遵循數系擴充原則激活學生學習智慧

陳紅贊

摘? 要：“指數”的教學難點主要在于師生對其本質理解不到位，破解難點的關鍵是要理解并運用好指數的推廣路徑和原則. 據此現實需求，從指數冪推廣的路徑、定義單位分數指數冪是邏輯基礎、在直觀感知的基礎上依據數系擴充原則形成正分數指數冪的意義、對于無理數指數冪關注的是其存在性四個方面對“指數”教學內容的本質進行了分析，并分析了教師對“指數”教學內容的認知現狀. 在此基礎上概述了教學實施過程，特別是描述了這樣展開教學之后激活的學生智慧及其表現.

關鍵詞：指數；分數指數冪；數系擴充原則

“指數”是人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊（以下統稱“人教版教材”）第四章“指數函數與對數函數”的起始課，一直是高中數學教學中的一個難點，教師在教學中習慣性的做法是在帶領學生學習公式后便進行大量練習. 在多年的教學中，筆者一直沒有真正理解，甚至沒有思考過怎樣去理解它. 在最近的一次教研活動中，我們對教材、教師用書、課程標準及相關文獻進行了反復研究，終于破解了這個難點，即理解數系擴充的原則，并在教學中將其顯性化，幫助學生理解其中蘊含的數學思維.

一、對“指數”教學內容本質的理解

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）在“教學提示”中強調：指數函數的教學，應關注指數函數的運算法則和變化規律，引導學生經歷從整數指數冪到有理數指數冪、再到實數指數冪的拓展過程，掌握指數函數的運算法則和變化規律.《標準》是將指數冪的拓展過程作為指數函數研究的一部分，把指數冪的運算法則看成指數函數的性質，因此指數冪的學習具有重要意義.

在初中數學課程中，數系已經擴充到實數，但指數冪的定義只推廣到整數指數冪，“指數”一課的教學任務就是要把指數冪從整數指數冪推廣到實數指數冪.

1. 指數冪推廣的路徑

指數冪的推廣實質上是將指數的范圍進行逐步推廣，使其對任意實數都有意義，即將[ax]的指數[x]的范圍從整數逐步推廣到實數. 推廣的原則與數系擴充的原則基本一致，據此可以確定如圖1所示的推廣路徑.

[整數指數冪[分數指數冪]有理數指數冪[無理數指數冪]實數指數冪][圖1]

在推廣過程中要使在擴大范圍內的指數冪運算性質與原來的指數冪運算性質保持一致，此即數系擴充過程中運算性質的相容性.

2. 定義單位分數指數冪是邏輯基礎

人教版教材將上述途徑作為一條暗線，采取了以下的探究方法.

3. 在直觀感知的基礎上依據數系擴充原則形成正分數指數冪的意義

4. 關注無理數指數冪的存在性

對于無理數指數冪的意義，在高中階段只能直觀感知. 那么，當[x]是無理數時，[ax]的意義是什么，它是否為一個確定的數？如果是，它有什么運算性質？對此，可以利用初中階段借助有理數認識無理數的學習經驗，通過有理數指數冪認識無理數指數冪，即用有理數指數冪夾逼無理數指數冪.

與有理數指數冪相比，無理數指數冪的研究重點是不同的，我們更關注無理數指數冪的存在性及其特有的性質.

二、“指數”教學中教師的認知問題分析

“指數”教學中出現的問題，大多數是由教師的認知不到位造成的. 只抓顯性知識，在教學中的具體表現是重知識結論和公式應用，不關注數系擴充的原則，缺乏對代數原則的認知，不注重原則形成過程中的邏輯推理.

學生在初中階段經歷了從正整數指數冪到整數指數冪的推廣過程，學習了整數指數冪及其運算性質，積累了一定的數系擴充經驗，這為“指數”一課的學習奠定了一定的基礎. 但在實際教學過程中，教師把更多的注意力集中在具體運算上，對數系擴充的原則，指數冪的含義和運算性質等缺乏必要的關注，導致師生都不清楚從整數指數冪到有理數指數冪推廣的整體架構及遵循的原則. 因此，教師對從哪里入手推廣、按怎樣的邏輯順序展開、每個環節如何實施才能做到邏輯嚴謹等都比較茫然，進而導致學生的被動學習.

“指數”的教學關鍵是“定原則”，著力點在于指數冪[ax]的指數[x]的范圍擴充后的意義，內容抽象且邏輯性強. 基于這樣的現狀，此次教學中注重引導學生回顧正整數指數冪到整數指數冪的推廣過程，揭示數系擴充的原則，通過具體例子的講解，幫助學生理解數系擴充的原則，使學生借助適當的類比對象展開學習，促進學生的深度思考.

三、數系擴充原則指引，開啟智慧教學

1. 數系擴充原則指引，確定研究套路和研究方法

對于“指數”一課的教學，一方面，要銜接第三章“函數的概念與性質”的內容，借助第三章學習過程中構建的研究函數的基本套路展開對本節課內容的探究. 為此，教師先引出本節課的教學內容.

引言：我們已經學習了函數的概念和性質，并初步應用它研究了冪函數. 大千世界中有很多現象和規律都可以用函數刻畫. 從本章開始，我們將利用上一章所學的知識、方法和經驗研究幾個具體的函數.

另一方面，要發揮章引言的作用，引領學生了解本章內容的整體架構，為此設計問題1.

問題1：閱讀人教版教材第103頁的章頭圖和章引言，本章將要學習的內容是什么？涉及哪些函數？可以解決哪些現實問題？

通過閱讀，使學生了解本章學習的基本內容是指數函數和對數函數這兩類基本初等函數，以及其基本性質和應用. 細胞分裂、人口增長、放射性物質的衰減、測定遺址的年代等現實問題都可以利用這兩類函數構建數學模型來刻畫它們的變化規律.

接下來設計追問，確定本單元的研究套路.

追問：為了研究指數函數，我們需要把指數的范圍拓展到實數. 大家在初中階段已經學過整數指數冪，類比數系的擴充，你覺得指數冪的拓展路徑是什么？拓展的原則是什么？

通過師生交流，形成共識：拓展路徑是將指數冪由整數指數冪拓展到有理數指數冪再拓展到實數指數冪. 關鍵是解決分數指數冪和無理數指數冪意義的建構.

拓展原則是使原來的運算性質在新的數系中仍然成立，即滿足運算性質的相容性.

學生容易得出指數冪的拓展路徑，但對拓展的原則比較模糊. 在實際教學過程中，只有一名學生提到“運算法則應該不變”. 對此，教師以初中階段學習的正整數指數冪到負整數指數冪的推廣為切入點，為學生舉例講解指數冪拓展過程中運算性質的相容性的含義.

通過這個示例的講解，學生了解了運算性質的相容性的含義，明確了接下來要研究的內容和依據，并在研究過程中不斷感悟這種相容性.

2. 一般觀念指導，形成概念和性質

定義一個數學對象，要從情境出發，經歷觀察、比較、分析、抽象的過程，得到其本質屬性. 例如，n次方根的情境是低抽象度的數學（如二次方根、三次方根等），在此基礎上形成定義，并用根式[an]表示實數a的n次方根. 定義了一個數學對象，就要研究其組成元素間的關系，根據代數的性質是運算中的不變性，可以先引導學生利用定義計算[533]，[533]，[-544]等，觀察其化簡結果，再根據定義得出根式的性質[ann=a，] 進一步化簡[ann].

3. 數系擴充原則指引，理解分數指數冪的意義

對于根式的被開方數的指數和根指數，存在可以整除和不可以整除兩種情況. 為了討論問題方便，同時不失一般性，我們先將根式的被開方數限定在正數范圍內. 根據[n]次方根的定義和數的運算，可以得到

這就是說，當根式的被開方數（看成冪的形式）的指數能被根指數整除時，根式可以表示為分數指數冪的形式. 那么，當根指數不能整除被開方數的指數時，根式是否也可以表示為分數指數冪的形式呢？教師以[b]為例引導學生進行分析.

可見，[b=b12]合理的前提是整數指數冪的運算性質[akn=akn]在分數指數冪的運算中仍然成立，這體現了運算性質[的相容性]. 這種相容性為運算帶來極大的方便，也說明了[n]次方根表示為分數指數冪的合理性.

繼而讓學生通過類比，直接將[a23]，[c54]寫成分數指數冪的形式. 這就突破了指數推廣過程中的難點，學生真正理解了數系擴充的相容性原則. 之后，通過閱讀獲得正分數指數冪、有理數指數冪的意義即可.

4. 探究無理數指數冪的重點是理解其存在性

在這一教學環節，教師引導學生類比認識無理數[2]的過程，設計方案，并借助軟件解釋[52]的意義，從“不足近似值”和“過剩近似值”兩個方向，帶領學生經歷了用有理數指數冪逼近無理數指數冪的過程. 然后，在數軸上表示這些“不足近似值”和“過剩近似值”的對應點，發現這些點逼近一個確定的點，其對應的數就是這個無理數指數冪，從而理解了無理數指數冪.

5. 一般觀念指引，激活學生的智慧

在課堂小結環節，教師引導學生梳理本節課內容的研究過程. 有學生提出了將指數從整數范圍拓展到分數的思路，如圖3所示.

這個思路源于本節課的引言，在引言中延續冪函數的學習，規定了[S]=[S12]. 按照教師的預設，是要將它作為本節課的課后作業布置給學生思考，但學生自己能提出這個問題，真是意料之外的驚喜.

基于學生的發現，教師順勢提問：圖3中方框內的規定合理嗎？是如何推導出來的？學生在獨立思考的基礎上經過小組合作探究，利用根式的性質及數系擴充過程中運算性質的相容性，給出了如圖4所示的推導過程.

至此，作為執教者，筆者深感欣慰. 由此可見，教師在厘清教學內容本質的基礎上展開教學，學生也會迸發出他們的智慧.

四、教學反思

指數定義的推廣是數系擴充的一部分，在每次擴充的過程中，都遵循著同一個原則，即在擴充的數系中依然保有各個運算律，因為這些運算律是數系有用、好用的根基所在. 類似地，在指數冪的每一次拓展過程中，也都遵循著同一個原則：原有的指數冪運算性質適用于拓展后的指數冪運算，也就是說將指數的范圍從整數拓展到實數后，其運算性質保持不變.

通過這次教研活動，筆者深刻感受到：在進行教學前，要深入研讀教師用書，深刻體會教材的編寫意圖和育人功能. 每讀一遍，都如同在與編者對話.《標準》、教材都是“理想課程”，必須通過課堂教學才能轉化為數學育人的行動. 課堂教學是落實核心素養的關鍵，而教學設計則是銜接課程標準、教材和課堂教學的橋梁. 為此，教師在備課時要注重數學內容的本質，設計高質量的問題，調動學生的深度思考與探究，保證課堂教學的數學品位，充分發揮數學學科的育人功能，讓學生數學核心素養的提升水到渠成.

參考文獻：

［1］章建躍. 核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］薛紅霞.“一般觀念”指引實現高質量教學：“函數y = Asin[ωx+φ]的圖象”教學點評［J］. 中國數學教育（高中版），2022（4）：36-41.