從類比、模仿到自主創新

李青霞

摘? 要：“探究活動：從圓到球”一課以球為研究對象，引導學生類比、模仿圓的研究內容和研究思路，探索研究球的新方法和新結論，完整體現了開展數學探究活動教學的典型歷程. 學生發現和提出的一系列有意義的數學問題，有力推動了探究活動的深入，凸顯了數學探究的教育價值.

關鍵詞：數學探究活動；球的幾何性質；類比；模仿；自主創新

“探究活動：從圓到球”一課的主題選定、整體構想和實施步驟都體現了設計團隊的智慧，為實現良好的教學活動效果奠定基礎，也為教師開展此類活動提供了可以類比、模仿的典型案例. 在活動設計與實施的過程中，學生直面問題，從類比、模仿到自主創新，經歷了從無到有、從零到一的思維發展過程，提升了數學核心素養.

一、主要特點

“探究活動：從圓到球”一課圍繞的數學問題是“由圓的幾何性質類比探究球的幾何性質”，讓學生經歷選題、開題、做題、結題到課堂交流的過程. 在成果展示課上，學生侃侃而談，表達成果，互相學習，沉浸于濃濃的學術交流氛圍之中. 筆者認為，該課例至少有如下三個突出特點.

1. 探究活動教學的設計、組織、實施過程完整，具有示范性

數學探究活動的教學一般要經歷擬定計劃、課前實施、形成報告和課上分享的過程. 在該課例的探究過程中，學生先將“球的幾何性質”這一主題細化為七個具體問題，然后分工合作，各自通過觀察、抽象、探索、猜測和論證，從發現和提出問題到分析和解決問題，最終形成獨立的研究報告，并利用課堂展示、交流、質疑、反思合作完成了對球及其幾何性質的全面認識，完整體現了數學探究活動應該具有的典型歷程.

該課例自主創造的探究主題具有特色. 其一，以球的幾何性質為研究主題，類比圓的幾何性質，整合了小學、初中、高中學段的兩個重要幾何研究對象，體現了整體設計理念；其二，研究路徑分為定義概念、推導性質、建立聯系、實踐應用四個層面，遵循了幾何圖形研究的一般思路；其三，研究內容涉及球的相關概念、平面與球、幾何體與球，還研究了球的應用，既重視“四基”“四能”的落實，也適時融入了數學文化. 當然，以《撐一支長篙，向青草更青處漫溯》為題，將學生的研究成果集結成冊，也是頗具匠心.

2. 注重發現和提出有意義的數學問題，聚焦核心能力

問題是數學探究活動得以開展的內驅力. 探究的問題要能激發學生的興趣，使學生融入問題的探究，并產生強烈的好奇心. 在該課例中，學生已經系統研究了圓的有關知識，并積累了研究幾何圖形的經驗. 面對新的研究對象——球，驅動學生不斷探究的正是他們自己通過類比、模仿、創新所發現和提出的問題. 這些問題從模糊到清晰、從機械到有意義、從直覺猜想到理性循證，最終形成了七個研究方向，分別是實例應用、定義問題、體積問題、切面問題、截面問題、內切球問題、外接球問題，幾乎涵蓋了中學階段與球相關的所有問題.

該課例外接球組的探究問題具有代表性. 推進探究的問題串是：（1）任意三角形都有外接圓嗎？唯一嗎？（2）任意三棱錐都有外接球嗎？唯一嗎？（3）如何找到三棱錐外接球的球心？如何計算外接球的半徑？（4）研究哪些三棱錐外接球的問題呢？（5）直角三棱錐（墻角模型）的外接球的確定方法是什么？（6）正三棱錐的外接球的確定方法是什么？（7）一般三棱錐的外接球的確定方法是什么？類比“任意三角形都有外接圓”這一結論，對這些問題圍繞“存在、唯一、作圖”這三個角度展開探究，展現了學生探索幾何圖形問題的思維能力和良好的思維品質. 此外，實例組用數學的眼光觀察生產生活、天文地理中有關球與圓的知識，并從數學文化中豐富認識，也讓人耳目一新.

3. 用信息技術助力學生探究的全過程，體現深度融合

信息技術是學生學習、探索和解決問題的重要輔助手段，可以為學生的自主探究啟發思路，提供直觀、豐富的資源. 在該課例中，截面組關于球的相交弦定理等內容的直觀猜想、切面組關于三元方程和三元不等式的數形結合求解方案、外接球組關于三棱錐外接球存在且唯一的證明與演示，都涉及GeoGebra軟件的使用，實現了傳統教學手段難以達到的教學效果.

該課例運用信息技術拓寬解決問題的渠道，對于開展數學探究活動的教學很有啟發性. 事實上，在探究過程中生成的問題，有些可能會被忽略而放棄，但是這些問題可能正是提升學生探究能力、發展學生思維的契機. 怎樣才能讓這些問題盡可能得到解決呢？執教教師借助多方資源適時豐富了學生獲取知識的渠道. 例如，實例組學生發現：球面不可展，那么地圖是怎么繪制的？這個問題通過視頻會議的方式采訪了相關領域的大學教授得到解決. 又如，定義組學生受限于自身知識水平，難以深入探究球的性質，于是利用電子郵件詢問了多位大學教授，最終使得這一研究取得了突破. 另外，該課例的前期設計、師生互動、生生互動等教學方式的轉變，都體現了信息技術對數學教學的深刻影響.

二、思考與建議

數學探究是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，涉及探究問題、探究方法、探究過程、探究結果、探究反思等要素. 從該課例的課堂展示來看，較多重視探究結果，較少從整體上反思探究問題、探究方法、探究過程等各環節的得與失. 如果能在探究之初作好規劃，引導學生更好地記錄探究的歷程，有可能在回顧與反思時，能更全面地體現本次探究活動的價值.

數學探究活動是學生形成和發展數學核心素養的有效載體，恰當的評價有助于激發探究熱情、形成探究氛圍. 該課例實施的周期較長，活動評價的設計較多關注結果、關注課堂，對探究過程中各小組、各成員的表現關注不足. 如果能構建合理、有效的過程性評價工具，用多維評價促進所有學生主動思考、交流合作，及時保護學生的好奇心，激發學生的想象力，有可能使探究活動的成果更加豐富多彩.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］張定強，裴陽.“數學探究活動”的機制性分析［J］. 中學數學教學參考（上旬），2022（6）：15-18.