高中數(shù)學課堂中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力

謝菊連

摘 要：如何在建模思維下有效提高高中數(shù)學教師的教學能力，是擺在現(xiàn)階段高中數(shù)學教師面前的一個重要問題。將建模思維引入課堂，可以有效提高學生的思維能力，進而通過數(shù)學思維加深學生的數(shù)學認知，培養(yǎng)解決數(shù)學問題的能力，不斷拓展學習思維，逐漸讓學生養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的能力。所以在建模思維下開展高中數(shù)學課堂教學，就需要教師從現(xiàn)階段的教學現(xiàn)狀出發(fā)，基于符合學生學習需求的教學方法，應用建模思維將不同領域的數(shù)學知識進行融合，然后將之展現(xiàn)在課堂環(huán)境中對學生進行培養(yǎng)和引導。基于此，學生的學習能力與學科素養(yǎng)必然可以得到提升，建模思維在數(shù)學課堂中的應用效果也會得到最大化的發(fā)揮。

關鍵詞：建模思維；高中數(shù)學；課堂教學

隨著新課改的深入，高中數(shù)學教師在教學過程中需要將核心素養(yǎng)作為重要內(nèi)容展開教學，建模思想是其中重要的組成部分，是一種非常重要的素養(yǎng)。教師在授課的過程中需要注重將此思想逐步滲透在教學情境中，讓學生能夠在潛移默化中具有此種能力，促進其在數(shù)學領域具有更好的發(fā)展前景，為學生全方位健康發(fā)展夯實基礎[1]。這就需要教師在授課的過程中積極培育學生的建模思想，讓其能夠對數(shù)學知識具備更加立體全面的理解，切實促進學生在數(shù)學領域的全面發(fā)展[2]。本文以現(xiàn)階段高中數(shù)學教師授課方式為研究對象展開分析，提出了較為可行的教學方案，希望為廣大高中數(shù)學教師培養(yǎng)學生的建模思想提供參考借鑒。

一、培養(yǎng)高中生建模思維和能力的意義

高中數(shù)學的難點，在于知識點難度和深度加大，以及問題的抽象化。以數(shù)學建模為核心的教學方式，能將知識點與現(xiàn)實生產(chǎn)生活結合起來，讓學生真正走進課堂，成為課堂的主體，成為知識體系中最直接的參與者。在教學過程中充分發(fā)揮數(shù)學建模的作用，可以幫助學生找到解決問題的方法和規(guī)律[3]。更重要的是，我們可以通過對課堂的外延，從而培養(yǎng)學生團結互助的優(yōu)秀品質(zhì)。一是追本溯源，真正掌握。數(shù)學建模的意義在于解析某種現(xiàn)象的存在性，并通過合理地演算預測事物發(fā)展的軌跡。經(jīng)過系統(tǒng)分析，利用科學知識將數(shù)學模型建立[4]。基于數(shù)學思維構建的數(shù)學模型，作用于數(shù)學方法解答問題的過程。隨著高中數(shù)學教學的演變，數(shù)學建模已經(jīng)成為數(shù)學教學的一項重要方式，同時為學生的自主學習創(chuàng)造了必要的條件。二是豐富外延，有的放矢。在高中數(shù)學教學過程中，借助創(chuàng)設模型解答問題是必不可少的，因此教師不僅需要考查學生創(chuàng)設模型的合理性，解答問題的準確度，同時還要讓學生反復驗證所得結果是否符合實際[5]。只有這樣，才能讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念之間的聯(lián)系，進而真正掌握與之相關的概念。為此，高中數(shù)學教師在開展教學工作的過程中，就需要立足學生的實際學情，以培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為指向來優(yōu)化學生的數(shù)學建模能力，讓學生能夠在實際應用中加深對所學數(shù)學知識的理解與掌握。

二、培養(yǎng)高中生建模思維和能力的策略

（一）以史為鑒，透過現(xiàn)象看本質(zhì)

“興趣是最好的老師”。教師為培養(yǎng)學生對數(shù)學知識的渴求，可通過解決實際的問題，搭建一座學生與古代圣賢交流的“橋梁”。在講解“等比數(shù)列的求和”時，教師可以引入一個經(jīng)典故事：古印度時期，有個人叫西薩，這個人是國際象棋的發(fā)明者，當時的國王對他贊賞有加，并承諾可以滿足他的一個愿望。西薩說：“我希望能夠給我棋盤的64個方格上放上我要求的東西，第一個格子放1粒小麥，第二格放兩粒，第三格放4粒，往后的每一個格子都是前一個格子的一倍，一直到第64個格子。”國王聽了哈哈大笑，覺得這個要求也太簡單了，認為西薩的智慧不過如此，就欣然同意了。這個時候，教師可以組織學生討論，猜想國王是否能夠滿足西薩的要求，并對自己的結論做出說明。當然，事實上這是一個涉及指數(shù)函數(shù)的數(shù)學模型，每個格子的米的數(shù)量為=2，而2的63次方=9223372036854775808，數(shù)量遠超當時印度的生產(chǎn)力水平。通過故事的方式，讓學生切身體會到歷史上有趣的數(shù)學故事，不僅可以激發(fā)學習興趣，還能夠有效培養(yǎng)學生的建模思維。由此可見，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想，能夠引導學生充分發(fā)揮自己的主體作用，利用自身的邏輯思維能力、抽象思維意識和數(shù)學創(chuàng)造能力以及科學探究精神等，來構建更加系統(tǒng)、直觀的數(shù)學模型，降低復雜數(shù)學知識的理解難度，同時為學生創(chuàng)造更廣闊的自主發(fā)揮空間，進一步提高學生的數(shù)學學習興趣。

（二）在生活中發(fā)現(xiàn)問題，建立數(shù)學建模的思維

在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中，隨處會遇到需要應用數(shù)學知識解決的實際問題，教師可引領學生通過數(shù)學的方法，合理、科學地解決實際問題，得出處理類似問題的最優(yōu)解。如：在“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”的教學中，問題：某種雜志原以每本2.5元價格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本。如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元？經(jīng)過與學生討論分析，知道銷售額等于銷售單價乘以銷售數(shù)量，于是假設每本雜志的定價為元，所以銷售收入為[80000-（-2.5/0.1）×2000]·。在此基礎上，教師可以繼續(xù)引導學生，如何設置定價，銷售收入將達到最大值。另外，是否銷售收入最大，即為現(xiàn)實中的最優(yōu)解，是否需要考慮成本導致的利潤是否達到最大值，商品市場保有量等系列商業(yè)問題。借助這種方法，可以更加形象地展示生活中的具體事例，進而讓學生更加直觀地感受到建模的概念。

（三）開辟戶外課堂，加深建模理解

建模的概念往往讓學生覺得難以觸碰，但事實并非如此。簡單來講，數(shù)學建模可以廣泛應用于數(shù)學的各類應用題中。它可以讓學生在應用題中快速整理有效信息，并借此來構建模型解決問題。隨著素質(zhì)教育的貫徹落實，當前我國對學生建模思維的培養(yǎng)也越發(fā)重視。如何提高學生數(shù)學建模的思維能力，促進學生對數(shù)學知識的融會貫通，筆者就從以下幾點探討在高中階段開展數(shù)學建模教學的具體作用及其策略。作為課堂的重要補充，第二課堂的數(shù)學知識補充同樣重要。通過水庫—維泥沙模型，我們以加強學生數(shù)學建模的認知[6]。二戰(zhàn)以后，全世界都在大規(guī)模修建水庫，各國水庫的增長總量超過了四倍，問題也隨之而來，水庫的運行問題擺在了人們面前。水庫泥沙淤積計算的方法有一維不平衡輸沙數(shù)學模型、二維和三維水動力數(shù)學模型等。其中，一維不平衡輸沙數(shù)學模型具有計算直觀、求解的收斂性、穩(wěn)定性、相容性早已形成完善研究成果的特點。在對模型的初步分析和理解上，教師可以引導學生分析關于水庫包括淤積形態(tài)、淤積庫容、水庫調(diào)節(jié)等技術參數(shù)，對水庫的運行具有一定的參考性，也為增強學生對數(shù)學建模提供一個可靠的現(xiàn)實模型。在高中階段的數(shù)學教學中，數(shù)學建模的思維有著廣泛的應用。在這個教育教學過程中，教師應當為學生創(chuàng)造出更豐富、更高效、更契合實際的模型背景，從而讓學生能結合自己的現(xiàn)實生活，真正建立起生活與數(shù)學的聯(lián)系，挖掘數(shù)學建模的本質(zhì)，讓生活聯(lián)系數(shù)學的同時，讓數(shù)學概念更貼近生活，讓學生感受到數(shù)學的趣味性、實用性，以此激發(fā)學生對高中數(shù)學學習的興趣。此外，教材作為學生學習中最直接的資料，有著非常優(yōu)質(zhì)的資源等待教師挖掘與使用。作為教師，應當考慮如何合理、科學地使用教材，讓其發(fā)揮應有的作用，以輔助學生建立數(shù)學建模的思維。如必修“函數(shù)的應用”中，稅收制度在我國不斷完善，文中提及最普遍的個人所得稅模型。個人所得稅作為累進制模型，有利于調(diào)整收入分配關系，利于社會公平的實現(xiàn)。作為函數(shù)表達的一種重要而較為復雜的模型，分段函數(shù)的學習在高中階段有著深刻而廣泛的意義，也是深入學習函數(shù)概念的重要途徑。個人所得稅累進制分段模型為：

（四）構建載體，滲透建模思想

數(shù)學課堂教學工作的開展可以分成兩個階段，第一是知識產(chǎn)生的階段，第二是知識應用的階段。知識產(chǎn)生過程中教師需要根據(jù)學生的已有知識結構，創(chuàng)設良好的情境，將新舊知識進行緊密聯(lián)系，讓學生在研究新知識的時候可以對其重要的信息進行歸納和分析，并逐步構建嶄新的學習體系。通過日常教學可以發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學知識的形成過程都是一個數(shù)學模型建立的過程。在實際教學過程中，教師卻忽略了建模相關知識和方法引導，許多學生很難形成數(shù)學建模意識。在當前的教學氛圍下，為了有效地提高學生的學科核心素養(yǎng)，實現(xiàn)學科教學目標，教師在教學中需要有意識地滲透數(shù)學建模思想，讓學生了解數(shù)學建模過程，對數(shù)學建模有正確的認識。鼓勵學生提出問題，大膽假設，構建數(shù)學模型，解決數(shù)學問題，最終得出結論，體會數(shù)學建模的一般過程。例如：在引導學生學習函數(shù)相關知識時，教師可以通過教學實例，讓學生體會函數(shù)建模的過程和方法，教師給學生展示了一組某地區(qū)不同身高的成年男士的平均體重圖表，讓學生結合自己學習的知識，用自己熟知的方式選擇可以代入的函數(shù)。并且根據(jù)自己的分析，繪制出相應的圖像，標注相應的數(shù)據(jù)，與所確定的數(shù)據(jù)進行對比，之后進行模型檢測。通過這樣的方式讓學生體會數(shù)學模型的建立過程，提高學生的思維能力，使學生掌握數(shù)學建模的有效方式。數(shù)學知識產(chǎn)生的過程中，教師需要帶領學生研究基本的知識概念，并掌握數(shù)學定理的精髓，學會推理和證明定理的核心思想，并組織學生開展數(shù)學公式的推導工作。實際上，在產(chǎn)生數(shù)學知識的過程中，教師需要注重幫助學生構建數(shù)學建模思想。針對這一教學目的，教師需要強化此思想的滲透力度，在此期間需要將概念、公式、定理作為教學的載體，并在實際生活中尋找到更為適合的教學元素，讓學生在研究數(shù)學知識的時候能夠將其與自己的實際生活進行緊密聯(lián)系，讓更多的數(shù)學知識可以以更為生動形象的生活化形態(tài)展現(xiàn)在學生面前，學生在實際生活中也能積極運用數(shù)學知識解決問題的，將數(shù)學問題抽象出來，運用適合的文字語言對其加以展示，最終能夠建立相關的數(shù)學模型，在解題的時候能夠具備更為明確的思路，學生在此期間也能夠意識到其實際運用的價值。

（五）課堂練習，培育建模意識

在高中數(shù)學課堂中，教師需要引導學生利用數(shù)學知識解決實際存在的問題，這是最為重要的一個教學環(huán)節(jié)，是學生將數(shù)學知識從課本上內(nèi)化在腦海中的過程。學生在解決問題的時候能夠對所學的數(shù)學知識加以鞏固復習，并可以及時了解到自身存在的不足之處。同時，學生在解決數(shù)學的問題的時候應該靈活使用建模思想，對數(shù)學概念或者題目的核心要點加以分析，并且需要貫穿課程始終。只有這樣學生才能夠依靠自己的力量獨立解決問題，找到更為適合的解決途徑。所以，高中教師在培育學生建模意識的時候，需要將課堂練習題目作為切入要點，靈活改變練習形式，讓學生能夠有意識地運用建模思想，依照建立好的數(shù)學模型尋覓問題的答案。學生在此過程中能夠充分體會到建模思想的核心內(nèi)涵，在潛移默化中將數(shù)學知識與建模思想加以充分融合，在后續(xù)的學習過程中做到融會貫通。提高教學效率和教學質(zhì)量，推動他們快速地成長與發(fā)展。教師在應用數(shù)學練習題的時候也應該緊緊圍繞一個核心問題進行設計、開發(fā)和應用，引導學生從多個角度加以分析，嘗試運用多種思維方式解決題目，這樣能夠促進建成多種數(shù)學模型。這樣也能夠充分鍛煉學生的靈活思維方式，讓其能夠對數(shù)學知識具有更加深刻的理解。由此可見，教師在教學的過程中需要從課堂練習的角度入手對學生進行引導，在例題的應用、問題的分析以及解題方法的論證過程中，逐漸培養(yǎng)學生的問題探討與問題解讀能力，從而實現(xiàn)對學生邏輯思維的重點培養(yǎng)，以及對學生建模意識的有效引導，這對促進學生的學習素養(yǎng)，以及拉動課堂的教學效率具有重要的引導意義和幫助作用，同時對改變教師傳統(tǒng)的教學方式和方法也有一定的輔助效果。

結束語

在高中數(shù)學課堂中，教師基于建模教學的方法對學生進行知識教學，能夠讓學生在參與數(shù)學學習的過程中，從抽象思維面向具象思維進行不斷轉變，這對培養(yǎng)學生的學習能力、促進教師的教學水平，以及驅動課堂的整體發(fā)展和建設具有重要的意義和引導作用。另外，在現(xiàn)實教學環(huán)境中，教師還需要基于建模素材的應用幫助學生從問題探究的角度設計問題的延伸思路，進而轉變學生學習習慣、學習狀態(tài)與學習認知，這對優(yōu)化學生的數(shù)學學習素養(yǎng)以及高中數(shù)學課堂的整體發(fā)展具有重要意義。

參考文獻

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本文系教育部福建師范大學基礎教育課程研究中心2021年開放課題“基于學科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學建模活動教學設計研究”研究成果之一。項目編號：KCZ2021024。