六法求“二面角”

袁明 張欣蕾

【摘要】“求二面角”問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題.根據(jù)所求兩面是否有公共棱可將二面角問(wèn)題分為兩類：有棱二面角問(wèn)題及無(wú)棱二面角問(wèn)題.對(duì)于前者，通常采用找點(diǎn)、連線或平移等方法來(lái)定位出二面角的平面角；而對(duì)于后者，則一般通過(guò)構(gòu)造圖形如延展平面或找公垂面等方法使棱出現(xiàn)，從而進(jìn)一步定位二面角的平面角.

縱觀近幾年的高考試題和模擬試題，二面角問(wèn)題在立體幾何部分的考察熱度有所提升.而學(xué)生對(duì)該問(wèn)題掌握程度欠佳，教材及輔導(dǎo)資料等對(duì)其方法總結(jié)又較為粗略.有鑒于此，本文對(duì)二面角問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的梳理歸納，將該問(wèn)題的解決方法概括為六法，即定義法、三垂線法、垂面法、射影面積法、坐標(biāo)法以及向量法，以期能夠通過(guò)上述方法實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于二面角問(wèn)題的認(rèn)知升級(jí)并培養(yǎng)其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】二面角；六法；核心素養(yǎng)

二面角問(wèn)題在高中教學(xué)中的重要性不言而喻，而學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題理解得卻不夠透徹，導(dǎo)致失分率較高.具體表現(xiàn)為：學(xué)生對(duì)二面角概念的理解停留在表面上，容易遺忘；在法向量的求解上，計(jì)算能力不夠，從而造成計(jì)算上的失誤；掌握解決二面角問(wèn)題的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.為此，本文試圖探索解決二面角問(wèn)題的六種方法，并引以實(shí)例作為佐證，在試圖幫助學(xué)生突破這一重點(diǎn)問(wèn)題的同時(shí)也為今后空間立體幾何的教學(xué)提供一定的方向與支撐.

1定義法

利用二面角的定義，在二面角的棱上找點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.解題時(shí)應(yīng)先找平面角，再證明，最后在三角形中求平面角.

例1如圖1，在三棱錐V＼|ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V＼|AB＼|C的大小.

解取AB的中點(diǎn)D，連接VD，CD，如圖2.

在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，

所以△VAB為等邊三角形，

所以VD⊥AB，且VD＝3，

同理CD⊥AB，CD＝3，

所以∠VDC為二面角V＼|AB＼|C的平面角，

而△VDC是等邊三角形，∠VDC＝60°，

所以二面角V＼|AB＼|C的大小為60°.

圖1圖2

2三垂線法

如果兩個(gè)平面相交，有過(guò)一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)與另一個(gè)平面垂直的垂線，可過(guò)這一點(diǎn)作棱的垂線.連接兩個(gè)垂足，應(yīng)用三垂線定理可證明兩垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.

圖3

例2如圖3，在三棱錐S＼|ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.

（1）證明：平面SBC⊥平面SAB；

（2）求二面角A＼|SC＼|B的平面角的正弦值.

解（1）因?yàn)椤蟂AB＝∠SAC＝90°，

所以SA⊥AB，SA⊥AC，

又AB∩AC＝A，AB，AC平面ABC，

所以SA⊥平面ABC，

又BC平面ABC，

所以SA⊥BC.

又AB⊥BC，SA∩AB＝A，

SA，AB平面SAB，

所以BC⊥平面SAB.

又BC平面SBC，

所以平面SBC⊥平面SAB.

（2）取SB的中點(diǎn)D，連接AD，

則AD⊥SB，如圖4.

由（1）知平面SBC⊥平面SAB，

平面SBC∩平面SAB＝SB，

AD平面SAB，

所以AD⊥平面SBC.

作AE⊥SC，垂足為點(diǎn)E，連接DE，

則DE⊥SC，

圖4

∠AED為二面角A＼|SC＼|B的平面角.

設(shè)SA＝AB＝2，則

SB＝BC＝22，

AD＝2，

AC＝23，SC＝4.

由題意得AE＝3，

在Rt△ADE中，

sin∠AED＝ADAE＝23＝63，

所以二面角A＼|SC＼|B的平面角的正弦值為63.

3垂面法

二面角中如果存在一個(gè)平面與棱垂直，且與二面角的兩個(gè)半平面都相交，那么這兩條交線所成的角即為該二面角的平面角.

圖5

例3如圖5，在三棱錐S＼|ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E＼|BD＼|C的大小.

解因?yàn)镾B＝BC，且E是SC的中點(diǎn)，

所以BE是等腰△SBC底邊SC的中線，

所以SC⊥BE.

又SC⊥DE，BE∩DE＝E，

BE，DE平面BDE，

所以SC⊥平面BDE，

所以SC⊥BD.

又SA⊥平面ABC，BD平面ABC，

所以SA⊥BD，

而SC∩SA＝S，

SC，SA平面SAC，

所以BD⊥平面SAC.

因?yàn)槠矫鍿AC∩平面BDE＝DE，

平面SAC∩平面BDC＝DC，

所以BD⊥DE，BD⊥DC，

所以∠EDC是所求二面角的平面角.

因?yàn)镾A⊥底面ABC，

所以SA⊥AB，SA⊥AC.

設(shè)SA＝2，則

AB＝2，BC＝SB＝22.

因?yàn)锳B⊥BC，

所以AC＝23，∠ACS＝30°.

又DE⊥SC，

所以∠EDC＝60°.

即二面角E＼|BD＼|C的大小為60°.

4射影面積法

若多邊形的面積為S，它在一個(gè)平面內(nèi)的射影圖形的面積為S′，且多邊形與該平面所成的二面角為θ，則cosθ=S′S.

圖6

例4如圖6，在四棱錐P＼|ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小.

解如圖6，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

所以PA⊥AD，

又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，

PA，AB平面PAB，

所以AD⊥平面PAB，

同理BC⊥平面PAB，

所以△PCD在平面PBA上的射影為△PAB.

設(shè)平面PBA與平面PCD所成二面角為θ，

所以cosθ=S△PABS△PCD=12a212a·2a=22，

所以θ＝45°.

故平面PBA與平面PCD所成二面角的大小為45°.

5坐標(biāo)法

n1，n2分別是二面角α＼|l＼|β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足

cos〈n1，n2〉=n1·n2|n1||n2|，cosθ=±cos〈n1，n2〉.

（特別說(shuō)明：有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒(méi)有明顯提示，需學(xué)生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）

圖7

例5如圖7，已知正四棱柱ABCD＼|A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．

（1）求證：BD⊥A1C；

（2）求二面角A＼|A1C＼|D1的余弦值.

解（1）因?yàn)樗睦庵鵄BCD＼|A1B1C1D1是正四棱柱，

所以AA1⊥平面ABCD，BD⊥AC.

因?yàn)锽D平面ABCD，

所以AA1⊥BD.

因?yàn)锳A1∩AC=A，

所以BD⊥平面A1AC.

因?yàn)锳1C平面A1AC，

圖8

所以BD⊥A1C.

（2）如圖8，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D＼|xyz，

則A1（2，0，4），C（0，2，0），

D1（0，0，4），D（0，0，0），

B（2，2，0），C1（0，2，4），

D1A1=（2，0，0），

D1C=（0，2，-4），

DB=（2，2，0），

因?yàn)锽D⊥平面A1AC，

所以 DB=（2，2，0）是平面AA1C的法向量.

設(shè)平面A1D1C的法向量n=（x1，y1，z1），

則n·D1A1=0，n·D1C=0，

即x1=0，2y1-4z1=0.

令z1=1，則y1=2，n=（0，2，1），

故cos〈DB，n〉=DB·n|DB|·|n|=45×22=105，

因?yàn)槎娼茿＼|A1C＼|D1是鈍二面角，

所以二面角A＼|A1C＼|D1的余弦值為-105.

6向量法

利用向量之間的運(yùn)算關(guān)系，求出余弦值，從而求解二面角的平面角.

例6二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，求該二面角的大小．

解由題意知

CA·AB=0，AB·BD=0，

CD＝CA＋AB＋BD，

所以|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋

2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD

＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA，BD〉

＝（217）2．

所以cos〈CA，BD〉=-12，

又〈CA，BD〉∈［0°，180°］，

所以〈CA，BD〉＝120°，

即〈AC，BD〉＝60°，

所以二面角的大小為60°．

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在理解二面角定義、求解平面的法向量、判斷二面角鈍銳等問(wèn)題上仍然存在一定的障礙，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等幾大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)還有待進(jìn)一步培養(yǎng).那么通過(guò)本文介紹的求解二面角的六種方法，希望能夠培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，幫助其在腦海中呈現(xiàn)空間幾何形式，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而加深對(duì)二面角問(wèn)題的理解，在不斷的練習(xí)中實(shí)現(xiàn)解題能力的逐步提升并充分感受到學(xué)習(xí)“貴在得法”的魅力.