生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖：構(gòu)筑學(xué)生思維發(fā)展新樣態(tài)

摘要：面對(duì)培養(yǎng)素養(yǎng)的形勢(shì)，教師必須進(jìn)一步提升課堂的有效性，還應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。將生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生的思維生長(zhǎng)為核心，注重多元互動(dòng)和合作，關(guān)注知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、斷層點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)，促使學(xué)生進(jìn)行有深度的學(xué)習(xí)，掌握高效的終身學(xué)習(xí)的方法，以達(dá)到提升素養(yǎng)的目的。

關(guān)鍵詞：生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖;思維發(fā)展;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2022）06B-0036-04

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)零碎且關(guān)系密切，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和建構(gòu)，往往只見樹木不見森林。數(shù)學(xué)教學(xué)上廣泛運(yùn)用思維導(dǎo)圖，可使知識(shí)體系化、思維可視化，有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前的思維導(dǎo)圖缺乏“生長(zhǎng)性”，缺少學(xué)生的自主探索，缺乏師生之間的交流。針對(duì)這一問題我們創(chuàng)設(shè)了這樣一種思維導(dǎo)圖：圍繞某一核心知識(shí)點(diǎn)（重難點(diǎn)）或某個(gè)問題，運(yùn)用變式、拓展、延伸，產(chǎn)生知識(shí)、方法、思維、經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)鏈，形成核心知識(shí)結(jié)構(gòu)，并以此推動(dòng)學(xué)生思維的生長(zhǎng)。筆者將其命名為“生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖”。生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖作為一種學(xué)習(xí)支架，利用師生、生生、學(xué)生與教材之間的交往和互動(dòng)，通過開展多維度對(duì)話，提高學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的再加工能力、建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的能力以及持續(xù)深入探究的能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷發(fā)生、發(fā)展、進(jìn)階。生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖實(shí)施模型如圖1。

一、喚醒思維生長(zhǎng)點(diǎn)，化“被動(dòng)習(xí)得”為“主動(dòng)思考”

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)，需要依托學(xué)習(xí)支架的生長(zhǎng)。傳統(tǒng)的導(dǎo)學(xué)案，以“提問”為主導(dǎo)，具有反思性，但學(xué)生自由的發(fā)散性思維仍受很大程度的局限，畢竟提問是由教師給出，學(xué)生依然被“牽著鼻子走”。運(yùn)用生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖進(jìn)行前置性導(dǎo)學(xué)案，可促進(jìn)學(xué)習(xí)者的獨(dú)立思維和發(fā)現(xiàn)新問題的能力，提升對(duì)課程學(xué)習(xí)內(nèi)容的期望。

學(xué)習(xí)“多邊形的面積”前，筆者布置了生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖的前置性學(xué)習(xí)，并引導(dǎo)學(xué)生：閱讀課本或查找資料，從多個(gè)角度去研究平行四邊形面積計(jì)算方法以及這樣算的理由，獨(dú)立地進(jìn)行研究與記錄，鼓勵(lì)學(xué)生把自己所學(xué)到的認(rèn)識(shí)、問題、猜想都展示出來。學(xué)生的研究?jī)?nèi)容涉及：面積公式為什么是“底乘高”，平行四邊形怎么轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，有沒有不同的轉(zhuǎn)化方法，轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與原來平行四邊形的底和高有什么關(guān)系……也提出了不少有價(jià)值的問題：三角形的面積也可以轉(zhuǎn)化嗎？梯形的面積可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？三角形的面積和平行四邊形的面積有什么關(guān)系？五邊形的面積怎么求？圓形的面積也能轉(zhuǎn)化嗎？

教師可根據(jù)學(xué)生的問題，課堂上有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)和適度拓展，充分保證學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性與積極性，也符合“學(xué)為中心”的教育理念。如此，學(xué)習(xí)者思維被喚醒，可以在課堂上有重點(diǎn)地聽講、有趣味地學(xué)，從而樂于參與課堂互動(dòng)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)提供了探索的思路，達(dá)到主動(dòng)思考的目的。另外，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，不搞一刀切，有針對(duì)性地激發(fā)和引導(dǎo)，使每個(gè)學(xué)生的思維獲得不同程度的生長(zhǎng)。

二、鏈接思維斷層點(diǎn)，由“點(diǎn)狀思考”到“網(wǎng)狀思維”

李善良博士提出：數(shù)學(xué)概念之間具有聯(lián)系性，任一數(shù)學(xué)概念都是由若干數(shù)學(xué)概念聯(lián)系而成;只有建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，才能透徹理解數(shù)學(xué)概念[1]。因此，概念教學(xué)中，教師要從學(xué)生的思維斷層點(diǎn)出發(fā)，捕捉學(xué)生真實(shí)的困惑。利用生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生建立概念間內(nèi)在的以及不同表象之間的各種聯(lián)系，對(duì)概念的理解形成一個(gè)條理化、系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系。有了這樣的經(jīng)歷，學(xué)生在頭腦中就建立起這樣一張思維之網(wǎng)，將知識(shí)鏈條與思維鏈條上的“斷點(diǎn)”自然連接。

“多邊形的面積”這一單元，學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是容易將幾種圖形的面積計(jì)算公式混淆，究其根源，是學(xué)生始終孤立地學(xué)習(xí)某個(gè)多邊形的面積，忽視了多邊形面積推導(dǎo)公式之間的關(guān)系。課堂上， 教師可針對(duì)此，讓學(xué)生整理幾種圖形的面積公式推導(dǎo)過程，畫出圖形面積之間的聯(lián)系，開展組內(nèi)合作交流，最終用自己喜歡的方式表達(dá)在研學(xué)單上，并做匯報(bào)總結(jié)。

通過課堂上的交流、教師的引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：三角形、梯形都可以用兩個(gè)完全一樣的圖形對(duì)拼，轉(zhuǎn)化成平行四邊形，而平行四邊形則可通過割補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化成為長(zhǎng)方形，因此平行四邊形、三角形和梯形的面積公式都是通過轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形推導(dǎo)而來的。長(zhǎng)方形的面積又是通過數(shù)面積單位的方法計(jì)算而來，正方形則是長(zhǎng)方形的特殊化處理。學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)較高層次的學(xué)習(xí)過程，對(duì)圖形面積公式的理解由表入里、由散變整。還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，求三角形的面積，除了用對(duì)拼法，還可以用割補(bǔ)法，將其轉(zhuǎn)化成平行四邊形，探索出的公式和三角形的面積公式異曲同工。經(jīng)過廣泛的研究學(xué)習(xí)，學(xué)生還得知，三角形也可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來求得面積，甚至可以把三角形想象成特殊的梯形，當(dāng)梯形的上底縮短為0時(shí)，上底就成為一個(gè)頂點(diǎn)，那么此時(shí)的圖形就是三角形。學(xué)生課后進(jìn)一步優(yōu)化完善，最終“生長(zhǎng)”出“班級(jí)思維導(dǎo)圖”（如圖2）。

生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖圖文并茂地逐級(jí)表現(xiàn)相互聯(lián)系的知識(shí)，學(xué)生通曉了圖形之間可以靈活轉(zhuǎn)化。教師還需要在導(dǎo)圖上進(jìn)行反饋和評(píng)價(jià)，讓學(xué)生在課堂上愿意交流。每個(gè)學(xué)生聽完之后還要進(jìn)行修改、完善，讓思維自然而然地持續(xù)生長(zhǎng)。

三、撬動(dòng)思維發(fā)散點(diǎn)，從“一圖多解”到“一圖多變”

傳統(tǒng)的教學(xué)方式以知識(shí)點(diǎn)介紹、習(xí)題訓(xùn)練為主，重知識(shí)點(diǎn)灌輸，輕學(xué)生思考啟發(fā)，不利于思維的生長(zhǎng)和發(fā)散。鄭毓信教授明確指出，要把“思維”視為整個(gè)新數(shù)學(xué)教育工作的核心內(nèi)容。小學(xué)生的思維正逐步由具體形象思維過渡到抽象邏輯思維，但仍然帶有很大的具體性。在實(shí)際教學(xué)過程中，教師要借助圖形直觀[2]，妙用生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生的知識(shí)可見性地拔節(jié)生長(zhǎng)，隨著學(xué)生思維的發(fā)展，思維導(dǎo)圖也在不斷完善，思維導(dǎo)圖的完善又反過來促進(jìn)學(xué)生思維的再生長(zhǎng)，這樣雙向生長(zhǎng)的動(dòng)力系統(tǒng)，有效地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）一圖多解

生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖不局限于放射狀的結(jié)構(gòu)圖，還有多種應(yīng)用樣態(tài)。“多邊形的面積”無疑是小學(xué)階段的重點(diǎn)單元，怎樣才能讓學(xué)生學(xué)一知十，以一敵百？除了解題，我們還可以借助課后練習(xí)，讓學(xué)生畫出所思所想。

關(guān)于組合圖形求面積的問題，常規(guī)方法就是分割成兩個(gè)長(zhǎng)方形，分別求面積后相加;要么添補(bǔ)成一個(gè)大長(zhǎng)方形，用大長(zhǎng)方形面積減去小長(zhǎng)方形的面積。固有的思維有時(shí)會(huì)限制我們的思考，學(xué)生在生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖的影響下，在“比方法多”的引導(dǎo)下，還想出了這樣的方案：分割成兩個(gè)梯形，求兩梯形面積之和;先分割，再對(duì)拼成長(zhǎng)11厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形;先分割出一個(gè)三角形，再拼成一個(gè)上底4厘米、下底7厘米、高6厘米的梯形。如此，學(xué)生充分感受到轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想的意義，不僅掌握了求組合圖形的方法，也體驗(yàn)到探究學(xué)習(xí)的成功。

（二）一圖多變

利用生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖，學(xué)生在鞏固所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，還能通過聯(lián)系和對(duì)比，掌握知識(shí)的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通。這是一道課后的題組練習(xí)（如圖3）：

教師提問：“（20-2）×7=126（平方米）你能看明白這種方法嗎？畫一畫、寫一寫小紅是怎樣思考的。”考查學(xué)生的邏輯推理和語言表達(dá)，學(xué)生不僅要自己明白，還要讓讀者看懂，小紅為什么可以直接減掉2？減掉2得到了什么？學(xué)生有的用畫圖說明，有的圖文并茂地進(jìn)行解釋。第二小題考查學(xué)生的邏輯推理和直觀想象：“想象一下，自己來設(shè)計(jì)。①草地面積不變的情況下，花園的形狀可以怎么變？請(qǐng)你畫一畫、寫一寫。②草地面積不變的情況下，小路的形狀可以怎么變？請(qǐng)你畫一畫、寫一寫。發(fā)揮你的想象力，看誰的小路最與眾不同。”關(guān)于花園的形狀，有的學(xué)生畫出了“一種”圖形，還有學(xué)生畫出了“一類”形狀，即與原來長(zhǎng)方形等底等高的平行四邊形，或底等于高的平行四邊形。花園的形狀還可以是其他圖形嗎？有位學(xué)生是這么想的（如圖4），按照他的思路，其實(shí)只要小路的左右兩邊能拼成一個(gè)“18m×7m”的長(zhǎng)方形即可，多么善于思考！

小路的形狀可以怎樣變？有的學(xué)生畫出了等底等高的平行四邊形，也可以拐個(gè)彎畫成折線，還可以變成彎曲的路。通過反復(fù)嘗試和交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要小路兩邊的線條是互相平行的，那么剩余兩邊的部分就能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖5）。

特級(jí)教師賁友林在講座中指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。將生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖靈活應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，能促使學(xué)生進(jìn)行多水平的分析或加工，把知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰Γ瑥亩莆崭咝У慕K身學(xué)習(xí)方法。應(yīng)用生長(zhǎng)性思維導(dǎo)圖的課堂教學(xué)，教師要關(guān)注知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、斷層點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)，注重知識(shí)的建構(gòu)和生長(zhǎng)過程，組織學(xué)生把相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)置于整體知識(shí)體系中，為學(xué)生思維注入可持續(xù)生長(zhǎng)的力量。

參考文獻(xiàn)：

[1]李善良.論概念聯(lián)系與概念網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的作用[J].課程·教材·教法，2005（7）：53.

[2]游小云.從實(shí)體性思維到生長(zhǎng)性思維的轉(zhuǎn)變[J].今日教育，2020（5）：55.

*本文系南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“支持兒童學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的‘學(xué)習(xí)工具’開發(fā)與實(shí)踐的研究”（L/2018/066）階段性研究成果之一。

收稿日期：2022-03-29

作者簡(jiǎn)介：鄒敏，南京市鎖金新村第二小學(xué)，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。