“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

魏靜 韓永強(qiáng)

摘? 要：采用問(wèn)題探究式教學(xué)法，圍繞“極值是什么、怎么求極值、為什么借助導(dǎo)數(shù)求極值”構(gòu)建本節(jié)概念教學(xué)課.

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；函數(shù)；極值；導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課選自人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（選修2—2）》（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”第三節(jié)“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”第二小節(jié)，主要內(nèi)容包括極值的概念和借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是繼函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之后，再次應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù). 同時(shí)，為利用導(dǎo)數(shù)研究可導(dǎo)函數(shù)的最值作好鋪墊. 綜觀本單元的教學(xué)內(nèi)容，研究路徑可以歸結(jié)為：導(dǎo)數(shù)的正負(fù)—函數(shù)的單調(diào)性—函數(shù)的極值—函數(shù)的最大（小）值—函數(shù)的綜合問(wèn)題.

函數(shù)的極值的內(nèi)涵是局部范圍內(nèi)的最大（小）值，中學(xué)階段對(duì)應(yīng)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折. 對(duì)于連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)能定量地刻畫(huà)函數(shù)的局部變化規(guī)律，是研究函數(shù)的基本工具. 有了導(dǎo)數(shù)以后，可以將函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性問(wèn)題，將判斷函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn). 其思維模式如圖1所示.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極值的概念，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）從實(shí)際情境中抽象出具有升降的函數(shù)圖象，通過(guò)觀察函數(shù)圖象的升降及其“分界點(diǎn)”的特征，歸納和抽象出函數(shù)極大（小）值概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、歸納和類(lèi)比思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

（2）通過(guò)具體可導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化，發(fā)現(xiàn)并證明用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本原理，并通過(guò)實(shí)例明確基本原理中的條件是函數(shù)存在極值的充分條件，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

（3）通過(guò)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本原理求具體函數(shù)的極值，歸納、整理求極值的步驟，體會(huì)算法思想，感悟數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理之間的關(guān)系，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

三、學(xué)生學(xué)情分析

1. 已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)課的授課對(duì)象為高二學(xué)生，已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)導(dǎo)數(shù)的概念與基本運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，初步具備運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本思想分析和解決函數(shù)問(wèn)題的意識(shí). 這為本節(jié)課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值奠定了基礎(chǔ)，也為學(xué)生在活動(dòng)中自主探究并抽象出極值的概念、發(fā)現(xiàn)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系并得出取得極值的條件提供了可能.

2. 可能出現(xiàn)的障礙

學(xué)生對(duì)極限和導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有限，函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、“鄰域”等高等數(shù)學(xué)知識(shí)在高中階段雖然不要求掌握，但不能為后續(xù)學(xué)習(xí)造成知識(shí)的“負(fù)遷移”，授課時(shí)說(shuō)明高中階段研究的與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題中涉及的函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)，但可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的“導(dǎo)數(shù)特征”仍然無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)格的證明. 因此，內(nèi)容的強(qiáng)理論性增加了學(xué)習(xí)極值的概念、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的難度. 學(xué)生雖然有借助幾何直觀概括函數(shù)性質(zhì)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的經(jīng)驗(yàn)，但要將函數(shù)的極值點(diǎn)的幾何特征深刻到符號(hào)化水平去定性地刻畫(huà)，將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，仍然存在難度.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極值的概念，函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

四、教學(xué)策略分析

采用問(wèn)題探究式教學(xué)法，以恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題為紐帶，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間. 教學(xué)中始終遵循“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，知識(shí)為主線，發(fā)展思維為主旨”的原則.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

情境1：如圖2，在上節(jié)課提到的中國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)員高臺(tái)跳水的經(jīng)典案例中，運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，圖象上升，函數(shù)單調(diào)遞增；從最高點(diǎn)到入水，圖象下降，函數(shù)單調(diào)遞減.

情境2：2022年北京冬奧會(huì)中，中國(guó)滑雪運(yùn)動(dòng)員奪得單板滑雪男子大跳臺(tái)冠軍. 讓我們一起回顧這個(gè)精彩過(guò)程. 如圖3，通過(guò)下滑、起跳、落地滑行，運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)軌跡實(shí)現(xiàn)了“減—增—減”的過(guò)程.

情境3：某學(xué)習(xí)小組提交了一張桂林山水的照片，如圖4（a）所示. 通過(guò)預(yù)習(xí)，他們結(jié)合教材中的“探究”圖（圖4（b）），聯(lián)想到游學(xué)活動(dòng)的群山，山峰的起伏對(duì)應(yīng)著函數(shù)的增減，作出圖5.

師生活動(dòng)：教師展示實(shí)踐作業(yè)成果. 學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出函數(shù)圖象，觀察并思考曲線的單調(diào)性的變化.

【設(shè)計(jì)意圖】緊跟時(shí)代熱點(diǎn)，結(jié)合教材中的“探究”圖，調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷.

2. 生成概念，內(nèi)涵辨析

問(wèn)題1：觀察圖6、圖7和圖8并思考，從單調(diào)性的變化來(lái)看，圖中哪些位置比較特殊？為什么？

師生活動(dòng)：師生通過(guò)觀察、歸納得出“點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，K都是單調(diào)性發(fā)生變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)”.

追問(wèn)：這些位置的函數(shù)值有什么共同特點(diǎn)？

探究發(fā)現(xiàn)1：如圖9，點(diǎn)A的函數(shù)值是函數(shù)圖象上點(diǎn)A附近的最大值，是整個(gè)函數(shù)的最大值.

探究發(fā)現(xiàn)2：如圖10，點(diǎn)B的函數(shù)值是函數(shù)圖象上點(diǎn)B附近的最小值，但不是整個(gè)函數(shù)的最小值.

師生活動(dòng)：放大“波峰”“波谷”附近的圖象，師生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，B處函數(shù)值的共同特點(diǎn)是均為“局部最值”.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)將圖形放大，讓學(xué)生形成更直觀的感受，即函數(shù)的極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，引出極值的概念，體現(xiàn)從特殊到一般的思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

引言1：正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，當(dāng)我們所站的位置不同時(shí)，看待事物的角度也就不同，結(jié)果可能就不一樣.

【設(shè)計(jì)意圖】一是更加形象直觀地表達(dá)“局部最值”；二是幫助學(xué)生樹(shù)立正確的世界觀，學(xué)會(huì)全面看待事物，落實(shí)立德樹(shù)人的育人目標(biāo).

師生活動(dòng)：教師板書(shū)課題“函數(shù)的極值”；學(xué)生在教師的引導(dǎo)下觀察圖11，生成極值的概念.

極小值概念：函數(shù)[y=fx]在點(diǎn)[x=a]處的函數(shù)值[fa]比它在點(diǎn)[x=a]附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們把[a]叫做函數(shù)[y=fx]的極小值點(diǎn)，[fa]叫做函數(shù)[y=][fx]的極小值.

極大值概念：函數(shù)[y=fx]在點(diǎn)[x=b]處的函數(shù)值[fb]比它在點(diǎn)[x=b]附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們把[b]叫做函數(shù)[y=fx]的極大值點(diǎn)，[fb]叫做函數(shù)[y=][fx]的極大值.

說(shuō)明：極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)；極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值；極值點(diǎn)是自變量（橫坐標(biāo)）；極值是函數(shù)值（縱坐標(biāo)）.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，借助幾何直觀，經(jīng)歷“極值概念”的生成過(guò)程，積累從實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)類(lèi)比思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

問(wèn)題2：如圖12，函數(shù)定義在閉區(qū)間[x1，x8]上，圖中哪些是極大值點(diǎn)？哪些是極小值點(diǎn)？

追問(wèn)1：點(diǎn)[x1]的函數(shù)值比它附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，點(diǎn)[x1]是不是極大值點(diǎn)？

師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作，分享交流，質(zhì)疑探討，確認(rèn)釋疑.

結(jié)論：極值的概念中的“附近”要求極值點(diǎn)左右有“鄰居”，端點(diǎn)不是極值點(diǎn).

追問(wèn)2：點(diǎn)[x5]是不是極大值點(diǎn)？

如圖13（圓圈較小），點(diǎn)[x5]的函數(shù)值比它附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大.

如圖14（圓圈較大），將點(diǎn)[E]附近的圓圈擴(kuò)大，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)[x5]的函數(shù)值不滿足比它附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大.

師生活動(dòng)：教師追問(wèn)，學(xué)生思考，交流討論.

結(jié)論：“附近”體現(xiàn)了極值是函數(shù)的局部性質(zhì). “附近”不是“任意”，而是“存在”.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)“畫(huà)圈”理解極值的概念中“附近”的含義，理解極值作為函數(shù)的“局部性質(zhì)”的內(nèi)涵，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

引言2：極大值對(duì)應(yīng)“波峰”，極小值對(duì)應(yīng)“波谷”，此情此景，你能聯(lián)想到哪個(gè)成語(yǔ)？（登峰造極）

問(wèn)題3：極大值一定大于極小值嗎？

結(jié)論：極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系.

問(wèn)題4：函數(shù)的極大值和極小值唯一嗎？

結(jié)論：函數(shù)的極值可以有多個(gè)，也可能沒(méi)有.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)幾何直觀，觀察得出結(jié)論，體現(xiàn)“極值”是函數(shù)的局部性質(zhì)，為整體性質(zhì)“最值”的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

引言3：大自然尚且起起落落，更何況人呢？人生的低谷總是難免的，我們要不懼低谷、勇攀高峰！

【設(shè)計(jì)意圖】借助幾何直觀，鼓勵(lì)學(xué)生不懼低谷、勇攀高峰，實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的育人目標(biāo).

3. 鞏固拓展，概念應(yīng)用

例1? 判斷下列函數(shù)是否有極值. 如果有，求出極值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.

（1）[fx=2]；

（2）[fx=2x-3]；

（3）[fx=6x2-x-2]；

（4）[fx=sinx].

師生活動(dòng)：教師展示例題，學(xué)生快速判斷.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置基本初等函數(shù)，借助函數(shù)圖象鞏固概念，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

例2? 判斷函數(shù)[fx=13x3-4x+4]是否有極值，如果有，求出極值.

師生活動(dòng)：學(xué)生在獲取圖象中遇到困難，自主思考、討論交流后，師生共同合作完成. 從單調(diào)性的角度判斷取得極值的充分性和必要性，并借助幾何直觀得出“左增右減極大值；左減右增極小值”的結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置三次多項(xiàng)式函數(shù)判斷極值，學(xué)生快速獲取圖象困難，“逼迫”學(xué)生回歸極值的概念.

問(wèn)題5：判斷函數(shù)的單調(diào)性，有一個(gè)非常重要的工具，是什么？

結(jié)論：導(dǎo)數(shù). 原函數(shù)左增右減——導(dǎo)函數(shù)左正右負(fù)；原函數(shù)左減右增——導(dǎo)函數(shù)左負(fù)右正.

追問(wèn)：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于多少？怎么判斷？

結(jié)論：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0.

判斷思路1：極值點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性變化的分界點(diǎn)，極值點(diǎn)附近兩點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)或者左負(fù)右正，中間狀態(tài)為0.

判斷思路2：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在極值點(diǎn)處的切線水平，斜率為0，導(dǎo)數(shù)值為0.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)追問(wèn)，層層展開(kāi)探討，激活學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將新問(wèn)題與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)知識(shí)相聯(lián)系，從而自然、合理地引出用導(dǎo)數(shù)判斷極值，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

師生活動(dòng)：教師借助幾何畫(huà)板軟件，同時(shí)作出原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的圖象，如圖15所示. 形成幾何直觀對(duì)比，并指導(dǎo)學(xué)生得出“原函數(shù)的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)”的結(jié)論. 教師給出極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)的符號(hào)語(yǔ)言，分別如圖16和圖17所示.

【設(shè)計(jì)意圖】極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)特征結(jié)論無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)格證明，借助幾何畫(huà)板軟件，讓學(xué)生“看得見(jiàn)”“說(shuō)得出”性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從圖象、單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的角度判斷極值，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

師生活動(dòng)：回到例2，教師板書(shū)規(guī)范解答過(guò)程，學(xué)生歸納利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟.

解題步驟：確定函數(shù)定義域—函數(shù)求導(dǎo)—方程求根—列表判號(hào)—求出極值.

解題思路如圖18所示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師的規(guī)范板書(shū)，引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)程序化解題步驟，強(qiáng)化對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的鞏固，對(duì)學(xué)生規(guī)范作答起到引領(lǐng)示范作用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

師生活動(dòng)：由數(shù)到形，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，教師用幾何畫(huà)板軟件作出圖形，如圖19所示，對(duì)比展示，操作確認(rèn).

【設(shè)計(jì)意圖】在“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的數(shù)形轉(zhuǎn)換過(guò)程中，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)作為工具在研究函數(shù)問(wèn)題中的優(yōu)越性，為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

4. 目標(biāo)檢測(cè)，檢驗(yàn)效果

目標(biāo)檢測(cè)1：判斷下列函數(shù)是否有極值. 如果有，求出極值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.

（1）[fx=3x-x3]；

（2）[fx=x3].

師生活動(dòng)：學(xué)生上臺(tái)演算，教師巡視，對(duì)解題不規(guī)范現(xiàn)象加以糾正.

思考：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？

結(jié)論：[fx0=0]是函數(shù)在點(diǎn)[x0]處取得極值的必要不充分條件.

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的方法，對(duì)問(wèn)題的解決形成基本方法和步驟，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

目標(biāo)檢測(cè)2：導(dǎo)函數(shù)[y=fx]的圖象如圖20所示，試找出函數(shù)[y=fx]的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)原函數(shù)圖象和導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，深刻理解極值的概念.

5. 課堂小結(jié)，形成系統(tǒng)

師生活動(dòng)：學(xué)生分享、教師總結(jié)，生成本節(jié)課的教學(xué)思維導(dǎo)圖，如圖21所示.

引言4：通過(guò)極值的學(xué)習(xí)，大家會(huì)對(duì)《題西林壁》這首詩(shī)有更加深刻的感悟.“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”告訴我們要學(xué)會(huì)站在不同的視角看待問(wèn)題；“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”提示我們做人做事要有全局觀. 其中蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？區(qū)別于本節(jié)課所講的函數(shù)圖象的局部性質(zhì)，哪些是函數(shù)的整體性質(zhì)？

知識(shí)層面：什么是極值？（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言.）

方法層面：怎么求極值？（借助圖象和導(dǎo)數(shù).）

思想層面：為什么借助導(dǎo)數(shù)求極值？（轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比歸納.）

情感層面：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”——不同的視角看問(wèn)題；“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”——做人做事要有全局觀.

【設(shè)計(jì)意圖】知識(shí)的學(xué)習(xí)是提升學(xué)生思維和能力的必經(jīng)之路，而能力的提升是我們學(xué)習(xí)知識(shí)的終極目標(biāo). 通過(guò)課堂小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生厘清知識(shí)結(jié)構(gòu)、提煉數(shù)學(xué)方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想. 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考什么是函數(shù)的整體性質(zhì)，為下節(jié)課教學(xué)作鋪墊.

6. 作業(yè)布置，分層提高

課本作業(yè)：教材第29頁(yè)課后練習(xí)第2題.

實(shí)踐作業(yè)：以學(xué)習(xí)小組為單位，查閱與“極值”有關(guān)的實(shí)例.

拓展閱讀：判斷函數(shù)[fx=x2 x≠0，1? ?x=0] 和[fx=x]是否有極值. 查閱論文《談?wù)勅私贪娼滩闹泻瘮?shù)極值的定義》《把握概念內(nèi)涵? 優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)——以“函數(shù)極值的概念”片段教學(xué)為例》了解更多與極值定義有關(guān)的問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】課本作業(yè)意在鞏固極值的概念和用導(dǎo)數(shù)求極值的方法；實(shí)踐作業(yè)意在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，為下節(jié)課“函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)”的學(xué)習(xí)作鋪墊；拓展閱讀作業(yè)意在滿足數(shù)學(xué)水平層次較高學(xué)生的發(fā)展.

六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1. 整合教材，挖掘內(nèi)涵

奧蘇貝爾曾說(shuō)，影響學(xué)習(xí)的最重要的因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué). 高中數(shù)學(xué)要求學(xué)生在沒(méi)有學(xué)習(xí)連續(xù)可導(dǎo)鄰域等概念的情況下進(jìn)行極值的學(xué)習(xí). 對(duì)此，教材中所選取的函數(shù)均是連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，函數(shù)圖象成“波峰”“波谷”的形狀. 但這不利于學(xué)生把握極值的概念的本質(zhì)屬性，考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和能力，參考《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求，努力實(shí)現(xiàn)教材的編寫(xiě)意圖，在課前明確本節(jié)課研究的函數(shù)均為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，并尋找合適的認(rèn)知根源：用單調(diào)性實(shí)踐作業(yè)中具有代表性的成果創(chuàng)設(shè)情境引入新課—對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行“畫(huà)圈搜索”局部最值點(diǎn)—尋找波峰、波谷（連續(xù)函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)）—導(dǎo)數(shù)值等于0的點(diǎn)（連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)）—導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)（極值點(diǎn)）. 借助圖象的幾何直觀，把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)形態(tài). 把高等數(shù)學(xué)中非連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的極值判斷及定義解讀安排在課后作業(yè)拓展閱讀部分，既不影響主體知識(shí)建構(gòu)，又能使學(xué)有余力的學(xué)生得到進(jìn)一步發(fā)展.

2. 貼近生活，立德樹(shù)人

結(jié)合教材“探究”中的函數(shù)圖象和學(xué)生實(shí)踐作業(yè)成果，緊跟時(shí)代熱點(diǎn)，創(chuàng)造合適情境，借助信息技術(shù)輔助教學(xué)，創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)和空間讓學(xué)生通過(guò)合作討論、分享交流充分展示自我，經(jīng)歷極值概念發(fā)生發(fā)展的探究過(guò)程，在課堂中通過(guò)“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”“登峰造極”“群山起伏，不懼低谷”等情境，不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生展示的小組成果給予充分肯定，對(duì)小組疑惑加以適時(shí)引導(dǎo)，學(xué)生在和諧歡快的數(shù)學(xué)課堂中收獲知識(shí)和信心，樹(shù)立正確的世界觀，落實(shí)立德樹(shù)人的育人目標(biāo).

3. 滲透思想，提升素養(yǎng)

“極值”只是教學(xué)的載體，解決問(wèn)題所運(yùn)用的徐利治先生提出的“關(guān)系—映射—反演（RMI）”原理及滲透的轉(zhuǎn)化與化歸思想才是本節(jié)課的靈魂. 通過(guò)將原函數(shù)極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，再將結(jié)果反演解釋原函數(shù)極值的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維. 從單調(diào)性到極值再到最值，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)單元教學(xué)的根本，遵循“研究對(duì)象在變，思想方法不變，研究套路不變”，使對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根. 因此，本文從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)評(píng)教師的建議，選取與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容結(jié)合最緊密的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)調(diào)整了教學(xué)目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍. 高中數(shù)學(xué)教科書(shū)教學(xué)設(shè)計(jì)與指導(dǎo)（選擇性必修第二冊(cè)）［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2022.

［3］余小芬. 把握概念內(nèi)涵? 優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)：以“函數(shù)極值的概念”片段教學(xué)為例［J］. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（4）：11-13，18.

［4］甘志國(guó). 談?wù)勅私贪娼滩闹泻瘮?shù)極值的定義［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（5）：15-16.