“變”中求“不變”，立意高又遠

曾昌濤

[摘? 要] 數學核心素養的關鍵在于提高學生的思維品質，思維的動態遷移，在“變”與“不變”中辯證統一與有效生成. 在幾何圖形變化過程中抓住不變的幾何性質，可使解題化難為易.

[關鍵詞] 核心素養;試題探析;立意;平移變化

試題回眸

2018年全國Ⅰ卷理科第12題：已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（? ）

此題的本質是運動變換的空間圖形軌跡的最值問題.高考試題中的壓軸選擇題往往意境深遠，綜合性強，很難從教材某一個例習題中找到它的影子，要揭示其數學本源，應從多個角度去分析、探究和思考.

試題探源

人教A版（2004）高中數學必修2教材中有如下例習題：

題3：（第78頁A組第4題）如圖3所示，正方體的棱長為a，點C，D分別是兩條棱的中點.

（1）證明：四邊形ABCD（圖中陰影部分）是一個梯形;

（2）求四邊形ABCD的面積.

2005年全國聯賽試題：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，任作平面α與對角線AC′垂直，使得α與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l，則（? ）

A. S為定值，l不為定值

B. S不為定值，l為定值？搖

C. S與l均為定值

D. S與l均不為定值？搖

問題探究

1. 圖形演化

那么在所有正三角形以及六邊形的截面圖形中，哪一個面積最大呢？

2. 解法剖析

數學學科六大核心素養本質上反映的是數學思維品質，思維的動態遷移而非刻舟求劍[1]. 在“變”與“不變”中辯證統一，動中求靜，突破思維局限，“莫讓浮云遮住眼，除盡繁華識真顏”，解決考題的關鍵是要從圖形運動變化過程中抓住不變的幾何性質.

解法1：截面面積（變）？圳大圓中內接正六邊形面積最大（不變）.

為什么滿足條件的圖形中正六邊形EFHMNQ的面積最大呢？下面設計一個數學實驗來解釋它：

不妨設在正方體內放一個內切球，易知正方體的中心與球心O重合. 滿足條件的平面α與球O所截的圖形是圓，當平面α經過球心O時所得的截面是大圓（在所有圓中面積最大），借助于數學常識“圓內接n邊形中，面積最大的為正n邊形”可知，當平面α平移經過球心O且六邊形恰為正六邊形（中心為O）時面積最大.

結束語

波利亞認為：“數學問題的解決僅是一半，更重要的是解題后的回顧.”[2]提出一個問題比解決一個問題更難，問題解決后要去歸納、反思，挖掘其背后的立意出發點，品味其高妙之處.

（1）從知識層面分析：立體幾何的圖形載體為柱、錐、臺、球，主干知識是平、垂、角、積. “平”“垂”為空間特殊位置關系，指線與線、線與面、面與面的平行和垂直關系;“角”指空間的三種角：異面直線所成角，直線與平面所成的角，二面角的平面角;“積”指幾何體的面積（側面積、表面積）和體積. 試題正是以正方體為幾何載體，考查的是正方體中線面、面面平行和垂直關系，直線與平面所成的角，截面面積等重點內容，可謂一線串幾珠，金玉蘊其中.

破題者將面臨三道難關：一是與各棱所在直線所成的角均相等的平面α是怎樣的平面？二是平面α在平移過程中的截面圖形分別是何種形狀？三是所有截面中為何正六邊形的面積最大？特別是第三道難關，在考試過程中學生僅憑觀察、猜想，代替不了嚴密的邏輯證明.

（2）從思想方法層面分析：試題考查了函數與方程、化歸與轉化、運動與變換、數形結合等重要的數學思想方法，發展和提高學生的空間想象能力、推理論證能力、運算能力等是學習立體幾何的根本任務，在“變”中求“不變”，試題為教學中靈活運用立體幾何知識分析問題和解決問題提供了素材.

（3）從數學核心素養層面分析：試題考查了直觀想象、數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養. 試題立意高遠，可作為典型例題去拓展、遷移、變式以達到觸類旁通的教學效果，破題中沒有厚重的知識沉淀和方法積累，思維深度達不到解題的終點.

參考文獻：

[1]? 李建國. 例析核心素養導向的高考試題——以2018年高考全國卷Ⅰ理科第12題為例[J]. 中學數學研究（華南師范大學版），2019（10）：44-45+19.

[2]? 潘靜. 直觀固然好 論證不可少——對一道高考題的解答探究及教學思考[J]. 中學數學教學參考，2020（34）：59-60.