提煉基本模型，建構解題方法

[摘要]在解決數學問題的過程中，探究答案只是第一步，提高解題素養才是最終目的.多角度聯系知識點，以基本模型為突破口，能快速越過解題障礙，找到正確的解題方向，建構系統的解題方法.

[關鍵詞]線段;模型;思想方法

在呈現數學結果的同時，教師應重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題，構建數學模型，尋求結果，解決問題的過程[1].因此，數學學習不僅要關注結果，更要關注解決問題的過程，注重知識經驗的積累和基本模型的應用.課程內容也包括蘊含的數學思想方法.這就要求學生在掌握相關知識的基礎上，還要領悟數學思想并歸類數學方法.文章以一道中考幾何復習題為例，探究如何提煉基本模型，尋找解題思路，建構系統的解題方法.

原題呈現

原題如圖1所示，沿折痕AE折疊矩形紙片ABCD，使點D落在對角線AC上的點F處.若AB=6，AD=8，求CE的長.

分析本題以折疊為背景求線段的長度，條件清晰明了，涵蓋三角形、矩形、折疊的有關性質，涉及全等三角形、垂直、勾股定理、線段中垂線、相似三角形等核心知識，能用多種方法求解，既能給學生提供廣闊的思維空間，又能提高學生的解題素養.

在幾何題中如何求線段的長度呢？顯然，由于線段DE=EF且DE+EC=DC=AB=6，所以線段CE的長可由DE或EF的長來轉化.下面分別從“形”和“數”兩方面探究解題思路：

“形”，即模型法，首先從直觀出發，找出與所求線段相關的基本圖形，如△CEF，△ADE，△AEF和△AEC，然后運用幾何模型架起一座溝通已知線段與所求線段的橋梁，最后建立等量關系求解;

“數”，即代數法，深挖題目條件反映的代數方法，可從建立方程、運用線段長度公式、利用兩線段的比例關系等方面來分析.

解法探究

1.勾股定理，直接入題

思路1通過觀察可以發現，在含有所求線段的圖形中，△CEF最小，于是提取此直角三角形.由條件易知CE+EF=6，CF=2，可運用勾股定理建立CE，EF與CF之間的數量關系，再通過設未知數建立方程求解.

小結勾股定理是直角三角形中求邊的長的第一選擇，也是學生最熟悉的方法，具有簡單直接、快速入題的效果.若已知直角三角形中任意兩條邊的長或一條邊的長與另兩條邊的數量關系，可優先考慮勾股定理.

2.借助比例，快速解答

思路2分析△CEF中三條邊的關系可知CF=2，CE與EF的長未知，可嘗試建立已知邊長與未知邊長的比例式.聯想與△CEF相關聯的圖形，于是可建立相似模型，利用相似三角形來求解.

小結相似法是初中數學中求線段長度的必勝法寶，能與多個知識點發生聯系，應用范圍較廣，且模型千變萬化.題中出現多個直角三角形，提示有相似的可能.鎖定目標圖形△CEF，發現公共角模型和三垂直模型，且△CAD和△ABC的三邊長已知，于是相似方法可行，如解法2和解法3，這兩種解法簡便易懂，計算量小.關注“折疊”這一條件，便會聯想到等腰三角形DEF，通過構造隱形圓，將兩個相等底角轉化為圓周角，進而作輔助線，構造相似“X模型”和“A型”模型，求出線段DE和CE的比例，如解法4.解法4巧妙地結合圓，構造二次相似，兩次轉化兩條線段的比例.此法新穎有趣，猶如柳暗花明又一村，令人耳目一新.此解法由于涵蓋線段中垂線、三角形、相似、圓等多個知識，因而輔助線較為復雜，思維跳躍性高，所以能想到此法的學生較少，顯得彌足珍貴.

思路3幾何模型同“思路2”，代數方法另辟蹊徑.由Rt△CEF中兩條邊的比例聯想銳角三角函數，通過同角或等角的三角函數建立等式，從而求解.

小結銳角三角函數法與相似法有異曲同工之妙，都是通過建立三角形兩條邊的關系來求解，從本質上看是一樣的.不同之處在于，相似法關注圖形的變化，適用于所有圖形;三角函數法側重角的兩邊比例，只能在直角三角形中運用.在直角三角形的兩邊比例問題中，數形結合，相得益彰.

3.出現垂直，面積搭橋

思路4基于目標線段所在的圖形進行分析，△CEF，△AEF，△AEC，△ADE和△ACD中出現了多個垂直關系，則CE，DE，EF均可作為某個三角形的底邊或高，于是可嘗試從面積入手，分別建立△ACD，△AEC和△CEF的等面積模型.

小結從位置關系看，DE和EF都能看作三角形的高，因此聯想到面積法.用分割法將△ACD分為兩個等高的三角形，先求出高，再求出CE的長，如解法7.用兩種方法表示出△AEC或△CEF的面積，構造方程求出CE的長，如解法8和解法9.思路4提示我們：出現垂直，面積搭橋.

4.特殊線段，坐標轉化

思路5轉換思維，從線段DE或EC本身思考，可結合兩點坐標法求線段的長度，于是可構建平面直角坐標系模型，將線段CE置于豎直方向，利用兩端點的縱坐標差值來求CE的長.

小結解法10把矩形、三角形、折疊的有關性質與直角坐標系、一次函數及點的坐標等知識有機結合，實現了知識的橫向跨越;運用代數方法求解幾何問題，能簡化思維過程，并將復雜的幾何問題抽象為兩個點，將數形結合思想發揮得淋漓盡致.解法10不僅讓學生大開眼界，而且讓學生體會到了數學方法的奇妙無窮.解法10巧借矩形的直角構造了平面直角坐標系，利用豎直方向線段的長可由兩端點的縱坐標差值來求解，將問題轉化為求點E的坐標，并通過直線AG的解析式和中點G的坐標來實現轉化.解法10思路巧妙，對學生的能力要求較高.另外，在平面直角坐標系中，解法10還可以推出任意位置線段的長，

解題反思

1.拓展知識層面，啟發解題思路

初中數學知識分為三大體系九大類：數與代數（數與式，方程與不等式，函數），空間與圖形（圖形的認識，三角形的全等與相似，平行四邊形，銳角三角函數，圓），統計與概率.幾何綜合題考查的知識面較廣，只有廣泛聯系各個知識點才能啟發解題思維，實現一題多解.例如本文題目，通過深挖題目內涵，分析求邊的長的各種方法，聯系三角形、矩形、圖形折疊、圓、一次函數、三角函數、相似等多個知識點，實現一題十解，不但豐富了學生的解題方法，提升了學生的解題素養，而且激發了學生的數學興趣，拓寬了學生的解題視野.

2.提煉基本模型，尋找解法突破

模型法是解決幾何綜合題的捷徑，它能化繁為簡，快速找到解題突破口.教師應讓學生在熟練掌握系統知識的基礎上，從復雜的幾何圖形中發現基本模型，總結常見模型，滲透模型理念，以提升他們的綜合分析能力.同時，要讓學生深入理解模型應用的本質，體會其所反映的數學原理.本文首先由直角三角形模型聯想勾股定理和方程思想;然后通過相似三角形模型建立比例，或三角函數建立方程，并利用圓構造二次相似模型;接著提煉多個三角形的高的模型，聯想面積法;最后突破常規，創設直角坐標系模型，運用數形結合思想，利用函數方法求解.解決本題的關鍵是提煉基本模型，并運用數學思想和方法.幾何模型能開啟學生的思維大門，并提供解題突破口，具有點石成金的作用.

3.建構解題方法，反思總結提升

解完試題后，學習過程還沒有結束，還需要總結升華，形成一套解題方法體系.總結時可以從知識點、數學思想方法等方面進行提煉，歸納出一類題的解法，從而建構出一般的解題方法，并適當進行延伸拓展，補充其他方法，形成完備的方法體系.本文根據所求線段的特點分為四種思路：第一種，將所求線段看成特殊的直角三角形的一邊，運用勾股定理進行求解，此法簡單、直接;第二種，將所求線段看成一般三角形一邊的長，由于不能直接求，所以借助兩邊比例求解，常用的方法是相似和三角函數，此法常規、簡便;第三種，將所求線段看成一般三角形的底邊或高，用面積法，運用此法的前提是有垂直條件;第四種，將所求線段看成兩點之間的距離，在平面直角坐標系中，運用兩點之間的距離來求.上述思路可總結為：直接法、間接法、特殊位置法、兩點距離法.其中，第一種方法和第三種方法是特殊方法，第二種方法和第四種方法是通用方法.除此之外，求線段的長的方法還有等量代換法和割補法等.通過反思總結，學生能掌握模型思想、方程思想、函數思想、轉化思想等思想，且在思維的廣度和深度上都有收獲.

探尋解題之道是數學永恒的話題.在解題中發現模型之美，方能開出思想方法之花.因此，不斷積累，反思提升，悟其本質才是真知灼見.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]李芳.注重題目變通，提升思考能力——對一道課本習題的多方位探究[J].中小學數學（初中版），2017（z1）：76-78.