基于系統思維的數學教學問題設計

白軍鵬

摘? 要：基于系統思維，遵循“單元核心問題—課時主問題—序列子問題”進行問題設計，引導學生在把握單元整體結構和課時認知結構的基礎上，建立研究的思維路徑. 以“函數的單調性”為例，結合“學什么、為什么學、怎么學、學了什么、還能學什么”對“序列子問題”的設計進行說明.

關鍵詞：系統思維；單調性；問題設計

系統思維是把認識對象作為一個完整的系統，分析系統和要素、要素和要素、系統和環境之間的相互聯系及相互作用，綜合考查認識對象的一種思維方法. 系統思維關注從整體上認識事物，由宏觀到微觀，有助于學生建立邏輯連貫的認知體系；系統思維關注事物之間的聯系，通過系統內外各要素之間的多元整合，以及對同一事物多維度、多參照、多角度的多元透視，豐富對認識對象的理解；系統思維始終致力于系統中人的發展，這恰與教育的目標一致.

如何在教學中更好地培養學生的系統思維呢？筆者認為，可以從問題的設計切入，即站在系統的高度，結合知識發展邏輯和學生認知規律，遵循“單元核心問題—課時主問題—序列子問題”這一順序設計一系列邏輯連貫、內在關聯、不同層次的問題，以知識學習為載體，以問題解決為線索，引導學生從整體到局部，多層次、多角度，有序靈活地認識研究對象，從而形成穩定的、動態發展的良好認知結構，學會思考，學會學習.

下面以滬教版《普通高中教科書·數學》必修第一冊“函數的概念、性質及應用”這一單元中“函數的單調性”一課的教學為例進行說明.

一、基于單元知識整體視角，設計單元核心問題，引導學生把握單元整體結構

對數學中新對象的研究，一般需要經歷“背景—概念—性質—結構（聯系）—價值（應用）”的過程，具體解釋如下.

（1）明確研究對象. 從現實情境、科學情境或數學情境中發現研究對象，抽象該對象的本質屬性，形成概念.

（2）獲得對象的性質. 分析構成該對象的基本要素及相關要素，探究這些要素之間的關系，獲得性質.

（3）形成對象的結構. 通過與單元內部及外部、學科內部及外部相關知識的聯系，形成研究對象的認知結構.

（4）認識對象的價值. 在學習和應用的過程中，不斷認識對象的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

基于這一研究的“一般套路”，可以從整體的角度設計某一單元的核心問題. 例如，對于“函數的概念、性質及應用”這一單元，可以設計以下問題：什么是函數？函數有哪些基本性質？函數與哪些知識有密切的聯系？函數的價值體現在哪些方面？

對于每個單元，都可以引導學生類似地去分析研究對象. 這樣的教學，一方面，有利于學生把握單元內容的整體結構；另一方面，有助于學生掌握研究新對象的思路和線索，提高自主研究新對象的能力.

二、遵循課時知識學習邏輯，設計課時主問題，引導學生形成課時認知結構

在整體把握單元結構的同時，針對某一課時內容，可以結合該內容“從何而來、是何內容、為何如此、有何關聯、有何用處、是何結構、還有什么”這一微觀結構，從學生的知識起點和已有經驗出發，圍繞“學什么、為什么學、怎么學、學了什么、還能學什么”設計課時主問題. 當然，相關問題的呈現順序可以依據研究對象靈活調整.

對于“函數的單調性”這一課的教學內容，由于單調性是函數的基本性質之一，因此結合單元主問題，確定核心問題是：如何研究函數的單調性？

從知識起點來看，學生在初中階段已經對單調性有了充分的感性認識，再經過高中階段對“冪函數、指數函數與對數函數”一章內容的學習，學生對于嚴格增函數、嚴格減函數、單調性等概念及證明過程也有了初步的了解. 因此，本節課并不是全新的內容，可以通過問題引起學生的認知沖突，體現研究的必要性.

從認知經驗來看，在對函數奇偶性的研究中，按照從特殊到一般、從直觀到抽象的思路，學生已經完整經歷了從幾何直觀到自然語言描述再到符號表征的概念形成過程. 在此基礎上，學生又從一般到特殊、從抽象到具體地學習了具體函數奇偶性的判斷與證明方法. 學生研究函數奇偶性的思路、方法及積累的經驗可以直接遷移到本節課的學習之中，從而解決本節課研究什么和怎么研究的問題. 如果進一步拓展思考，自然就產生了“還有哪些性質需要研究”這樣的問題.

基于以上分析，圍繞“函數的單調性”一課的具體內容，可以設計如下課時主問題.

（1）為什么要研究函數的單調性？

（2）函數的單調性要研究哪些內容？

（3）如何定義函數的單調性？

（4）如何理解函數的單調性？

（5）如何判斷函數的單調性？

（6）本節課學了什么？你還能提出哪些研究問題？

其中，問題（1）圍繞“為什么學”設計，問題（2）圍繞“學什么”設計，問題（3） ～ （5）圍繞“怎么學”設計，問題（6）圍繞“學了什么、還能學什么”設計. 6個主問題既相對獨立，又相互交融，貫穿了“發現問題—提出問題—分析問題—解決問題—評價問題—發現新問題”這一研究過程，有助于引導學生體會研究的路徑，形成系統、有序的認知結構.

三、關注思維結構的形成，設計序列子問題，引導學生建立具體研究的思維路徑

在單元核心問題的統攝下，圍繞課時主問題，教師可以從思維對象、思維過程、思維結果、思維監控等視角，預設關聯性強、開放程度高，有利于促進學生反思的序列子問題. 在教學過程中，隨機應變、因勢利導，引導學生明確思維對象、找準思維起點、把握思維方向、變換思維角度、體會思維方式、優化思維過程，積極、主動、有序、深入、靈活思考，不斷形成可操作的認識事物的方法路徑.

1. 關注不同內容的聯系，設計關聯性子問題，引導學生建立認知網絡

一個有生命力的系統，其各要素之間應該是“各得其位”又“相互聯通”的. 因此，設計子問題時，要有意識地建立課時內容與單元內、單元間甚至跨學科內容的聯結，努力實現不同內容之間的縱橫貫通.

教師可以從知識內容關聯、思想方法關聯、研究視角關聯等方面提出問題（如圖1）.

知識內容關聯：引導學生注重縱向、橫向的聯系與貫通，建立知識之間的關聯. 例如，對于函數的單調性，除了關注其與奇偶性、最值等函數其他性質的對比，還可以在后續的學習中不斷建立其與直線斜率、導數、單調數列等內容的關聯.

思想方法關聯：引導學生運用相同或類似的思想方法研究一類數學問題，體會思想方法關聯. 例如，運用特殊與一般、直觀與抽象、局部與整體等方法研究函數的性質等.

研究視角關聯：為學生提供研究某一類核心問題的基本視角或思考框架，關注研究的視角關聯. 例如，在研究函數的單調性時，可以圍繞“因變量隨自變量變化的過程中不變的規律即是函數的性質”這一基本視角，引導學生類比函數奇偶性的研究過程與方法展開探究.

長期堅持設計關聯性子問題，一方面，可以實現舊的不舊、新的不新、難的不難，讓學生學得更加輕松有效；另一方面，有助于學生站在系統的高度，形成動態發展的、不斷完善的認知結構.

2. 關注思維的有序與創新，設計開放性子問題，引導學生體會思維的一般方法

除了封閉性問題，還可以增加開放性問題的設計，從而提高思維的開放度. 教師可以設計條件開放、結論開放、解答思路和方法開放等不同形式的問題，但也要注意設計體現不同層次學生不同回答水平的問題，從而調動學生廣泛參與，引導學生進行多角度的創新思考（如圖2）.

關于開放性子問題，可以引導學生找準思維的起點、把握思維的方向、體會思維的角度，進行有邏輯地思考.

找準思維起點：可以從問題本身的信息、涉及的知識內容及思想方法等方面引導學生進行特征識別、多維聯想，學會有依據地思考.

把握思維方向：可以從正向與逆向（或側向）、肯定與否定、內部與外部等方面引導學生有條理地思考.

體會思維角度：可以從特殊與一般、分析與綜合、靜態與動態、局部與整體、有限與無限、定性與定量、數與形等方面引導學生體會認識事物的不同角度. 另外，還要注意設計與呈現思維結果有關的子問題，引導學生利用樹形圖、概念圖、思維導圖等不同形式構建認知結構圖.

通過設計不同類型的開放性子問題，引導學生在學會有序思考的前提下，將不同的思維方式進行靈活運用，逐步走向創新思考. 另外，難度較高的開放性子問題，往往需要小組合作才能完成，這也有利于豐富課堂的互動方式，進一步轉變學生的學習方式.

3. 關注思維的顯性化和即時監控，設計反思性子問題，引導學生不斷優化思維

在設計子問題時，還要特別關注對思維的監控，可以從知識技能、思想方法、思維過程、交流互動等角度設計反思性問題，在促進學生思維顯性化與結構化的同時，引導其不斷優化思維（如圖3）.

以下列出了各個角度可能提出的一些問題.

知識技能角度：研究了什么？為什么研究？得到了什么結論？還有什么可以研究？

思想方法角度：研究過程體現了哪些思想方法？這些思想方法是怎樣體現的？這些思想方法還有哪些內容體現過？

思維過程角度：該問題怎么研究？還可以怎么研究？你是怎么想的？你遇到了什么困難？如何想到？還可以怎么想？怎么想更好？這些想法之間有沒有內在的聯系？由此你還能想到什么問題？

交流互動角度：剛才的同學回答得怎么樣？他的回答給了你一些什么啟發？你有哪些體會？你還有什么疑惑？你會給他一些什么建議？

對于反思性子問題，通過學生自評、同伴互評、教師點評等方式開展教學，有利于實現思維過程看得見、相關結論說得清、相互關系理得順、思想方法悟得透、實踐應用用得好的目標.

四、“函數的單調性”子問題設計案例

下面結合“函數的單調性”的6個課時主問題，談一談每個主問題對應的子問題設計.

主問題1：為什么要研究函數的單調性？

預設子問題如下.

子問題1：圖4表示的是某地某天24小時溫度變化情況．這一天溫度的變化有什么特點？

子問題2：在前面的學習中，我們已經研究了哪些函數？說一說這些函數在給定區間上的單調性.

子問題3：圖5是函數[y=x+2x]在[0，+∞]上的圖象，它在哪個區間上是增函數？在哪個區間上是減函數？

【設計意圖】子問題1和子問題2分別結合現實情境和數學情境進行設計，讓學生體會研究對象“從何而來”，找準思維的起點；子問題3可以引發學生的認知沖突，讓其發現進一步定量刻畫函數單調性的必要性，體會“為什么學”.

主問題2：函數的單調性要研究哪些內容？

預設子問題如下.

子問題1：關于函數的奇偶性，我們研究了哪些內容？

子問題2：對于函數的單調性，要研究哪些內容？

【設計意圖】首先回顧函數奇偶性的研究內容，然后引導學生類比遷移，從宏觀上把握函數單調性的研究內容，即“定義—判斷—應用”，明確研究思路.

主問題3：如何定義函數的單調性？

預設子問題如下.

子問題1：我們是如何定義函數奇偶性的？

子問題2：我們是如何證明冪函數、指數函數、對數函數在給定區間上的單調性的？

子問題3：如何用符號語言刻畫“函數[fx=x2]在[0，+∞]上是嚴格增函數”？

子問題4：一般地，對于函數[y=fx，] 其在區間[I]上是嚴格增函數應該如何定義？

【設計意圖】子問題1通過回顧函數奇偶性定義的形成過程，引導學生將研究方法進行遷移，從宏觀上把握函數單調性定義的形成過程；子問題2結合學生已有經驗設計，讓學生回顧已經學過的具體函數單調性的證明過程，為用符號語言刻畫一般函數的單調性作好鋪墊；子問題3讓學生參照已有經驗，嘗試用符號語言刻畫具體函數的單調性，是形成一般定義的過渡；子問題4在前面問題的基礎上，讓學生進一步抽象概括，形成一般的定義. 整個過程通過遷移函數奇偶性的研究過程，引導學生再次體會從直觀到抽象，從特殊到一般的思想，經歷從感性具體到理性具體再到理性一般的過程，形成定義.

主問題4：如何理解函數的單調性？

預設子問題如下.

子問題1：如何理解函數的單調性？

子問題2：對于定義中的符號語言，還可以如何表述？

子問題3：結合函數單調性的定義，還能得到哪些結論？

子問題4：比較函數的單調性和奇偶性的定義，你有什么發現？

【設計意圖】子問題1讓學生談一談對函數單調性的理解；子問題2和子問題3引導學生按照“什么是—什么也是—什么不是”這一線索加深對函數單調性的理解；子問題4在與函數奇偶性的比較中將單調性納入學生已有認知系統. 首先，讓學生利用文字、圖形、符號三種語言進行多元靜態表征，然后引導學生對符號語言進行等價變形. 例如，可以將“若[x10；] 也可以從變量形式的變化入手，引導學生分析形如“[fx<][fx+1]”這一錯誤形式，并列舉反例說明其錯誤的原因，體會其否定形式，進而得到正確形式“[fx

主問題5：如何判斷函數的單調性？

預設子問題如下.

子問題1：函數[fx=1x]的單調區間是什么？如何證明？

子問題2：利用定義證明函數單調性的一般步驟是什么？

子問題3：你能編制一道與函數的單調性有關的題目嗎？

【設計意圖】子問題1和子問題2引導學生形成對函數單調性具體的判斷步驟；子問題3引導學生進行編題. 學生可能從基本函數出發進行運算或分段表示構造具體的函數，也可能結合圖象從形到數構造函數，進而提出判斷具體函數單調性的題目. 在此基礎上，可以引導學生融入參數實現題目從靜態到動態的升級，可以將函數單調性與函數奇偶性、不等式等結合，編制更加綜合的題目，還可以從正向到逆向編制逆向問題. 讓學生自主編題，可以培養學生主動、綜合運用所學知識的能力，讓其在不斷反思的基礎上，提高思維的靈活性和創新性，也給了不同水平學生不同的思考空間.

主問題6：本節課學了什么？你還能提出哪些研究問題？

預設子問題如下.

子問題1：本節課研究了什么內容？是怎樣研究的？

子問題2：你認為還有哪些問題可以研究？

【設計意圖】子問題1通過課堂小結，引導學生提煉研究的內容、思路及蘊含其中的思想方法，將研究內容融入單元知識結構，促進思維成果的結構化；子問題2通過類比、推廣引導學生發現新的研究問題，學會提出新的研究問題，將研究引向縱深. 例如，學生可以圍繞函數的性質提出研究問題，也可以進一步從形的角度思考函數單調性的定義中[fx1-fx2x1-x2]的結構特點，從而為后續單元內、單元間的研究埋下伏筆.

總之，從單元核心問題到課時主問題，再到序列子問題，希望能站在系統的高度，整體開放與局部精致相結合地進行問題設計，由知識到思維，提升學生的系統思維，最終達到使學生學會學習的教育目標.

參考文獻：

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［2］杜仕菊，石浩. 新時代系統思維的生成邏輯、核心要素與實踐路徑［J］. 思想理論教育，2023（2）：40-47.