“變與不變”的思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

黃國(guó)建

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是基于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法.數(shù)學(xué)思想方法從數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的過程抽象而成，又更具效率地指導(dǎo)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究，并促成個(gè)體思維品質(zhì)的提升，對(duì)人生的成長(zhǎng)與發(fā)展都具有重要意義.數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)及早滲透于小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，在具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，凝練重要的數(shù)學(xué)思想方法，化隱為顯，讓學(xué)生去感悟，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文以“變與不變”這一思想方法為例，在比例法、奇偶分析、列方程解題等知識(shí)方法學(xué)習(xí)中，去感悟與運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法，提升解題能力與思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；變與不變

大千世界在不斷地變化發(fā)展，既有量的變化，也有質(zhì)的變化.“萬變不離其宗”，在紛亂多樣的變化中，往往隱藏著不變的性質(zhì)或規(guī)律，這是辯證法的要義.我們對(duì)未知世界的探求，就是要在紛繁多變的現(xiàn)實(shí)中，抽象出不變的客觀規(guī)律.

哲學(xué)一般原理，可以用來指導(dǎo)分析數(shù)學(xué)問題.正確地找出問題中變化的量和不變的量，是分析問題的關(guān)鍵；尤其是能抓住不變量，往往就看透了問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

下面以“比例法”“奇偶分析”和“列方程解題”為例來闡述“變與不變”的數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的作用.

1比例法

數(shù)學(xué)中常見兩個(gè)量的乘積等于第三個(gè)量的數(shù)量關(guān)系式，即a×b=c.若其中有一個(gè)量不變，則另兩個(gè)量成正比或反比.比如：

（1）在行程問題中，如果行駛時(shí)間相同，則路程之比等于速度之比；如果路程相同，則速度與行駛時(shí)間成反比，即速度之比等于行駛時(shí)間的反比；如果速度不變，顯然路程與時(shí)間成正比.

（2）在面積問題中，比如三角形的面積，如果高相同，三角形面積之比等于底邊之比；如果底邊相同，則三角形面積之比等于高之比；如果三角形面積相同，則底邊與高成反比.

（3）在經(jīng)濟(jì)問題中，如果總價(jià)不變，購(gòu)買數(shù)量與單價(jià)成反比；如果單價(jià)一定，總價(jià)跟購(gòu)買數(shù)量成正比；如果購(gòu)買數(shù)量相同，總價(jià)跟單價(jià)成正比.

進(jìn)一步，比例法實(shí)則倍數(shù)關(guān)系，將整數(shù)倍拓展到非整數(shù)倍.所以如果容易知道某兩個(gè)量的比例關(guān)系，則找其和或差，然后按比例分配，就可以解出這兩個(gè)量，相當(dāng)于轉(zhuǎn)化為倍數(shù)問題.

例11000米賽跑，已知甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙離終點(diǎn)還有50米；當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)還剩100米.假設(shè)三個(gè)人都是勻速跑步，那么甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)多少米？

分析與解：設(shè)當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)還剩x千米.因?yàn)槿齻€(gè)人都是勻速，所以乙和丙的速度比是不變的.考察第一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，此時(shí)丙和乙跑步時(shí)間相同，故他倆的速度比等于路程比，為?（?1000－x?）/（1000－50?）?.再考察第二個(gè)時(shí)間點(diǎn)，當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，此時(shí)丙和乙跑步時(shí)間還是相同的，他倆的速度之比也等于路程之比，為?（1000－100）?/1000.

所以，（?1000－x?）/（1000－50?）=?（1000－100）?/1000?，解得x=145千米.

2奇偶分析

整數(shù)按奇數(shù)和偶數(shù)劃分，只有兩類，且奇偶運(yùn)算性質(zhì)簡(jiǎn)單.所以，有些問題，雖然變化多端，數(shù)值一直在變化；但是，若從奇偶角度分析，則提供了一個(gè)抓住“不變量”的辦法.

推而廣之，從“余數(shù)”這個(gè)角度，也是一個(gè)抓住“不變量”的方法，能有效地解決周期問題.

例2某海島上上生活著45條變色龍，其中用13條灰色的，15條綠色的和17條紫色的.每當(dāng)兩條顏色不同的變色龍相遇時(shí)，他們就一起變成了第三種顏色.能否經(jīng)過一段時(shí)間，45條變色龍全部變成同一種顏色？

分析與解：用x表示灰色變色龍的條數(shù)，用y表示綠色變色龍的條數(shù)，用z表示紫色變色龍的條數(shù).

在一次變色后，三種顏色的條數(shù)（x，y，z）會(huì)變成（x－1，y－1，z+2），或變成（x－1，y+2，z－1），或變成（x+2，y－1，z－1）.不管怎么變，我們發(fā)現(xiàn)，灰色和綠色變色龍的條數(shù)之差的變化只能是0、3或－3，也就是說，該差除以3的余數(shù)恒為0，這是一個(gè)重要的不變量.

在題目中，一開始灰色與綠色條數(shù)之差為13－15=－2，如果最后全部變成同一種顏色，則必有x－y≡0（mod3）.矛盾，故不可能.

3列方程解題

方程是含有未知數(shù)的等式，建立方程需要尋找等量關(guān)系，而尋找等量關(guān)系的一個(gè)重要方法就是尋找不變的量.

例3學(xué)生問老師多少歲，老師說：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你剛3歲；當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)39歲了.”你能知道老師今年多大嗎？

分析與解：老師的話中，兩人的年齡都在變化，但有一個(gè)是不變的，那就是兩人的年齡差.可以根據(jù)這個(gè)不變量來建立方程.

設(shè)老師今年x歲.“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你剛3歲”說明老師和學(xué)生的年齡差可以表示為??（x－3）/?2歲；“當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)39歲了”說明老師和學(xué)生的年齡差可以表示為（39－x）歲.如此，建立方程?（x－3）/?2?=39－x，求解得x=27歲.

變與不變的思想方法，是在變化中發(fā)現(xiàn)不變的，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，能在復(fù)雜多變的問題中，抓住不變的本質(zhì).在平時(shí)課堂教學(xué)中，善于以一些具體的知識(shí)點(diǎn)為載體，滲透數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于提升學(xué)生思維品質(zhì)和解題能力是大有裨益的.比方在整數(shù)的認(rèn)識(shí)中，無論一個(gè)整數(shù)有多大，本質(zhì)上都是利用十進(jìn)制位值原理，把0～9十個(gè)數(shù)字放在不同數(shù)位上，來表示不同的數(shù)值.更進(jìn)一步，小數(shù)的表示也是整數(shù)十進(jìn)制位值原理的擴(kuò)展.在平時(shí)的教學(xué)中，適時(shí)點(diǎn)撥，將內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想方法外顯，讓學(xué)生感悟這樣的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了知識(shí)與技能，還掌握了其中的一般思維方法.

參考文獻(xiàn)：

［1］王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014：30-33.