調動學生學習的積極性.

高中數學新教材對圓錐曲線教學的要求比較高，內容豐富，綜合性比較強，對學生的運算能力有一定的要求.教師在圓錐曲線的教學過程中缺乏對學生學習圓錐曲線的積極性的調動；創設的教學情境比較單一；教師在教學中容易忽視幾何探索，忽視新教材中的“信息技術運用”等數學活動，教學效果不好，學生感覺圓錐曲線難學.本文以《圓錐曲線的定點問題》為例，對GeoGebra軟件與高中數學教學融合進行探討.

1教學過程

問題1：

兩條直線y=kx和y=－kx分別與拋物線y2=2px（p>0）相交于不同于原點的A，B兩點，k為何值時，直線AB經過拋物線的焦點？

生1：把直線y=kx與拋物線y2=2px（p>0）聯立，求A點坐標，B點坐標，再求直線AB的方程.

教師引入GGB操作：（1）利用GGB做出拋物線y2=2px（p>0）和兩條直線y=kx和y=－kx的圖象.（2）形成k和p兩個滑動條，確定交點A，B兩點.（3）用直線工具做出直線AB，明確焦點.（4）分別拖動k和p兩個滑動條.

師：請問大家，通過GGB的演示，能發現那些情況？

生2：通過觀察，A，B兩點橫坐標相等.所以只要計算點A的橫坐標.

生3：要讓直線AB經過拋物線的焦點，由對稱性，只要點A的橫坐標等于焦點的橫坐標.

生4：k=±2時直線AB經過拋物線的焦點，k>2或k<－2，直線AB與x軸的交點在拋物線焦點與原點之間，－2

生5：改變p時，不影響上述結論.

師：大家觀察很仔細，總結很到位.

點評：用信息技術把知識的難點和重點向學生呈現出來，使學生有更多機會和時間去完成各種探索和實踐活動，有利于培養學生直觀想象和邏輯推理能力.

問題2：動點P（x0，y0）在直線2x－y+6=0上，由點P引拋物線y2=2x的兩條切線，切點分別為M，N，證明直線MN恒過定點.

師生活動：學生思考問題，教師實時提問：如何證明直線過定點？

學生回答：兩個切點情況不清楚，容易失去解題方向，還怕運算復雜.

教師引入GGB操作：如圖1，（1）做出拋物線y2=2x，直線2x－y+6=0;

（2）在直線取點P，利用GGB切線工具做出兩條切線，切點分別為M，N;

（3）作直線MN，拉動點P，新的位置作直線M′N′，設兩次直線的交點為C;

（4）再拉動點P，注意觀察，多次變動，直線始終經過點C.

經上述實驗證明：直線MN恒過定點.

解：因為2x0－y0+6=0，由切點弦方程得直線MN方程：y0y=x+x0，消去y0得（2y－1）x0+6y－x=0，由于x0的任意性，有2y－1=0，∴定點為（3，?1/?2?）.

教師：通過此題，除了學習切點弦方程，我們還可以推出一般結論：

推論：動點P（x0，y0）在直線Ax+By+C=0上，由點P引拋物線y2=2px的兩條切線，切點分別為M，N，則直線MN恒過定點（ C?A?，－?pB?A?）.

學生6：此結論可以推廣到橢圓和雙曲線嗎？

師：當然可以，大家可以課后探索證明.

點評：學習最怕的是失去興趣，解析幾何歷來就是學生不愿意多接觸的，利用GGB可以激發學生思維，體驗到定點的存在，從而產生對切點弦方程學習的迫切性，從而提高學生的運算能力.

問題3：（2022年高考全國乙卷數學（理）第20題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，－2），B（ 3?/2?，－1）兩點.

（1）求E的方程；

（2）設過點P（1，－2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT〖TX→〗=TH〖TX→〗.證明：直線HN過定點.

第（1）問橢圓E的方程為：?y2?4?+?x2?3?=1.

師生活動：學生閱讀題意，動手畫圖，反饋此圖形比較復雜，相關點多，解題困難.

教師引入GGB操作：

如圖2：（1）用GGB畫出橢圓，描出點P，A，B三點，

（2）利用直線工具，過點P作直線交橢圓于M，N兩點，

（3）過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，連接MT并延長兩倍到H，

（4）拖到N點的位置，觀察動態直線.

教師：點P作的動態直線有哪些情形？

生7：由圖3，有4種情形：（1）直線一般情形，（2）直線斜率為0，（3）直線斜率不存在，（4）直線過原點.

教師：通過這幾種情形，可以看出直線HN過哪個定點？生齊答：過點A.

教師：非常好！先把斜率不存在的情形說明驗證好，可以得分.對一般情形我們如何處理？

生8：把直線和橢圓聯立方程組，利用韋達定理，表示點T和點H的坐標，最后表示直線HN的方程，計算很繁瑣.

教師：既然我們已經知道直線恒過點A，是否可以想辦法減少運算，優化解答過程？

生9：不用求直線HN的方程，只要證明AN和AH的斜率相等就好.

教師：很好！如果大家細心的話，會發現PA，PB都是橢圓的切線，繼續探索，可得下面推論：

推論：過橢圓Ax2+By2=1外一點P（x0，y0）得任一直線與橢圓的兩個交點為C，D，與橢圓切點弦的交點為Q，則?1?|PC|?+?1?|PD|?=?2?|PQ|?成立，反之亦然.

生10：估計把橢圓改成雙曲線和拋物線，也會成立，圓錐曲線真的有很多神奇.

教師：我們還可以猜想直線TN是否定點.

點評：利用GGB作出的動態課件就可以直觀生動地將動態直線展現在課堂上，方便學生的學習，這是傳統課堂做不到的，就是可以利用GGB將三大圓錐曲線統一起來.有利于提高課堂教學質量和效率.

2教學反思

課堂教學中，并不是把題目解出來，求得運算結果就大功告成，對于這類圓錐曲線過定點問題，要通過以下提問去幫助學生總結：

（1）如何刻畫直線過定點？

（2）如何通過數學GGB作圖，觀察圖象的對稱性，特殊位置如直線的水平位置，垂直位置，斜率等于0或斜率不存在.采用先猜后證的策略？

（3）如何引進參數，研究變化的量與參數沒關系，如何從特殊到一般，探索出定點，再證明？

現階段部分學生對圓錐曲線的學習存在偏差，過于強調圓錐曲線幾何問題代數化，沒有充分進行幾何研究，而且學生的運算能力有欠缺，造成學習圓錐曲線積極性不高.課堂中圓錐曲線的教學主要停留在教師根據題意分析思路，例題示范，然后變式訓練，其實這種做法沒有從根本上解決問題，學生興趣不大，計算淺嘗輒止，最后一事無成.很多教輔資料也主要是進行圓錐曲線的代數解法歸納，提出齊次化思想，設而不求或者定比分點思想等等，這些都沒有抓住圓錐曲線的本質！圓錐曲線首先就是個幾何圖象，沒有把所有的幾何特征摸清楚，問題解決就肯定困難.因此我們教學的重點應該擺在幾何的直觀展示，運用平面幾何知識，結合信息技術，創設問題情境，調動學生積極性，培養學生直觀想象能力，才能有助于坐標法的開展.

但是大部分數學教師GGB軟件功底不高，使用熟練度不好，而且用GGB做課件很耗時，平時教學任務比較重，關鍵用GGB輔助教學不能做到恰到好處，導致使用GGB教學不能展開.隨著時代的進步，伴隨著人教版新教材的多處對GGB的需求，會有越來越多的教師提高技術水平，對圓錐曲線的教學研究會越來越多，教學手段會越來越豐富.

基金項目：廣州市教育科學規劃課題（教育科研協作基地項目）《信息技術與學科教學深度融合的實踐研究》（課題編號：202213858）.