走進切線問題，典例探究思考

鄭秀麗

[摘? 要] 切線問題在高中數學中十分常見，切線的定義、求解方法、常見題型是探究的重點. 文章結合實例探究切線問題，開展策略總結，基于教學實踐，提出幾點建議.

[關鍵詞] 曲線;切線;定義;導數;題型;數學思想

曲線的切線問題是近幾年高考的熱點問題，實際考查時常與導數相結合，從直線與曲線的位置關系的視角來構建. 問題涉及切線的斜率、傾斜角、切線方程等. 破題的關鍵是利用導數的幾何意義推導切線的方程，下面深入探究.

引例探究

問題：（2021年全國高考乙卷文數第21題）已知函數f（x）=x3-x2+ax+1.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）求曲線y=f（x）過坐標原點的切線與曲線y=f（x）的公共點的坐標.

解析：（1）求f（x）的單調性，對應的導函數為f′（x）=3x2-2x+a，導函數的判別式為Δ=4-12a.

（2）求曲線y=f（x）過坐標原點的切線與其公共點的坐標，顯然解決本問的關鍵就是求切線的方程. 需要關注題設中的兩個信息：①曲線y=f（x）的切線;②切線經過原點. 分兩步進行：首先求切線的方程，然后與曲線的方程聯立，轉化為解方程問題.

綜上可知，公共點的坐標為（1，a+1）和（-1，-1-a）.

策略總結

求切線的方程，主要有兩大類題型：題型1，已知切點求切線的方程;題型2，求曲線過某點的切線的方程. 對于不同題型，可采用不同求解策略.

典例探究

曲線的切線題型比較多，題設變化多樣，但解析的核心均為求曲線的切線方程. 常見的題型有：設定切線求參數取值、求導與分析切線斜率、利用切線構建幾何圖形等，下面結合實例具體探究，總結相應的方法和技巧.

題型1：設定切線求參數取值

例1 已知函數f（x）=-x3+2x2-x，若過點P（1，t）可作曲線y=f（x）的三條切線，則t的取值范圍為________.

解析：由已知可得函數f（x）的導函數為f′（x）=-3x2+4x-1，過點P（1，t）作曲線y=f（x）的三條切線，分為兩種情況：

①點P在曲線y=f（x）上，則點P為切點，可得點P（1，0），切線方程為y=f′（1）·（x-1）=0，即切線為x軸，切線只有一條，不符合題意.

評析：上述探究曲線過點P時參數t的取值范圍，解析過程有兩大特點：一是深入討論點P為切點和不為切點兩種情形，思維嚴謹;二是充分利用導函數的幾何意義，將切線個數問題轉化為交點個數問題，把復雜問題簡單化.

題型2：求導與分析切線斜率

評析：上述證明圓錐曲線背景下切線與直線平行，整個過程分三步構建：第一步，由已知確定直線的斜率，通過求導確定切線的斜率;第二步，聯立直線方程與曲線方程，提取其中的參數關系;第三步，結合參數關系變形轉化為斜率數式，證明斜率相等. 上述所形成的構建策略，是解決圓錐曲線背景下切線問題的常用方法.

題型3：利用切線構建幾何圖形

例3 （2020年北京高考卷第19題）已知函數f（x）=12-x2.

（1）求曲線y=f（x）的斜率等于-2的切線方程;

（2）設曲線y=f（x）在（t，f（t））處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為S（t），求S（t）的最小值.

解析：本題是典型的與切線相關的綜合題，兩問分別涉及“切線方程”和“與切線相關的幾何圖形”，突破問題要準確利用導函數的幾何意義，確定切線方程，構建面積模型，利用函數性質求最值.

所以t=2時S（t）取得極小值，也是最小值. 又知S（t）為偶函數，所以當t=±2時，S（t）有最小值32.

評析：上述分別探究切線方程以及依托切線求三角形的面積最值. 解析過程充分利用導函數的幾何意義求切線方程;基于三角形的面積公式，充分利用導函數確定函數的單調性求解面積最值. 整個過程充分體現了導函數的兩大應用點：一是求切線方程;二是研究函數的單調性.

解后反思

上述深入探究了切線的求解方法以及常見的問題類型，下面基于教學實踐進行反思，提出幾點建議.

1. 理解切線定義，開展知識總結

切線是一種特殊的直線，實則是曲線上某點處的方向線，這是切線的幾何意義，而代數意義則是函數在該點處的導數. 切線的雙重定義是教學重點，教學中要指導學生從幾何、代數兩大視角探究切線的定義，采用數形結合的方式引導學生思考，深刻理解切線的意義. 在此基礎上總結求切線方程的方法和技巧，形成相應的求解策略.

2. 關注切線問題，促進知識融合

切線問題是高中數學探究的重點，問題類型多樣，教學中要采取歸納整理、融合探究的方式，引導學生分兩步強化提升解題能力：第一步，總結切線的求解方法，掌握一般切線問題的求解策略，如求曲線的切線方程、分析切線的斜率取值、求參數范圍等;第二步，關注圓錐曲線背景下的切線問題，從知識綜合、位置關系兩大視角開展知識探究，總結破題思路.

3. 開展實踐探究，提高思維能力

教學探究中要注重提升學生的實踐能力，即結合實際問題引導學生思考，總結方法和技巧，幫助學生積累解題經驗. 尤其是綜合性極強的切線問題，讓學生體驗探究過程，合理設問，引導學生思考確定切線的方法以及切線問題的轉化技巧. 如引導學生將切線的條數問題轉化為交點的個數問題，將切線平行問題轉化為直線斜率問題，等等. 教學中要合理滲透數形結合、化歸轉化、函數與方程等思想方法，提高學生的數學思維能力.