開發拓展型課程，培養學生幾何直觀

俞全波

[摘要]義務教育拓展型課程的開發注重的是方法的拓展和思維的拓展，目的是通過對拓展問題的解決，感悟數學解題策略.教學設計注重多樣性，引導和鼓勵學生進行獨立思考、合作探究，并運用所學知識分析和解決實際問題.本課堂教學以幾何中點有關的軌跡問題的探究，培養學生幾何直觀，從而提升學生的數學思維和數學素養.

[關鍵詞]拓展型課程;幾何直觀;問題探究;課堂教學

中學學生發展核心素養主要指學生應具備的能夠適應終身發展和社會發展需要的必要品格和關鍵能力.中國學生發展核心素養以培養“全面發展的人”為核心，分為文化基礎、自主發展、社會參與三個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新等六大素養.在數學的教學中，義務教育拓展性課程建設正在如火如荼地進行，為培養學生的興趣和綜合素養，促進學生全面而有個性地發展，本著多樣性、層次性、綜合性、實踐性的基本原則，在各個年級滲透初中數學核心素養，如幾何直觀、歸納推理能力等.鑒于此分析，數學拓展性課程的開發因著力于普及型課程與提高型課程兩方面，普及型課程的開發重點關注教材原有的性質規律，結合生活實例做出合理解釋，重在培養學生興趣;提高型課程可選擇適當內容進行拓展，重在培養學生的思維.本文以“軌跡問題”為例，對初中數學如何開發及開展拓展性課程做一些嘗試.

教學內容的選擇和依據

拓展性課程的開發因以課本為本，教師能通過對教材的系統把控及學生思維的瓶頸提出較好的課題及教學目標.此類問題的選擇因側重于基本思想、基本技能的提升，讓學生能通過本節課的學習不僅在知識上有所拓展，更重要的是能體會數學思想并把這一思想用于解決其他問題.因此，本節課的教學對象設定為九年級學生.教學基礎是在他們學習了圓的基本性質、弧長計算公式、三角函數及相似三角形的情況下進行的.課題定為“一類與中點有關的軌跡問題的探究”.

教學目標：1.理解軌跡問題的含義，學會用畫圖猜想點的運動軌跡，進一步運用具體條件驗證結論.

2.經歷直觀感知——畫圖探究——科學驗證的數學學習過程，體會類比的數學學習方法.

3.感受數學中靜態與動態的聯系，感受在數學變化中找不變的魅力.

教學重點：畫圖求軌跡并驗證軌跡是圓弧還是線段.

教學難點：如何合理使用中點，如何在動態中找不變的量（點、線、角等）是本節課的難點.

教學過程的設計和說明

拓展性課程的編寫需思考如何促進學生思維，一般從學生較熟悉的生活情景或者已有的教學基礎出發，讓學生生成既熟悉又陌生的情愫，從而激發學生的求知欲.教學環節設計因有梯度性，讓不同層次的學生都能體會到學習數學的樂趣.同時，在教學形式上更應注重多樣性，引導和鼓勵學生進行獨立思考、主動探究、合作交流，能大膽地用所學知識分析和解決生活問題，從而提升當代中學生的數學素養.

（一）立足課本，提出問題：

在浙教版數學九年級下冊第一章“1.1銳角三角函數”有這樣一道練習：

如圖1所示，一根3m長的竹竿AB斜靠在墻上，當端點A離地面高度AC的長為1m時，竹竿AB的傾斜角α的正切tanα的值是多少？當端點A位于A′時，離地面的高度A′C為2m，傾斜角α′的正切tanα′的值是多少？tanα的值可以大于100嗎？

在該問題的基礎上作如下修改：

問題1：如圖2所示，一根長為2m的木棒AB斜靠在墻角處，此時BC為1m，當A點下滑至A′處并且A′C=1m時，木棒AB的中點P運動的路徑長為________m.

提出問題：點P的運動路徑是什么？

引出課題：點的運動路徑問題是我們學習的一個難點，當你遇到一個全新的路徑運動問題時，到底如何尋求解題思路是我們這節課要解決的問題.今天就來研究一類與“中點”這一條件有關的路徑問題.

（二）探索路徑，發覺竅門

問題2：如圖3所示，AB為⊙O的直徑，AB=8，點C為圓上任意一點，D是線段AC的中點，當點C在⊙O上運動一周，點D運動的路徑長為________.

教學步驟：

1.要求學生進行獨立思考，尋求解決問題的方法，教師根據學生提出的解決問題的辦法，進行相應指導.

2.請同學展示探究路徑過程.根據觀察學生的解決過程，遵循特殊到一般的教學方法，引導學生經歷從直觀感知——理性認知——幾何辯證這樣的數學思考過程.

3.進一步提出問題：題目中的關鍵條件是如何幫助學生發現運動的路徑是一段圓弧.在解決完這一問題之后，給今后的解決問題帶來哪些經驗？問題1和問題2的運動路徑都是圓弧，那么軌跡是圓弧的動態圖形必須具備怎樣的幾何特征？

本題有多種說明該軌跡是圓弧的方法：

方法一：由點D是中點及垂徑定理可得，∠ADO是直角，則點D的運動路徑就是以AO為直徑的圓弧.

方法二：連接BC，由AB是直徑，得出∠ACB是直角，再根據點D、O分別是AC、AB中點得出DO是三角形ABC的中位線，則DO∥BC，則∠ADO是直角，則點D的運動路徑就是以AO為直徑的圓弧.

解決該問題的關鍵之一是在變化中找不變的量——即“動中求靜”，關鍵之二是合理地運用題目中的已知條件來解決問題.得出的一般結論是：軌跡為圓弧的幾何圖形中有定點及定長，或者圖中有定角及定長.問題的本質是：動點到定點的距離保持不變.

設計意圖通過對該問題的研究，讓學生體會解決路徑問題的一般方法，讓學生經歷從直觀畫圖感知到理性認識的過程.并且初步體會中點在這一問題中的用途.在尋求問題的過程中，引導學生在變化中找不變，在動態中找靜態.

（三）運用方法，解決問題

教學步驟：

1.要求學生根據問題1和問題2積累的經驗獨立思考并尋求解決辦法，教師觀察學生解決問題的方法.

2.小組討論，通過猜想——驗證——計算解決問題，并嘗試能用不同的方法解決這一問題，找到圖形與圖形之間的聯系.

3.課堂展示，請每個小組派代表展示小組學習成果并予以匯報.

解決該問題的方法主要有以下幾種：

方法二：如圖6所示，取AB的中點O，連接OP，OC，取OC中點N，連接MN，則MN是△POC的中位線，則M的路徑是以N為圓心，MN長為半徑的圓弧.

方法三：如圖7所示，連接AP，PB，由AB是直徑，則∠APB是直角，分別取AC，BC中點H，I，連接HM，MI，HI，則△PAB∽△MHI，則∠HMI是直角，而HI是定長，則M點的路徑是以HI為直徑的圓弧.

方法四：如圖8所示，把該半圓補全，便可把問題轉化成問題2，思路同上.

（四）歸納總結，形成體系

1.軌跡是圓弧的幾何動態圖形往往有何特點？

2.你是如何合理使用中點這一條件的？

僅僅作為知識傳遞的課程不具有拓展性，我們應該把課程背后無限的可能拓開去、展開來.因此，能夠使學生具有拓展能力的課程才是真正的拓展性課程，并不是設置一類課程就叫拓展性課程.在解決問題之后，教師要求學生能自行總結軌跡問題是圓弧的幾何動態圖形所具備的特征，即定點+定長以及定角+定長（本節課介紹90°角）.同時，針對以上問題中所出現的共同條件即“中點”這一條件，讓學生能對初中階段數學解題中能夠看到的中點問題作一個簡單的總結，遵循了“源于課本，但高于課本”的原則.讓學生看到題目中的中點，能結合直角三角形，聯系到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理;在圓中，能結合中點考慮到垂徑定理;在等腰三角形中，能與等腰三角形三線合一這一定理相結合;同時，在一般的三角形中，能用中位線解決問題，或者構造相關三角形解決問題等等，這些重要經驗的積累便是數學拓展課最為重要的價值，為進一步學習打下扎實基礎.

教后反思及幾點思考

拓展性課程的開發注重的是方法論層面的拓展，而不是窄化意義上知識的拓展.數學學科強調不同的人學習不同的數學，不因知識過分強調往深往難拓展，這樣便失去了拓展課本該有的意義.

1.源于課本，“簡約”而不簡單

本節課從書本一個較簡單的問題出發，合理地開發教材，對問題作適當變式，讓學生在熟悉的環境下挖掘新的內涵，立足課本、由淺至深、層層深入的教學設計，體現的數學拓展課堂的簡約化，簡約不是簡單的壓縮與簡化，而是一種深廣的豐富，是寓“豐富”于“簡單”之中.

2.注重提煉方法，積累經驗

拓展課的重要目的是通過對拓展問題的解決，感悟數學解題策略，提煉基本數學方法，從而達到學生能力的目的.本節課的設計緊緊抓住“在變化中找不變”這一原則，時刻抓住圖形的特征.在總結方法之后，話鋒回轉，抓住問題的本質，把這類問題融會貫通，提高學生對該問題更深層次的理解.

3.注意思維轉換，拓展思維

拓展學生的思維，其實就是要讓學生固有的思維空間進一步擴大，就是要提高學生思維轉換的靈活程度.從學生的實際情況看，拓展學生的思維，主要是通過提高學生的思維靈活能力和轉換能力來實現的.畢竟，對初中學生而言，其學習經驗和生活經驗都不足，思維能力也有待提高，要讓學生實現思維的高度提升并不容易，而通過轉換的思維方式，也是可以實現的.

素質教育要求學生具備較強的綜合素養，思維能力就是其中最關鍵的素質之一.初中數學教師在教學中擔負著培養學生數學基礎知識，同時也擔負著培養學生思維能力，為學生的發展奠定思想基礎的重任.因此，在初中數學教學中，教師應該根據學生的需要，對學生進行有針對性的數學思想訓練，有效地拓展學生的思維.數學方法是解決問題的手段和工具，而數學思維則是引導學生執行數學思想的關鍵.數學思想方法是數學的精髓，只有掌握了數學思想方法，才算真正掌握了數學.因此，數學思想方法的掌握，是建立在學生數學思維的基礎之上的.這就要求初中數學拓展課中，有效開展思維教學，從各方面拓展學生的數學思維，為學生的綜合能力的發展奠定基礎，這樣的拓展課開展才有意義.