萬變不離其“宗”

【摘要】前蘇聯(lián)教育家維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，認為學生的發(fā)展有兩種水平：一種是學生的現(xiàn)有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平;另一種是學生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).教學應著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)，為學生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動學生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段的水平，然后在此基礎上進行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展. “教學應當是在發(fā)展的前面”，“教學創(chuàng)造著最近發(fā)展區(qū)”，這是設計變式追問的宗旨，也是維果茨基對教學與發(fā)展關系進行深入研究后所提出的最主要結論。

【關鍵詞】數(shù)學教學;三角函數(shù);理論分析

1 變式追問，讓學生會“思”

著眼于認識概念到運用概念這一思維最近發(fā)展區(qū)，通過一些由易到難，由特殊到一般的變式問題，幫助學生建立感性經(jīng)驗和抽象概念之間的聯(lián)系，加深對概念的理解，激發(fā)學生的思維，引導學生積極探索。

案例1 等差數(shù)列概念教學

例題 若{an}是等差數(shù)列，則{a2n-1}是等差數(shù)列嗎？

變式1 若{an}是等差數(shù)列，則ak，ak+m，ak+2m，…是等差數(shù)列嗎？

變式2 若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{an+bn}是等差數(shù)列嗎？

變式3 若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan+qbn}是等差數(shù)列嗎？

圍繞等差數(shù)列的概念，從一個等差數(shù)列的所有奇數(shù)項，到所有下標成等差的項，從一個等差數(shù)列到兩個等差數(shù)列的和，有淺入深，從特殊到一般，加深等差數(shù)列定義的理解與應用.

2 變式追問，讓學生會“學”

通過尋找學生知識的最近發(fā)展區(qū)，建立新舊知識的聯(lián)系，讓學生產(chǎn)生強烈的探究新問題的解決方法，從而加大了知識本質(zhì)的領悟，設計一些由淺入深，由窄到寬的變式問題深化基礎知識，拓展學生的數(shù)學思維，不斷地由已有水平向潛在水平持續(xù)轉化.

案例2 平面向量中三點共線的判斷

例題 在正六邊形ABCDE中，點P是在直線BF上的一個動點，設AP=xAB+yAF則x+y=

變式1 在正六邊形ABCDE中，點P是在直線CE上的一個動點，設AP=xAB+yAF則x+y=

變式2 在正六邊形ABCDE中，點P是ΔCDE內(nèi)（包括邊界）的一個動點，設AP=xAB+yAF則x+y的取值范圍（? ）

A. [1，2]???? ?B. [2，3]

C. [2，4] ?D. [3，4]

變式3 如圖所示，

A，B，C是圓O上的三個點，CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點D，若OC=xOA+yOB，則（? ）

A.01

C.x+y<-1 D.-1

這些問題從三點共線“x+y=1”到“x+y=3”可以聯(lián)想到“x+y=λ”是P的軌跡是“等和直線”，從P在線上延伸到P在某個區(qū)域上研究“x+y的取值范圍”，再變換背景探究新題，不僅使知識本身得以延伸，而且使知識的適用范圍不斷延伸，讓學生的數(shù)學思維不斷開闊.

3 變式追問，讓學生會“辨”

當發(fā)生思維沖突時，設計一系列的思辨性變式問題，不斷重建最近發(fā)展區(qū)，幫助學生理清思路，辨析異同，逐步揭開迷霧， 找到正確的解題方法，提高學生析錯辨錯的能力，以培養(yǎng)學生堅毅的意志品質(zhì).

案例3 函數(shù)單調(diào)性的判斷

例題 已知函數(shù)f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+1，討論f（x）的單調(diào)性.

變式1 若函數(shù)f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+1在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)增，求實數(shù)a的范圍.

變式2 若函數(shù)f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+1在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)，求實數(shù)a的范圍.

變式3 若函數(shù)f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+1在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍.

從一般含參問題單調(diào)性的討論，到在某區(qū)間上單調(diào)，再到不單調(diào)，再到存在單調(diào)，通過對比思考，題意辨析，逆向思維，析錯糾錯，找到各個問題的切入口，使學生學會從多角度思考問題，辨別問題.

4 變式追問，讓學生會“解”

“最近發(fā)展區(qū)”理論要求教學是一種合作活動，要求學生通過思考探究，建立起自己對知識的理解。教師不再是傳授者，更重要的是起到“促進者”和“幫助者”的作用.設計一些循序漸進的變式問題，分步串聯(lián)，依次展開，層層遞進，將學生引向問題難點的探究理解，培養(yǎng)學生思維的深刻性.

案例4 三角函數(shù)的單調(diào)性

例題 求函數(shù)y=sin（2x+π6）在[0，π]單調(diào)增區(qū)間.

變式1 若函數(shù)y=sin（2x+π6）在[-π6，m]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍.

變式2 若函數(shù)y=sin（ωx+π6）（ω>0）在[0，π6]上單調(diào)遞增，求實數(shù)ω的取值范圍.

變式3 若函數(shù)y=sin（ωx+π6）（ω>0）在[-π6，π6]上單調(diào)遞增，求實數(shù)ω的取值范圍.

創(chuàng)設“最近發(fā)展區(qū)”讓學生學習知識，深化理解，鞏固提高，設計一些同類問題，但又“跳一跳摘桃子”的問題，讓學生從“知”——“懂”——“會”，使得知識運用能力的不斷提高.

5 變式追問，讓學生會“拓”

創(chuàng)設“最近發(fā)展區(qū)”讓學生由此及彼地學習知識，聯(lián)想、類比、歸納，從而抽象概括出本質(zhì)特征，促進系統(tǒng)知識的理解。同時也讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的發(fā)散思維與創(chuàng)新意識.

案例5 圓錐曲線的一個統(tǒng)一性質(zhì)

例題 已知橢圓C：x220+y25=1，過點P（4，1）的直線l：y=1與橢圓的另一個交點為Q，A、B是橢圓C上位于直線l兩側的動點，且滿足直線AP與BP關于l對稱.試探究直線AB的斜率是否為定值.

變式1 已知圓C： x2+y2=5，過點P（2，1）的直線l：y=1與圓的另一個交點為Q，A、B是圓C上位于直線l兩側的動點，且滿足直線AP與BP關于l對稱.試探究直線AB的斜率是否為定值.

變式2 已知拋物線C：x2=4y，過點P（2，1）的直線l：y=1與拋物線的另一個交點為Q，A、B是拋物線C上位于直線l兩側的動點，且滿足直線AP與BP關于l對稱.試探究直線AB的斜率是否為定值.

從橢圓中知識的探究出發(fā)聯(lián)想到圓，拋物線，再推廣到圓錐曲線，試探究直線AB的斜率是否為定值.讓學生體會知識方法的遷移，更能激發(fā)學生探尋新知的欲望。

6 結語

數(shù)學教育家余文森先生指出：“只有針對最近發(fā)展區(qū)的教學，才能促進學生的發(fā)展。教學活動的本質(zhì)就是通過抓住對學生最近發(fā)展區(qū)的不斷重建這個宗旨，促進學生智力不斷地由已有水平向潛在水平持續(xù)轉化的過程激發(fā)學生的學習欲望，讓學生的思維有方向，讓學生的思維有動力.

參考文獻：

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