孫閩
摘要:數學邏輯思維注重的、體現的是數學內容之間的關系和數學思維展開的過程,并不一味地強調演繹具有的嚴謹性,而是兼顧歸納、類比帶來的靈活性,為的是更好地“思考現實世界”。培養學生數學邏輯思維的基本思路有:“講道理”,即引導學生思考數學結論背后的原因;“建聯系”,即幫助學生梳理數學內容之間的關系,包括數學知識、題目條件、解題方法以及數學題目之間的關系。
關鍵詞:邏輯思維;邏輯推理;數學教學;道理;聯系
一、對數學邏輯思維的認識
數學是思維的科學。數學思維中最重要的是邏輯思維——甚至可以說,數學思維在本質上就是邏輯思維或者說邏輯推理。因此,邏輯思維(推理)是數學教學要培養的最重要的學生核心素養之一。
一般來說,邏輯思維(推理)是指“從一些事實和命題出發,依據規則推出其他命題或結論”。以傳統的觀點看,數學邏輯思維主要是基于形式邏輯規則或方法(如命題的形式及其關系、三段論、分析與綜合)的演繹思維。但以現代的觀點看,數學邏輯思維不僅包括演繹思維,而且包括歸納思維、類比思維等。無論演繹還是歸納、類比,都是有邏輯的推理,即具有傳遞性的推理。
可見,數學邏輯思維注重的、體現的是數學內容之間的關系和數學思維展開(聯系)的過程(脈絡),并不一味地強調演繹具有的嚴謹性,而是兼顧歸納、類比帶來的靈活性,為的是更好地“思考現實世界”。由此,便可理解《義務教育數學課程標準(2022年版)》為什么沒有明確地給出邏輯思維(推理)的概念,而是在多處提出“建立數學對象之間、數學與現實世界之間的邏輯聯系”“構建數學的邏輯體系”“體現數學知識之間的內在邏輯關系”和“關注數學內容之間的邏輯聯系”,以及“合乎邏輯地推出結論”“合乎邏輯地解釋或論證數學的基本方法與結論”“形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質(習慣)”等要求。
二、培養數學邏輯思維的基本思路
(一)“講道理”:引導學生思考數學結論背后的原因
數學邏輯思維需要在合乎邏輯的思考過程中培養。合乎邏輯的思考通常針對的是結論(現象)背后的原因。因此,教師需要創設有懸念(蘊含認知沖突)的問題情境,激發學生主動思考“為什么”,逐步形成重論據、講道理的思維品質。
例如,教學“3的倍數的特征”時,我請學生在黑板上隨機寫下一組數(如9、13、19、36、117),然后告訴學生:“我可以瞬間知道某個數能否被3整除?!睂W生不相信這個說法,表示:“哪怕用計算器算,也達不到瞬間知道的效果吧?!睂Υ?,我立即在每個數字的下方寫下“能”或“不能”,隨后要求學生現場計算驗證。經過計算,學生驚訝地發現我沒有說謊。此時,學生紛紛好奇地詢問我是如何做到的。我沒有直接給出答案,而是繼續設計懸念:能被3整除的數有什么特征,可以使它不用經過計算或復雜計算,就能被識別出來嗎?學生紛紛展開自主探究。巡視中,筆者發現這個問題對學生而言有一定的難度,于是提示他們把1—100各數按10行10列寫下來,并圈出其中3的倍數,再斜著看尋找共性。大約過了5分鐘,一名學生突然用驚訝的語氣說:“我發現個位與十位上數字的和可以被3整除時,這個數也可以被3整除,如24和36?!薄澳敲?,這個猜想準確嗎?如果是三位數、四位數或更多位數呢?”我追問。學生擴大范圍,繼續尋找3的倍數驗證猜想,最終發現:“將不同數位上的數字相加,如果結果能夠被3整除,那么這個數便可以被3整除。”
這里,在有懸念的問題情境的驅動下(當然,還有教師有針對性的提示),學生主動思考為什么教師可以快速判斷一個數能否被3整除,最終通過具體案例發現一般規律,理解了背后的道理,從中培養了歸納思維。當然,針對部分能力較強的學生,還可以引導他們進一步思考為什么3的倍數具有這樣的特征,從而帶有一般性地說明背后的數學原理,從中培養演繹思維。
(二)“找聯系”:幫助學生梳理數學內容之間的關系
數學是一個有關聯、結構化的整體。數學邏輯思維體現的是數學內容之間的關系。為了發展學生的數學邏輯思維,教師需要多維度地幫助學生梳理關系,建立聯系。
第一,數學基礎知識之間的關系(知識結構)不僅要通過數學邏輯思維來梳理,而且是進一步展開數學邏輯思維的基礎。因此,知識(概念、命題)教學不能過于碎片化,不能過分針對知識點強調“節節清、堂堂清”,而要重視幫助學生梳理數學知識之間的關系。
例如,教完小學數學中的三種統計圖(條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖)后,可以結合案例,設計問題,引導學生比較辨析它們各自的特征、優缺點、適用范圍、注意事項,得到結論:條形統計圖中,各項數據的大小清晰可見;折線統計圖中,各項數據的變化直觀顯示;扇形統計圖中,各項數據在總體數據中的占比一目了然……由此便可幫助學生梳理出三種統計圖之間的關系,并以思維導圖的形式呈現。
第二,數學題目條件(包括求解對象或求證結論)之間的關系也需要通過數學邏輯思維來梳理,而且是進一步解題的基礎。因此,解題教學首先要幫助學生梳理有關條件之間的關系。
例1已知某服裝廠原來做一件裙子需要使用3.2米布匹,后來改進了制作的方法,目前每件裙子只需要使用2.8米布匹。那么,原來做791件裙子所使用的布匹現在可以做多少件裙子?
解決此題的關鍵是利用邏輯思維理清“原來做一件裙子需要使用3.2米布匹”“目前每件裙子需要使用2.8米布匹”“原來做791件裙子所使用的布匹”“現在可以做多少件裙子”等條件和問題之間的關系。顯然,第一個條件和第三個條件有關,由此可以得到原來做791件裙子所使用的布匹米數為791×3.2;而這一結論又和第二個條件以及最后的問題有關,由此可以得到現在可以做的裙子件數為791×3.2÷2.8。
第三,同一道題目常??梢杂貌煌姆椒ń鉀Q,利用數學邏輯思維梳理不同方法之間的關系,可以提升學生對知識運用、方法關聯和問題本質的認識。因此,解題教學也要幫助學生梳理解題方法之間的關系。
例如,在利用上述算術方法解決例1后,可以引導學生思考其他解題方法,比如方程方法:791×3.2=2.8x。由此,便可引導學生比較辨析兩種方法的異同,得到結論:它們都是基于題目條件中蘊含的數量關系來列式解題的,算術方法的每一步計算在方程方法的解方程過程中都有體現;算術方法以要求的量為中心,逐步考慮數量關系,必要時逆用數量關系;方程方法以數量關系為中心,整體考慮正向列式,把求未知數的過程放在解方程的機械操作中。
這里需要指出的是,例1比較簡單,可能的解法也比較少,且在兩種方法的比較中,算術方法的繁難和方程方法的簡便還得不到充分的體現。因此,教師在教學中,可以逐漸提升題目難度,引導學生思考更多的方法,并在方法比較中感受方程方法的優越性。比如:
例2A地和B地的鐵路長為357公里,快車從A地駛往B地,慢車從B地駛往A地。兩車同時相向出發,3小時后相遇。已知快車每小時行駛79公里,則慢車每小時行駛多少公里?
例2的難度便稍微大了一些,用算術方法求解時,可以基于路程和,先求慢車的路程,再求其速度;也可以基于路程和,先求速度和,再求慢車的速度。用方程方法求解時,兩種算術方法的差異便體現在解方程過程中分配律的使用上。
第四,數學內容之間的關系還體現在數學題目之間的關系上。因此,解題教學還要在變式探究(一題多變)的基礎上,幫助學生梳理數學題目之間的關系。
例如,在利用多種方法解決例1、例2后,可以引導學生比較辨析它們本質(數學模型)上的異同,得到結論:它們都蘊含兩個“單個量×個數=總量”的數量關系,但例1中兩個數量關系中的總量相等,例2中兩個數量關系中的總量和為定值。因此,例2可以看作例1的變式。