基于符號意識培養學生建模能力的有效路徑探尋

[摘? 要] 數學符號是數學的基本語言，數學建模是核心素養重要維度. 基于符號意識培養建模能力對促進學生核心素養的生成具有重要作用. 解讀符號意識與數學建模的作用，以“用數學眼光看問題”的教學為例，探尋基于符號意識培養學生數學建模能力的有效路徑. 在不斷滲透符號意識的同時，培養學生用數學符號進行數學建模的關鍵能力.

[關鍵詞] 符號意識;建模能力;初中數學

新課標指出，數學學科核心素養涵蓋數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算與數據分析，數學建模是數學學科核心素養的重要維度. 數學符號是數學的基本語言，其包括數字、字母、關系式等，具有抽象性、明確性與簡略性特點. 在解決實際問題時，需要學生抽象出符合實際問題的數學模型，然后以數學符號為載體剖析數學問題，進而實現問題的解決. 基于此，在教學中教師應重視培養學生的符號意識，提高學生數學建模的能力，把實際問題轉化為數學問題加以分析與解決.

解讀符號意識在建構模型中的作用

數學符號是數學的抽象，是人們根據生活實踐，抽象生活實踐而形成的結果. 數學建模是解決實際問題的有效手段，其離不開數學符號進行表達、運算與邏輯推演[1]. 因此，培養學生的符號意識與建構數學模型的能力對促進學生核心素養的生成具有重要作用.

（一）符號的表示：抽象數學對象

符號在抽象數學中的作用表現在三個方面：一是表示數，在不便于說出具體數值時，可以用字母代替. 如在失物的招領啟事中，可以寫張三同學撿到人民幣n元，意思是學生撿到了一定數量的人民幣;二是表達數量關系，通過字母表示數量關系可以更讓人通曉明白. 如一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿……那么n只青蛙n張嘴，2n只眼睛4n條腿;三是表示事物的發展規律，如函數的解析式表達、表格表達、圖像表達，呈現了事物的發展變化規律，體現了數形結合、轉化與化歸的思想.

數學學習總是由易到難、由淺入深，用符號去表達數、數量關系與描述變化規律時，也經歷了由低級到高級，從具體到抽象的過程. 教學中向學生滲透符號表示數學對象作用，有利于為學生建構數學模型做好有效的鋪墊.

（二）符號的價值：邏輯運算與推理

數學活動的基本形式是數學運算與數學推理. 解決數學問題的第一步是用符號表示數、數量關系或者變化規律，第二步是數學運算與數學推理. 需要注意的是數學運算與推理必須以合乎邏輯的法則為遵循. 目前，在數學課堂中，學生能夠自覺使用數學符號進行運算與推理的能力比較弱，教師應以符號為媒介進行關系轉換，合情推理，在演繹推理與模型抽象中培養學生模型的構建能力，只有這樣，才能使學生以合理的數學模型去解決實際問題[2].

（三）符號的運用：數學思考的重要特征

僅僅有符號意識還不夠，會用符號去進行數學思考與表達才是關鍵. 在解決實際問題時，離不開數學思考與表達，而只有借助符號的思考與表達才是最有效的，才能超越數學對象的具體屬性，從更一般的角度進行邏輯推演，使結果更為嚴謹，同時也保證了數學方法的操作性與通用性[3].

基于符號意識培養學生建模能力的教學實踐

新課標提出，數學教學就是概念、命題與公式的教學，要培養學生的符號意識，在實際情境中引導學生理解符號，理解符號表達式的意義，從而讓學生學會根據實際情境抽象符號[4]. 實際上學生發現與提出問題、分析與解決問題的過程就是符號的抽象與表達，然后是運用符號運算與推理的過程. 經歷這一過程，有利于學生積累數學活動經驗，有利于提高學生的符號觀念，有利于培養學生數學建模的本領. 基于此，筆者設計了“用數學眼光看問題”這一課，幫助學生如何把實際問題轉化為數學問題，培養學生的符號意識與建模能力.

教學目標? （1）理解用分式表示鹽水濃度;（2）能用分式表示鹽水濃度的變化;（3）體驗從生活中構建模型的過程，培養學生運用符號建構模型的能力.

教學難點? 構建數學模型.

教學過程

環節一：從數學的角度看待生活問題.

問題1：一杯鹽水，如果加的鹽比較多，鹽水就比較咸，即鹽水的濃度比較大;如果加的鹽比較少，鹽水就比較淡，即鹽水的濃度比較小. 那么，如何準確表示鹽水的咸淡程度呢？

讓學生先獨立思考再合作交流后，師生共同歸納出鹽水濃度可表示為：

問題2：如果繼續給杯中的鹽水加鹽，那么鹽水的咸度將發生怎樣的變化？你能用數學方法描述你的感覺嗎？

學生獨立完成，歸納：加鹽之后鹽水變咸的原因是鹽水的濃度變大.

設計思路? 從生活中的實際問題出發，讓學生去發現鹽水的濃淡與鹽的質量、與鹽水質量的比值有關，用字母分別表示鹽的質量與水的質量，建立起分式數學模型. 在這一過程中，學生經歷了符號的抽象與表達的過程，培養了符號意識.

問題3：對于分子與分母都是正數的分式，當它的分子與分母都加上一個正數，那么分式的值將作如何變化呢？

生：設原分式為（a>0，b>0，且a<b），分子與分母都加上一個正數之后，得，要比較大小，可以用作差法，即-==. 因為c>0，b>a，所以>0，所以->0，所以>.

問題4：試用數學的方法說明當鹽水加了水之后，鹽水就變淡了.（學生獨立完成，同伴互查）

設計思路? 學生經歷了用符號表達鹽水變濃或變淡的過程，用符號進行了符合邏輯的運算與推理，把鹽水的濃度轉化為分式，把鹽水濃度變大或變小轉化分式的減法運算，強化了學生的符號意識，培養了學生建構數學模型的能力.

環節二：探究兩杯鹽水混合的問題.

問題1：現有兩杯濃度不同的鹽水，一杯比較濃，一杯比較淡，當它們進行混合后，你的口感如何？如何用數學的形式表示這種口感呢？

教師引導分析：比較濃的鹽水如何用分式表示？比較淡的鹽水如何用分式表示？混合后的鹽水濃度與什么有關呢？

問題2：在上面問題中，兩杯水混合所得鹽水的濃度是不是它們的平均濃度呢？

教師引導分析：讓學生用特殊值嘗試解決，發現規律后用分式進行探究.

設計思路? 經過數學抽象，學生可以感受到：關于鹽水的濃度問題就是分式的值的問題，當比較兩杯鹽水的濃度時，就是要使用分式的加減運算進行推演.符號的運算過程超越了鹽水問題具體的屬性，用特殊值進行猜想計算，再使用符號運算推理，培養了學生用符號進行數學表達和思考的思維品質.

環節三：探究鹽水中一個結論.

問題1：將一大杯鹽水分別倒入三個小杯中，那么大杯中鹽水濃度與小杯中鹽水的濃度有何不同呢？

學生思考后，教師歸納得到比例的一個重要性質，即等比性質：如果===，那么=.

設計思路? 學生根據自己的生活經驗，很容易理解大杯中的鹽水分別倒入小杯后，大杯與小杯的鹽水濃度是一樣的，但是教師要引導學生把生活經驗轉化為符號表達式.學生發現當分式的分子與分母以相同的比例變化時，分式的值也不變，這是分式的基本性質，同時也推導出比例的一條重要性質，即等比性質.這樣的教學使學生進一步感受到符號作為媒介的數學表達形式的價值所在.

環節四：整理與歸納.

刻畫鹽水的濃淡，我們使用了數學的方式，即從數學的視角觀察世界.其實在數學學習中不乏這些事例，如用來描述速度的快慢;用來描述電流的大小.同學們要逐漸養成用數學方法描述生活現象的意識.

總之，世界上的一切都是簡單的，用邏輯關系的數學表達，其為基于符號意識的建模能力培養提供了可靠的理論依據.培養學生核心素養背景下，教師應基于符號意識，提高學生運用符號推演解決實際問題的能力，在不斷滲透符號意識的同時，培養學生用數學符號進行數學建模的關鍵能力.

參考文獻：

[1]王光盛. 基于數學核心素養培養初中生符號意識[J]. 中學教學參考，2021（30）：33-34.

[2]孫凱. 初中數學建模活動的內容設計與組織原則[J]. 教學與管理，2021（22）：46-48.

[3]劉海霞. 初中數學教學中學生建模能力的培養策略[J]. 新課程評論，2021（06）：85-92.

[4]范連眾，孔凡哲. 對指向學科核心素養的初中數學教科書的理解——以“整式的加減”為例[J]. 遼寧教育，2017（19）：7-10.

基金項目：江蘇省教學研究課題“基于省監測數據分析的初中生數學關鍵能力提升的策略研究”（課題編號：2019jyktzd-13）;泰州市中小學教學研究課題“基于監測數據分析的初中生數學學科素養提升的策略研究”（課題編號：TZJYZD2019-058）.

作者簡介：蔣樂（1981—），碩士研究生，中學高級教師，從事初中數學教學研究和教育教學管理工作.