基于大概念視角的三序融合數(shù)學(xué)概念教學(xué)

程建新　胡藝

摘? 要：基于大概念視角，圍繞學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計教學(xué)，針對“弧度制”一課，嘗試采用“三序融合，問題導(dǎo)學(xué)”的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)過程的設(shè)計，探索實現(xiàn)單位制構(gòu)建“為學(xué)而教”的基本教學(xué)策略，“學(xué)為中心”的教學(xué)設(shè)計充分考慮知識的發(fā)生、發(fā)展過程和學(xué)生理解知識的心理過程，使知識序、認(rèn)知序自然融合為學(xué)生的學(xué)習(xí)序，更有利于學(xué)生的學(xué)和教師的教.

關(guān)鍵詞：大概念；概念教學(xué)；學(xué)為中心；學(xué)習(xí)路徑；弧度制

一、問題提出

在日常教學(xué)過程中，有些教師會更多地關(guān)注知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯，而忽視學(xué)生的認(rèn)知心理過程，長此以往造成學(xué)生被動地接受知識；也有些教師雖然重視學(xué)生的認(rèn)知心理，但是對于數(shù)學(xué)知識和概念發(fā)生、發(fā)展的過程理解得不到位，無法有效促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí). 由此可見，學(xué)習(xí)真正發(fā)生的基本條件是數(shù)學(xué)知識的邏輯性與學(xué)生認(rèn)知心理的邏輯性理解的同構(gòu). 因此，教師在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)該同時考慮這兩條路徑，使之自然融合為學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，實現(xiàn)為學(xué)而教.

學(xué)習(xí)路徑（學(xué)習(xí)序）是對學(xué)生學(xué)習(xí)某一具體的數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)概念時思維與學(xué)習(xí)過程的描述，以及一個相關(guān)的、設(shè)想的路徑，該路徑包含了一系列指向教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)任務(wù)，以及基于學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)設(shè)計. 在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，還有另外兩條路徑，即知識發(fā)生、發(fā)展的過程（知識序）和理解知識的心理過程（認(rèn)知序）.

基于大概念視角，筆者以“弧度制”（第1課時）學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計為例，談?wù)勅绾螌⒅R序、認(rèn)知序自然地融合為學(xué)生的學(xué)習(xí)序.

二、知識的發(fā)展路徑分析

1. 大單元主題

主題單元教學(xué)是本次課改的一個重點與亮點，這要求我們在“大單元”視角下進(jìn)行課時教學(xué)設(shè)計. 同時，要讓學(xué)生深入把握一些具有統(tǒng)攝性的大概念. 例如，抽象一個數(shù)學(xué)對象的思維過程，定義一個數(shù)學(xué)概念的方式，研究一個數(shù)學(xué)對象的基本方法，等等.

“弧度制”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“三角函數(shù)”第5.1.2節(jié)的內(nèi)容，其涉及的大概念是構(gòu)建單位制的一般過程. 本節(jié)課要讓學(xué)生理解構(gòu)建一種單位制的一般過程是什么，學(xué)會運用基本活動經(jīng)驗去研究更多的量.

“三角函數(shù)”是“弧度制”一課所屬的大單元. 在這個單元中，我們通過旋轉(zhuǎn)將角的概念推廣到任意角，并在此基礎(chǔ)上探究構(gòu)建角的另外一種度量制——弧度制，它為后續(xù)定義和研究任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).“三角函數(shù)”大單元結(jié)構(gòu)如圖1所示.

2. 內(nèi)容解析

關(guān)于度量，學(xué)生在初中學(xué)過兩類：一類是線段、平面圖形和空間圖形的大小度量，是十進(jìn)制，其中線段的長度是基礎(chǔ)；另一類是“用角量角”的角度制，是六十進(jìn)制. 弧度制的基本思想是在同一度量單位下，用圓的弧長與半徑的比值來度量角.

與角度制相比，弧度制有很大的優(yōu)越性. 一是用十進(jìn)制取代了六十進(jìn)制，便于數(shù)的比較. 二是便于后續(xù)定義三角函數(shù). 函數(shù)是兩個實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，實數(shù)采用的是十進(jìn)制，角的度量采用的是六十進(jìn)制，與函數(shù)定義不符. 為了研究周期現(xiàn)象，需要引入十進(jìn)制的度量制，將角的集合與實數(shù)集建立一一對應(yīng)關(guān)系，從而使三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值都變?yōu)閷崝?shù). 盡管在角度制下也可以定義三角函數(shù)的概念，但是在后續(xù)的研究中，自變量與函數(shù)值單位不統(tǒng)一會引起很多麻煩. 三是在微積分中使用弧度制后眾多公式可以簡化，從而推動了微積分的發(fā)展和普及.

三、學(xué)習(xí)的認(rèn)知路徑分析

1. 學(xué)生已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)課的授課班級是某校高一重點班，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實，具有探究熱情. 從知識層面來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過用角度制度量角，掌握了射線旋轉(zhuǎn)形成角等知識；從能力層面來看，學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)感知與觀察能力，積累了一些不同度量系統(tǒng)之間換算的基本活動經(jīng)驗. 這些都為本節(jié)課探究的順利開展奠定了基礎(chǔ).

2. 教學(xué)難點及破解策略

（1）引入弧度制的必要性.

學(xué)生在初中時一直用角度制來度量角，對于突然引入一種不同的單位制來度量角會感到不適應(yīng)，不理解為什么要引入弧度制. 對此，我們通過以下方式幫助學(xué)生理解.

① 角度制換算的復(fù)雜性. 讓學(xué)生通過計算，初步感知角度制在單位換算時十分煩瑣，扇形的弧長與面積公式并不簡潔.

② 定義三角函數(shù)的基礎(chǔ). 回歸弧度制概念的本質(zhì)，理解弧度制是十進(jìn)制數(shù)，為后續(xù)定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)，建立角的集合與實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系.

（2）用線段長度度量角的合理性.

學(xué)生通過類比體積、質(zhì)量等物理量的度量，聯(lián)想到可以用線段的長度來度量角，但是難點在于這樣的長度有很多，如垂線段、弦長、弧長等. 因此，本節(jié)課要讓學(xué)生通過探究，排除垂線段和弦長，走向弧長，自然地生成用弧長與半徑的比值來度量角的學(xué)習(xí)路徑，經(jīng)歷完整的單位制構(gòu)建的一般過程.

（3）明確弧度制概念的本質(zhì).

筆者通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生用長度度量角，即用十進(jìn)制的實數(shù)來度量角的大小，從而引發(fā)學(xué)生思考“用哪個長度度量角比較合理”. 為此，筆者設(shè)計了幾個探究問題，學(xué)生通過不斷探究質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)弧度制的本質(zhì)是用單位圓的弧長（值）來度量角的大小. 這樣的學(xué)習(xí)路徑更能體現(xiàn)知識發(fā)生、發(fā)展的過程和學(xué)生理解知識的心理過程.

四、學(xué)習(xí)路徑的基本流程設(shè)計

基于以上認(rèn)知路徑分析，確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)路徑基本流程如圖2所示.

五、“學(xué)為中心”的問題導(dǎo)學(xué)過程設(shè)計

1. 弧度制引入的必要性

問題1：試用文字解釋1°的角是如何定義的？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧角度制是如何定義的，為后續(xù)探究如何定義1弧度角做鋪墊.

單位制的構(gòu)建一般都是從現(xiàn)實的度量需要開始，進(jìn)而經(jīng)歷了定單位1、定量表示、單位換算的過程. 由此設(shè)計以下問題.

問題2：已知扇形的圓心角為[32°11′27″，] 半徑為2，求扇形的弧長與面積.

【設(shè)計意圖】通過角度制計算，讓學(xué)生初步感知角度制換算的復(fù)雜性，為引入一種新的單位制——弧度制做鋪墊.

問題3：完成下列單位換算.

（1）[4]米[8]分米[7]厘米 =______米；

（2）[12]米2 [9]厘米2 =______米2；

（3）[1]千克[58]克 =______千克；

（4）[1]時[14]分[36]秒 =______時.

【設(shè)計意圖】通過換算，讓學(xué)生進(jìn)一步比較十進(jìn)制換算與六十進(jìn)制換算的復(fù)雜程度，激發(fā)學(xué)生嘗試探究用十進(jìn)制的實數(shù)表示角的欲望，以使運算簡便.

問題4：你知道哪些量是通過長度來間接度量的？

學(xué)生舉出一些具體實例，如質(zhì)量、容量、時間、溫度、力、電流和電壓等. 明確長度是度量之本.

2. 用長度度量角的探究過程（合理性）

問題5：如圖3，嘗試用長度來刻畫以下兩個角的大小.（紙上畫著30°和60°的角，但是角度未標(biāo)出.）

師：你認(rèn)為可以用哪段長度來刻畫角的大小？你是怎么刻畫的？

生1：如圖4，用垂線段m的長度來刻畫角的大小.

生2：也可以用弦長n的長度刻畫角的大小.

教學(xué)預(yù)設(shè)：（以用弦長n的長度刻畫角的大小為例）學(xué)生首先直觀感受到∠2更大. 如果以兩個角的頂點為圓心，任意取半徑畫圓得到弦長n，發(fā)現(xiàn)∠1所對應(yīng)的弦長可能會比∠2對應(yīng)的弦長“大”，這樣就與直觀產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，因此要以相等的半徑畫圓.

師生活動：教師讓學(xué)生填寫表1，并收集學(xué)生所取圓的半徑及對應(yīng)的長度測量值.

師：通過表1可以發(fā)現(xiàn)，對于同一個角，當(dāng)所取圓的半徑長度不同時，其所對弦長不同，故用弦長刻畫角的大小顯然不合適，應(yīng)該如何解決？

生：取相等的半徑.

師：不如半徑都取1，即單位圓. 在單位圓中，可以用弦長[n1]和[n2]刻畫∠1和∠2的大小.

隨后，教師說明∠1和∠2的大小分別為30°和60°，讓學(xué)生精確計算其對應(yīng)的弦長. 學(xué)生算得[n=2sinθ2，] 并利用三角函數(shù)表得到具體數(shù)值. 通過計算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)∠2和∠1所對的弦長之比并不等于角度之比，即弦長與角度呈現(xiàn)非均勻變化. 教師利用幾何畫板軟件幫助學(xué)生進(jìn)一步感受相應(yīng)變化.

師：既然∠2和∠1的弦長之比不等于角度之比，那么在單位圓中用弦長來刻畫角的大小顯然是不合適的. ∠1和∠2中哪兩條線段的長度之比會與角度之比相等呢？

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在單位圓中用弧長刻畫角度的大小.

師：除了取相等的半徑以外，當(dāng)半徑不相等時，還能用弧長直接刻畫角的大小嗎？

教師利用幾何畫板軟件直觀呈現(xiàn)圖形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)對于同一個圓心角，取不同的半徑時其所對弧長也不同. 然后，引導(dǎo)學(xué)生利用弧長公式證明：當(dāng)角的大小確定時，弧長與半徑的比值[lr]唯一確定. 在單位圓中，弧長與半徑的比值就是弧長（值）.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生動手探索如何用長度度量角，經(jīng)歷用弧的長度與半徑的比值來度量角的過程，將知識序和認(rèn)知序自然融合為學(xué)生的學(xué)習(xí)序.

六、“學(xué)為中心”的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計的思考

1.“三序融合，問題導(dǎo)學(xué)”的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計基本流程

“學(xué)為中心”的課堂要求教師站在學(xué)生的立場考慮問題，在教學(xué)設(shè)計時，要創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，具體可以按照“三序融合，問題導(dǎo)學(xué)”的流程來進(jìn)行課堂教學(xué)的設(shè)計與組織，如圖5所示.

第一，教師要充分理解數(shù)學(xué)知識及其發(fā)生、發(fā)展的過程. 只有充分理解數(shù)學(xué)知識的邏輯路徑，才能找到關(guān)鍵節(jié)點，實現(xiàn)知識“再創(chuàng)造”的教育價值. 例如，對于本節(jié)課的教學(xué)，只有分析清楚弧度制度量的本質(zhì)是用長度（十進(jìn)制數(shù)）去度量角，讓學(xué)生探究用不同的長度（垂線段、弦長、弧長等）度量角，從而形成認(rèn)知沖突，經(jīng)歷從不等圓到等圓（單位圓）再到同心圓的探究過程，學(xué)生才能真正理解為什么要用弧長與半徑的比值來度量角的大小，而這個比值的本質(zhì)就是單位圓中的弧長（值）.

第二，教師要深入了解學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的心理過程. 對于本節(jié)課的教學(xué)，教師要充分分析學(xué)生在探究用長度度量角時可能會出現(xiàn)的困難. 例如，在單位圓中，學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)同等半徑下，弦長越大，其所對應(yīng)的角度越大，但是能否用弦長度量角，學(xué)生在判斷上是有困難的. 教師只有清楚學(xué)生在探究過程中可能會出現(xiàn)的問題，才能進(jìn)行有效預(yù)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)弦長之比和角度之比不相等，因此在單位圓中用弦長來刻畫角的大小是不合適的.

第三，教師要善于設(shè)計問題引領(lǐng)學(xué)生的探究與學(xué)習(xí). 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的核心是問題的設(shè)計，教師要善于設(shè)計能夠引發(fā)學(xué)生深度思考的問題串，組織學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思維活動. 不僅要幫助學(xué)生理解知識序和認(rèn)知序，還要設(shè)計問題導(dǎo)學(xué)過程引導(dǎo)學(xué)生通過問題串真正理解引入弧度制的必要性，以及用長度度量角的合理性，促使學(xué)生真正經(jīng)歷這一理想的學(xué)習(xí)路徑.

2.“三序融合，問題導(dǎo)學(xué)”，促使學(xué)生有目的地思考

本節(jié)課通過“三序融合”的方法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，注重知識發(fā)生、發(fā)展的過程，幫助學(xué)生理解弧度制概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷單位制構(gòu)建的一般過程，使得弧度制概念教學(xué)上升了一個高度，更重要的是促進(jìn)了學(xué)生有目的地思考：為什么要引入弧度制？怎樣度量角比較合理？如何定義1弧度角？弧度制的優(yōu)越性在哪里？如此，弧度制教學(xué)可以包含更多高階思維的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

［1］張昆. 整合數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的取向：基于知識發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究［J］. 中國教育學(xué)刊，2011（6）：52-55.

［2］曹建軍. 將知識序、認(rèn)知序自然融合為學(xué)生的學(xué)習(xí)序：以“去括號法則”學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（10）：10-13.

［3］朱婷婷，端木彥，黃智華. 基于“大單元”及“大觀念”視角下的教學(xué)設(shè)計：以“弧度制”為例［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（下旬），2020（12）：27-30.

作者簡介：程建新（1985— ），男，高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；? ? ? ? ? 胡藝（1987— ），男，一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究.