“變與不變”的思想方法在小學數學中的滲透

黃國建

摘要：數學思想方法是基于具體數學內容，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法.數學思想方法從數學知識產生發展的過程抽象而成，又更具效率地指導數學的學習與研究，并促成個體思維品質的提升，對人生的成長與發展都具有重要意義.數學思想方法應及早滲透于小學生的數學學習過程中，在具體數學知識點的學習中，凝練重要的數學思想方法，化隱為顯，讓學生去感悟，以提升學生的數學素養.本文以“變與不變”這一思想方法為例，在比例法、奇偶分析、列方程解題等知識方法學習中，去感悟與運用這一數學思想方法，提升解題能力與思維品質.

關鍵詞：數學思想方法；變與不變

大千世界在不斷地變化發展，既有量的變化，也有質的變化.“萬變不離其宗”，在紛亂多樣的變化中，往往隱藏著不變的性質或規律，這是辯證法的要義.我們對未知世界的探求，就是要在紛繁多變的現實中，抽象出不變的客觀規律.

哲學一般原理，可以用來指導分析數學問題.正確地找出問題中變化的量和不變的量，是分析問題的關鍵；尤其是能抓住不變量，往往就看透了問題的數學本質.

下面以“比例法”“奇偶分析”和“列方程解題”為例來闡述“變與不變”的數學思想在小學數學解題中的作用.

1比例法

數學中常見兩個量的乘積等于第三個量的數量關系式，即a×b=c.若其中有一個量不變，則另兩個量成正比或反比.比如：

（1）在行程問題中，如果行駛時間相同，則路程之比等于速度之比；如果路程相同，則速度與行駛時間成反比，即速度之比等于行駛時間的反比；如果速度不變，顯然路程與時間成正比.

（2）在面積問題中，比如三角形的面積，如果高相同，三角形面積之比等于底邊之比；如果底邊相同，則三角形面積之比等于高之比；如果三角形面積相同，則底邊與高成反比.

（3）在經濟問題中，如果總價不變，購買數量與單價成反比；如果單價一定，總價跟購買數量成正比；如果購買數量相同，總價跟單價成正比.

進一步，比例法實則倍數關系，將整數倍拓展到非整數倍.所以如果容易知道某兩個量的比例關系，則找其和或差，然后按比例分配，就可以解出這兩個量，相當于轉化為倍數問題.

例11000米賽跑，已知甲到達終點時，乙離終點還有50米；當乙到達終點時，丙離終點還剩100米.假設三個人都是勻速跑步，那么甲到達終點時，丙離終點多少米？

分析與解：設當甲到達終點時，丙離終點還剩x千米.因為三個人都是勻速，所以乙和丙的速度比是不變的.考察第一個時間點，當甲到達終點時，此時丙和乙跑步時間相同，故他倆的速度比等于路程比，為?（?1000－x?）/（1000－50?）?.再考察第二個時間點，當乙到達終點時，此時丙和乙跑步時間還是相同的，他倆的速度之比也等于路程之比，為?（1000－100）?/1000.

所以，（?1000－x?）/（1000－50?）=?（1000－100）?/1000?，解得x=145千米.

2奇偶分析

整數按奇數和偶數劃分，只有兩類，且奇偶運算性質簡單.所以，有些問題，雖然變化多端，數值一直在變化；但是，若從奇偶角度分析，則提供了一個抓住“不變量”的辦法.

推而廣之，從“余數”這個角度，也是一個抓住“不變量”的方法，能有效地解決周期問題.

例2某海島上上生活著45條變色龍，其中用13條灰色的，15條綠色的和17條紫色的.每當兩條顏色不同的變色龍相遇時，他們就一起變成了第三種顏色.能否經過一段時間，45條變色龍全部變成同一種顏色？

分析與解：用x表示灰色變色龍的條數，用y表示綠色變色龍的條數，用z表示紫色變色龍的條數.

在一次變色后，三種顏色的條數（x，y，z）會變成（x－1，y－1，z+2），或變成（x－1，y+2，z－1），或變成（x+2，y－1，z－1）.不管怎么變，我們發現，灰色和綠色變色龍的條數之差的變化只能是0、3或－3，也就是說，該差除以3的余數恒為0，這是一個重要的不變量.

在題目中，一開始灰色與綠色條數之差為13－15=－2，如果最后全部變成同一種顏色，則必有x－y≡0（mod3）.矛盾，故不可能.

3列方程解題

方程是含有未知數的等式，建立方程需要尋找等量關系，而尋找等量關系的一個重要方法就是尋找不變的量.

例3學生問老師多少歲，老師說：“當我像你這么大時，你剛3歲；當你像我這么大時，我已經39歲了.”你能知道老師今年多大嗎？

分析與解：老師的話中，兩人的年齡都在變化，但有一個是不變的，那就是兩人的年齡差.可以根據這個不變量來建立方程.

設老師今年x歲.“當我像你這么大時，你剛3歲”說明老師和學生的年齡差可以表示為??（x－3）/?2歲；“當你像我這么大時，我已經39歲了”說明老師和學生的年齡差可以表示為（39－x）歲.如此，建立方程?（x－3）/?2?=39－x，求解得x=27歲.

變與不變的思想方法，是在變化中發現不變的，體現的是數學抽象素養，能在復雜多變的問題中，抓住不變的本質.在平時課堂教學中，善于以一些具體的知識點為載體，滲透數學思想方法，對于提升學生思維品質和解題能力是大有裨益的.比方在整數的認識中，無論一個整數有多大，本質上都是利用十進制位值原理，把0～9十個數字放在不同數位上，來表示不同的數值.更進一步，小數的表示也是整數十進制位值原理的擴展.在平時的教學中，適時點撥，將內隱的數學思想方法外顯，讓學生感悟這樣的數學思想方法，學生不僅學習了知識與技能，還掌握了其中的一般思維方法.

參考文獻：

［1］王永春.小學數學與數學思想方法［M］.上海：華東師范大學出版社，2014：30-33.