也談數學邏輯思維的培養

孫閩

摘要：數學邏輯思維注重的、體現的是數學內容之間的關系和數學思維展開的過程，并不一味地強調演繹具有的嚴謹性，而是兼顧歸納、類比帶來的靈活性，為的是更好地“思考現實世界”。培養學生數學邏輯思維的基本思路有：“講道理”，即引導學生思考數學結論背后的原因;“建聯系”，即幫助學生梳理數學內容之間的關系，包括數學知識、題目條件、解題方法以及數學題目之間的關系。

關鍵詞：邏輯思維;邏輯推理;數學教學;道理;聯系

一、對數學邏輯思維的認識

數學是思維的科學。數學思維中最重要的是邏輯思維——甚至可以說，數學思維在本質上就是邏輯思維或者說邏輯推理。因此，邏輯思維（推理）是數學教學要培養的最重要的學生核心素養之一。

一般來說，邏輯思維（推理）是指“從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論”。以傳統的觀點看，數學邏輯思維主要是基于形式邏輯規則或方法（如命題的形式及其關系、三段論、分析與綜合）的演繹思維。但以現代的觀點看，數學邏輯思維不僅包括演繹思維，而且包括歸納思維、類比思維等。無論演繹還是歸納、類比，都是有邏輯的推理，即具有傳遞性的推理。

可見，數學邏輯思維注重的、體現的是數學內容之間的關系和數學思維展開（聯系）的過程（脈絡），并不一味地強調演繹具有的嚴謹性，而是兼顧歸納、類比帶來的靈活性，為的是更好地“思考現實世界”。由此，便可理解《義務教育數學課程標準（2022年版）》為什么沒有明確地給出邏輯思維（推理）的概念，而是在多處提出“建立數學對象之間、數學與現實世界之間的邏輯聯系”“構建數學的邏輯體系”“體現數學知識之間的內在邏輯關系”和“關注數學內容之間的邏輯聯系”，以及“合乎邏輯地推出結論”“合乎邏輯地解釋或論證數學的基本方法與結論”“形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質（習慣）”等要求。

二、培養數學邏輯思維的基本思路

（一）“講道理”：引導學生思考數學結論背后的原因

數學邏輯思維需要在合乎邏輯的思考過程中培養。合乎邏輯的思考通常針對的是結論（現象）背后的原因。因此，教師需要創設有懸念（蘊含認知沖突）的問題情境，激發學生主動思考“為什么”，逐步形成重論據、講道理的思維品質。

例如，教學“3的倍數的特征”時，我請學生在黑板上隨機寫下一組數（如9、13、19、36、117），然后告訴學生：“我可以瞬間知道某個數能否被3整除。”學生不相信這個說法，表示：“哪怕用計算器算，也達不到瞬間知道的效果吧。”對此，我立即在每個數字的下方寫下“能”或“不能”，隨后要求學生現場計算驗證。經過計算，學生驚訝地發現我沒有說謊。此時，學生紛紛好奇地詢問我是如何做到的。我沒有直接給出答案，而是繼續設計懸念：能被3整除的數有什么特征，可以使它不用經過計算或復雜計算，就能被識別出來嗎？學生紛紛展開自主探究。巡視中，筆者發現這個問題對學生而言有一定的難度，于是提示他們把1—100各數按10行10列寫下來，并圈出其中3的倍數，再斜著看尋找共性。大約過了5分鐘，一名學生突然用驚訝的語氣說：“我發現個位與十位上數字的和可以被3整除時，這個數也可以被3整除，如24和36。”“那么，這個猜想準確嗎？如果是三位數、四位數或更多位數呢？”我追問。學生擴大范圍，繼續尋找3的倍數驗證猜想，最終發現：“將不同數位上的數字相加，如果結果能夠被3整除，那么這個數便可以被3整除。”

這里，在有懸念的問題情境的驅動下（當然，還有教師有針對性的提示），學生主動思考為什么教師可以快速判斷一個數能否被3整除，最終通過具體案例發現一般規律，理解了背后的道理，從中培養了歸納思維。當然，針對部分能力較強的學生，還可以引導他們進一步思考為什么3的倍數具有這樣的特征，從而帶有一般性地說明背后的數學原理，從中培養演繹思維。

（二）“找聯系”：幫助學生梳理數學內容之間的關系

數學是一個有關聯、結構化的整體。數學邏輯思維體現的是數學內容之間的關系。為了發展學生的數學邏輯思維，教師需要多維度地幫助學生梳理關系，建立聯系。

第一，數學基礎知識之間的關系（知識結構）不僅要通過數學邏輯思維來梳理，而且是進一步展開數學邏輯思維的基礎。因此，知識（概念、命題）教學不能過于碎片化，不能過分針對知識點強調“節節清、堂堂清”，而要重視幫助學生梳理數學知識之間的關系。

例如，教完小學數學中的三種統計圖（條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖）后，可以結合案例，設計問題，引導學生比較辨析它們各自的特征、優缺點、適用范圍、注意事項，得到結論：條形統計圖中，各項數據的大小清晰可見;折線統計圖中，各項數據的變化直觀顯示;扇形統計圖中，各項數據在總體數據中的占比一目了然……由此便可幫助學生梳理出三種統計圖之間的關系，并以思維導圖的形式呈現。

第二，數學題目條件（包括求解對象或求證結論）之間的關系也需要通過數學邏輯思維來梳理，而且是進一步解題的基礎。因此，解題教學首先要幫助學生梳理有關條件之間的關系。

例1已知某服裝廠原來做一件裙子需要使用3.2米布匹，后來改進了制作的方法，目前每件裙子只需要使用2.8米布匹。那么，原來做791件裙子所使用的布匹現在可以做多少件裙子？

解決此題的關鍵是利用邏輯思維理清“原來做一件裙子需要使用3.2米布匹”“目前每件裙子需要使用2.8米布匹”“原來做791件裙子所使用的布匹”“現在可以做多少件裙子”等條件和問題之間的關系。顯然，第一個條件和第三個條件有關，由此可以得到原來做791件裙子所使用的布匹米數為791×3.2;而這一結論又和第二個條件以及最后的問題有關，由此可以得到現在可以做的裙子件數為791×3.2÷2.8。

第三，同一道題目常常可以用不同的方法解決，利用數學邏輯思維梳理不同方法之間的關系，可以提升學生對知識運用、方法關聯和問題本質的認識。因此，解題教學也要幫助學生梳理解題方法之間的關系。

例如，在利用上述算術方法解決例1后，可以引導學生思考其他解題方法，比如方程方法：791×3.2=2.8x。由此，便可引導學生比較辨析兩種方法的異同，得到結論：它們都是基于題目條件中蘊含的數量關系來列式解題的，算術方法的每一步計算在方程方法的解方程過程中都有體現;算術方法以要求的量為中心，逐步考慮數量關系，必要時逆用數量關系;方程方法以數量關系為中心，整體考慮正向列式，把求未知數的過程放在解方程的機械操作中。

這里需要指出的是，例1比較簡單，可能的解法也比較少，且在兩種方法的比較中，算術方法的繁難和方程方法的簡便還得不到充分的體現。因此，教師在教學中，可以逐漸提升題目難度，引導學生思考更多的方法，并在方法比較中感受方程方法的優越性。比如：

例2A地和B地的鐵路長為357公里，快車從A地駛往B地，慢車從B地駛往A地。兩車同時相向出發，3小時后相遇。已知快車每小時行駛79公里，則慢車每小時行駛多少公里？

例2的難度便稍微大了一些，用算術方法求解時，可以基于路程和，先求慢車的路程，再求其速度;也可以基于路程和，先求速度和，再求慢車的速度。用方程方法求解時，兩種算術方法的差異便體現在解方程過程中分配律的使用上。

第四，數學內容之間的關系還體現在數學題目之間的關系上。因此，解題教學還要在變式探究（一題多變）的基礎上，幫助學生梳理數學題目之間的關系。

例如，在利用多種方法解決例1、例2后，可以引導學生比較辨析它們本質（數學模型）上的異同，得到結論：它們都蘊含兩個“單個量×個數=總量”的數量關系，但例1中兩個數量關系中的總量相等，例2中兩個數量關系中的總量和為定值。因此，例2可以看作例1的變式。