基于直觀想象能力，探討含參函數的零點問題的策略應用

黃俊森

[摘? 要] 文章以2020年全國Ⅰ卷文科數學第20題為例，說明解決含參函數的零點問題的三種方法——直接法、參變分離法、轉化法，以直觀想象為抓手，化歸為常規方法，讓學生有跡可循，總結規律，循序漸進突破學生的思維難點，進而達到落實數學核心素養的目的.

[關鍵詞] 直觀想象;含參函數;零點;策略

含參函數的零點問題一直是高考壓軸題的熱點和難點，近6年每年都考查了，特別是遇到非常規的含參方程或超越方程時，學生就束手無策，原因是學生無法將陌生函數的信息轉化成可供解題的信息. 函數的零點是溝通函數、方程、圖像的重要媒介，它充分體現了函數與方程的關系，蘊含了豐富的數形結合思想，而且在落實數學核心素養方面有其獨特的價值.

王尚志教授說過，“直觀想象非常重要. 證明的思路是看出來的，要教育學生學會用圖形來探測與表達結果.”函數零點問題就是一個很好的培養學生直觀想象能力的載體，通過“函數y=f（x）有零點？圳方程f（x）=0有實根？圳函數y=f（x）的圖像與x軸有交點”的適當轉換，可以得到相應的圖像，得到各種不同的求解策略. 而培養學生的直觀想象能力，即平面圖形或空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：會識圖，會畫圖，會析圖，會用圖.

下面以2020年全國Ⅰ卷文科數學第20題為例探究其解法，基于直觀想象分析這種類型問題的實質，打開這類問題的思維層次，并舉例分析、變式練習、總結歸納，讓考生熟練掌握這類題型的解法.

看山是山，真題回放

例 （2020年全國Ⅰ卷文科數學第20題）已知函數f（x）=ex-a（x+2）. （1）略;（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

題目分析：第（1）問略. 對于第（2）問，首先思考：條件“f（x）有兩個零點”等價于f（x）的圖像是怎樣穿過x軸兩次的？是否類似于拋物線先減后增，頂點在x軸下方，或者反之？然后將題目中的函數解析式轉化為圖像進行分析，需要研究其單調性和極值點等函數性質.

看山不是山，解法探究

解法1（直接法）：由已知得f′（x）=ex-a.

若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0恒成立，f（x）在R上單調遞增，最多和x軸有一個交點，不符合題意.

若a>0時，令f′（x）=ex-a=0，得x=lna.

題后反思：先直接分析f（x）的單調性，求導后轉化為不等式問題，即判斷何時f′（x）>0和f′（x）<0，需要對參數進行分類討論，很多學生對此手足無措. 此時畫出f′（x）的圖像是完整突破的關鍵. 為了畫出導函數的圖像，分類討論可分為三步：方程有沒有根，根在不在定義域，哪些區域要或不要. 從高考試卷反饋來看，此解法學生易漏證其必要性，即證明f（x）在區間（-∞，lna）和（lna，+∞）的圖像穿過了x軸——若圖像沒有穿過x軸就沒有兩個交點，所以必須進行檢驗. 檢驗方法是零點存在性定理，難點在于如何在兩個區間內各找一個正值點. 常用方法：先在極值點左右區間找常數點試一試，或者通過放縮法化曲為直再代入檢驗. 但凡遇到函數或導函數都應當聯想其圖像，可以從圖像直觀辨析需要的條件或性質.

令h′（x）>0，解得x>-1;令h′（x）<0，解得x<-2或-2<x<-1. 故函數h（x）在（-∞，-2）上單調遞減，在（-2，-1）上單調遞減，在（-1，+∞）上單調遞增. 且當x<-2時，h（x）<0，當x>-2時，h（x）>0. h（x）的圖像如圖2所示.

解法3（轉化法）：若f（x）有兩個零點，即a（x+2）=ex有兩個解，即y=a（x+2）和y=ex有兩個交點.

易知直線y=a（x+2）必過點A（-2，0），且斜率為a. 下面先看直線y=a（x+2）與曲線y=ex只有一個交點的情形：

如圖3可知，當y=a（x+2）和y=ex有兩個交點時，a>e-1. 所以，滿足條件的a的取值范圍是（e-1，+∞）.

題后反思：解法3將a（x+2）=ex轉化為兩個相對熟悉的函數的交點問題，數形結合法對學生來說更容易入手，且避過了前兩個解法中的一些難點，又形象直觀，一目了然. 但是學生能否熟練畫出正確的圖像，理解參數是如何影響函數圖像的，是教師在平時教學中應該對基本的通性通法不斷訓練的結果.

看山還是山，思維提升

上述的三種解法殊途同歸，關鍵要讓學生學會利用導數和圖像這些工具，掌握常規題型的通性通法，掌握分類討論和等價轉化思想，在解題教學中滲透數形結合，這才是高效備考的上策. 很多函數只要能畫出其圖像，就能清楚其性質，如果畫不出來，是因為缺了什么條件？順藤摸瓜畫函數圖像，其實是綜合研究整個函數性質的過程，所以課堂教學要多滲透數形結合.

對含有參數的函數零點問題的解題思路，哪種方法能得到相對簡單的函數就優先考慮哪種，比如用直接法先判斷能否得到易于討論的含參導函數，否則就參變分離，或轉化為兩個相對簡單的函數的交點問題進行處理會更佳.

面對高考命題者越來越青睞函數零點問題，學生要想解決這類函數零點問題，需要具備扎實的基礎知識和熟練的變形技巧，還需要具備直觀想象能力，不斷地變換角度，化繁為簡，化難為易.