初中數學教學：從教材結構走向學習結構

劉丹

[摘? 要] 從教材結構化到教學結構化、從教學結構化到學習結構化，數學課程改革逐漸向縱深發展、邁進. 在初中數學教學中，結構化教學不僅能對相關數學學習內容進行優化、統整，更能實現學生對自我的數學思維、認知等的聚合、嬗變. 結構化教學，讓學生的數學學習從單線走向多維、從孤立走向統整. 學生的數學結構化學習，既順應了數學知識的邏輯生長，也順應了學生自我生命的生長.

[關鍵詞] 初中數學;教材結構;教學結構;學習結構

數學是一門結構化的科學，或者說數學是一門關系學. 教材是數學知識的承載體，是按照一定的邏輯結構編排的. 但數學教學不僅僅是忠實地傳遞教材知識，更為重要的是將教材結構轉化為教學結構. 教學不是按照教材結構按部就班地展開，教學可以根據需要對教材進行加工、重組，這就是教學的結構化. 教學的結構化有助于學生學習的結構化. 從教材結構化到教學結構化，從教學結構化走向學習結構化，能有效地將教材資源轉化為學生的學習能量、資源、營養等.

基于知識序，準確把握教材

結構

如上所述，數學知識是一個層次性、結構化、系統化的整體. 但為了編排和教學的需要，教材通常是將知識整體分解，穿插在不同的章節之中. 作為教師，就是要從穿插、分散的知識點中還原出知識整體、結構，這就是教材的結構化. 對于教材結構化教學，教師要把握兩點：一是知識的產生序列，二是知識的關系序列. 知識的產生序列著眼于知識的生成、生長，是一種縱向維度的關注;而知識的關系序列著眼于知識間的關聯，是一種橫向維度的關注.

因此，初中數學教學不是機械、盲目地按照教材順序展開，而是必須按照知識序展開. 只有基于知識序，才能準確地把握教材結構. 基于知識序進行數學教學，還要關注學生的具體學情. 比如，在人教版數學教材中，“反比例函數”（九下）是放置在“二次函數”（九上）之后的. 但我們知道，學生在小學階段已經學習過“成正比例的量”和“成反比例的量”，為此，我們在教學中要果斷調整教學順序，將“反比例函數”教學前置，將其安排在“正比例函數”“一次函數”之后進行教學. 在學習了“一次函數”和“反比例函數”的基礎上，再引導學生學習“二次函數”. 如此，學生的數學學習就獲得了舊知的支持. 學生有了小學階段的“成正比例的量”和“成反比例的量”的相關知識經驗，就能有效地學習“正比例函數”“一次函數”“反比例函數”等. 而“正比例函數”“一次函數”和“反比例函數”等相關知識的學習，為學生學習全新的知識——“二次函數”奠定了堅實的基礎. 這樣，學生就能積極、主動地從二次函數的圖像、性質等方面來進行自主性學習.

基于“知識序”進行數學教學，能讓學生學得輕松、主動、真切. 把握教材結構，就是要求教師在教學中把握教材中的知識組織形態、呈現形態等. 教材結構是教師教學的基礎，也是學生數學學習的基石. 在教材解讀中，教師不僅要把握知識在教材的地位、作用，更要把握教材編排的不足、局限性等. 教師要帶著一種質疑的眼光、批判的眼光來解讀教材，而不能對教材頂禮膜拜，在教學中“唯教材”，不敢越雷池一步.

基于認知序，充分展現教學結構

數學教學應當秉持兩種基本的思想，即“發生學”思想和“結構學”思想. 所謂“發生學”，就是要讓學生體驗人類探索數學知識的關鍵步驟，經歷人類探索知識的艱辛歷程. 所謂“結構學”，就是要讓學生認識到數學知識的內在關聯. 無論是知識的發生還是知識的結構，教師在教學中都必須尊重學生的具體學情. 其中最為重要的就是要把握學生的認知結構、思維結構. 結構化的數學教學，學生的認知結構、思維結構等是前提、條件. 要通過結構化的思維、認知，培養學生的結構化眼光、結構化大腦等.

引導學生進行結構化思維、認知，就是要讓學生“學一點、見一片”“習一題、悟一類”. 在數學教學中，教師要引導學生積極類化、主動內化，引導學生瞻前顧后、左顧右盼，從而讓學生把握知識的脈絡. 比如教學“相似三角形”這一部分內容時，筆者就積極喚醒、激活學生“全等三角形”的學習經驗，引導學生從“全等三角形”的判定方法去猜想“相似三角形”的判定方法. 在此基礎上，鼓勵學生積極主動地嘗試證明“相似三角形”的判定方法. 在這個過程中，學生不僅主動地將全等三角形和相似三角形的判定方法進行比較，而且將全等三角形和相似三角形的判定方法的證明過程進行比較. 在這樣的一種比較中，學生對全等三角形、相似三角形的認識就不再是孤立的，而是相關聯的，不僅把握了全等三角形和相似三角形的差異，同時還把握了全等三角形和相似三角形的相同點、聯系點等. 同時，對相似三角形認知的結構化，也為學生后續學習銳角三角形奠定了堅實的基礎. 在初中數學教學中，把握學生的結構化認知、思維，要善于找準學生數學認知、思維結構化建構的基點、固著點. 結構化的認知、思維等是提升學生結構化問題解決的“起跳板”. 值得注意的是，學生數學認知的結構化、思維的結構化，不在于對數學知識求全，更在于能對數學知識求聯.

發展學生的結構化認知、思維等，要求教師要引導學生把握知識脈絡，讓學生能將相關的知識進行歸類集結，從而讓學生所學的數學知識從“個”到“類”、從“木”到“林”、從“碎”到“統”. 在數學教學中，無論是對教材的結構化解讀還是教學的結構化展開，其目的都是為了讓學生的思維、認知結構化，是為了讓學生的數學素養結構化，這是結構化教學的根本目的. 如果教學僅僅著眼于知識的結構化，無疑是對結構化教學的理解、實踐的窄化、淺化.

基于活動序，生成有效學習結構

活動序是建立在知識序和認知序的基礎上的，是將教材結構轉化為教學結構、將教學結構轉化為學習結構的關鍵. 或者說，學生的認知序如何達成、知識序如何落實等，都依賴于學生的活動序. 有序的活動，能讓學生洞察數學知識的來龍去脈，能讓學生把握相關的數學知識的關聯. 活動序要尊重知識序，也要尊重學生的認知序、思維序等. 根據知識序和認知序設計的活動序，能讓學生展開豐富的建構活動.

基于活動序，要求教師在教學中要幫助學生實現知識的關聯、統整，要促進學生數學思維、認知等的聚合、嬗變. 比如教學“完全平方公式”這一部分內容時，筆者充分利用學生的認知結構、經驗結構，如“多項式乘法”“換元思想”，引導學生自主建構. 同時，借助于“圖形”，對完全平方公式進行幾何解釋. 整個教學活動有序、有向、有理. 在這個過程中，學生不僅對知識形式結構有了充分的把握，而且對于知識的形成過程也有了充分的理解. 基于活動序的數學教學，生成了學生有效的學習結構. 在這里，“多項式的乘法”是學生建構完全平方公式的根基，而“換元思想”則是貫穿在學生整個的數學知識推導、理解之中，“數形結合”有助于學生從形的視角來認識數，進而能讓學生對完全平方公式的理解走向深刻. 這樣的一種活動序的教學，對學生日后的學習也更加有用、有利. 基于活動序的數學教學，能生成學生的有效的學習結構. 在初中數學教學中，教師要引導學生對相關的數學知識進行梳理、串接、整合，借助于“大問題”“大任務”等進行教學，從而讓數學知識以及學生的數學認知層次化、結構化、系統化、整體化. 從某種意義上說，活動結構化依賴于知識結構化、認知結構化，而知識結構化、認知結構化又促進著學生數學活動的結構化、學習的結構化等.

活動是學生建構數學知識的方式，活動經驗則是學生建構數學知識的基礎. 在初中數學教學中，教師不僅要把握“教什么”的問題，而且要把握“怎樣教”的問題. 怎樣教，關鍵就是設計、研發好學生的數學活動順序. 教材結構不同于教學結構，而教學結構不同于學習結構，其間有兩個轉化. 只有將教材結構轉化為學生的學習結構，才能對學生的數學學習產生實質性的效用.

從教材結構化到教學結構化、從教學結構化到學習結構化，數學課程改革才能夠向縱深發展、邁進. 布魯納說，“學習一門學科，關鍵就是學習該門學科的內在結構，就是學習該門學科的結構化科學”. 在初中數學教學中，學生不僅能對相關數學學習內容進行優化、統整，更能實現對自我的數學思維、認知等的聚合、嬗變. 初中數學教與學結構化，能讓學生的學習從單線走向多維、從孤立走向統整. 結構化的數學學習順應了數學知識的邏輯生長，也順應了學生的生命成長.