培養學生函數與方程思想的有效途徑

趙玲 王淳

【摘要】函數與方程思想就是將函數思想與方程思想進行融合，利用函數與方程的觀點解決問題的思維方式，它是學生數學思維品質的組成成分.因此，在高中數學課堂教學中培養學生函數與方程思想就顯得尤為重要.而課堂教學環節是教師培養學生函數與方程思想的主要途經，但是大部分教師只是在例題和練習環節中讓學生自己體會函數與方程思想，忽略了在課堂教學的其他環節中幫助學生建構函數與方程思想，導致教師對函數與方程思想的滲透程度不夠，學生缺乏函數與方程思想的思維能力.因此，本文以高中教材中的部分知識內容為載體，以課堂引入、概念的形成過程、課堂總結這三個教學環節為主要途經，提出滲透函數與方程思想的方法.增強教師對函數與方程思想的滲透程度，提高學生運用函數與方程思想的意識和能力.

【關鍵詞】函數與方程;培養途經;課堂教學

1 概述

函數與方程思想就是將函數思想與方程思想進行融合，利用函數與方程的觀點解決問題的思維方式.將函數與方程思想用于指導解題就是要善于利用函數和方程的觀點去分析問題和解決問題，它是學生數學思維品質的組成成分.高中教材中方程的根與函數的零點、等差數列的通項公式和前n項和公式、求曲線的方程等內容都滲透著函數與方程思想.求方程的根、解決數列、不等式、三角函數、解析幾何以及導數問題等諸多高考題中都體現著函數與方程思想的具體應用.因此，從提升學生數學思維品質、教材的編排以及高考題的考查情況這三個方面，都可以看出在高中階段培養學生函數與方程思想的重要性.

2 當前存在的問題

高中數學課堂教學是教師培養學生函數與方程思想的主要途經，具體表現為通過教師在課堂教學中深入分析數學內容，提煉數學思想，進而使學生在認知結構中反復體驗對數學思想的認識并將其領悟和運用.在教學過程中，雖然大部分教師都意識到了函數與方程思想對學生數學思維能力提升的重要性，但是他們僅將函數與方程思想作為解題手段而簡要提及，以例題和練習環節為主要途經，通過大量題目的訓練，使學生自己體會函數與方程思想[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.教師忽視了以課前引入、概念的形成過程、課堂總結這三個教學環節中為途徑，挖掘函數與方程思想的重要性，導致教師對函數與方程思想的滲透程度不夠，下面具體分析高中數學課堂教學環節中滲透函數與方程思想存在的問題.

2.1 忽視在課堂引入環節中對函數與方程思想的挖掘

課堂引入是教師將數學知識中所蘊含的數學思想貫穿于整個課堂，進而打開學生數學思維的關鍵環節.因此，在具體的教學中，教師應該以問題為驅動，以學生能夠接受、可以理解的形式進行直觀教學，對隱含在數學內容中的函數與方程思想進行深度挖掘.但是，在具體的教學時，很多教師卻忽視了在課堂引入環節中對函數與方程思想的挖掘.

例如 在《方程的根與函數的零點》的課堂引入環節中，大部分教師采用讓學生通過思考一元二次方程的根和二次函數圖象的關系引入.雖然一元二次方程和二次函數是學生能夠理解和接受的內容，但是學生普遍存在這樣的疑惑：一元二次方程的根能用求根公式求解，對應的函數圖形與x軸的交點可以畫出來，為什么還要學習它們兩者間的聯系.出現這種現象的主要原因是教師沒有將函數與方程思想蘊含在課堂引入環節中使其打開學生的數學思維.因此，學生在思維活動中體會不到函數與方程的聯系.

2.2 忽視在概念的形成過程中對函數與方程思想的挖掘

函數與方程思想是從數學概念中提煉和再概括的產物，它具有高度的概括性和較強的指導性[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.但是在具體的教學中，很多教師只注重學生對數學概念的記憶，忽視對概念的形成過程進行深層次的挖掘，導致學生很難體會隱含在概念形成過程中的函數與方程思想.

例如 《雙曲線的漸近線》的講授過程，教師只是通過幾何畫板演示漸近線的存在，然后教授學生求雙曲線方程漸近線的方法，忽略了漸近線概念的來源以及形成過程.使得學生產生為什么雙曲線有漸近線，而橢圓沒有漸近線的疑惑.出現這種現象的主要原因是高中教材中雙曲線的漸近線概念是以結論的形式呈現，很多教師由于自身無法解釋漸近線的本質，沒有對漸近線的來源和形成結果進行深層次的挖掘，只是將教材上的結論灌輸給學生，因此，學生很難體會隱含在漸近線概念的形成過程中產生的函數與方程思想.

2.3 忽視在課堂總結中對函數與方程思想的系統性建構

在課堂小結中，教師不僅要對基本知識和基本方法進行總結，還要對本節課蘊含的數學思想進行總結，使學生在認知結構中對蘊含的數學思想有更清晰的認識.在章節和單元復習課中，教師還要把體現函數與方程思想的分散知識點和問題搜集起來進行總結，使學生在認知結構中對函數與方程思想進行系統化的建構.但是，在具體的課堂總結中，教師只注重對基本知識和基本方法進行總結，并未對蘊含的函數與方程思想進行揭示.

例如 在《數列》的章節總結中，教師只總結數列的通項公式、求和公式以及解題技巧和解題方法，沒有引導學生去理清函數、數列與不同知識之間的內在聯系，對函數與方程思想進行系統性的梳理.導致這種現象的主要原因是教師本身對數列章節的內容缺少深層次的學習和思考，自身對數列的章節知識沒有形成較為完整的知識體系.因此，教師就不能指導學生將蘊含著函數與方程思想的分散知識點和問題進行合理的重建和系統化的儲存.

3 培養學生函數與方程思想的途經

上述分析了教師在課堂教學環節中滲透函數與方程思想存在的問題以及原因，下面以高中教材中的部分知識內容為載體，以課堂引入、概念的形成過程、課堂總結這三個教學環節為主要途經，提出滲透函數與方程思想的方法.使教師能夠在課堂教學中幫助學生構建函數與方程思想體系，提高學生的數學思維能力.

3.1 注重在課堂中對函數與方程思想的挖掘

在課堂引入環節中，教師應該有目的、有計劃地利用有關資源創設教學情境，將函數與方程思想蘊含其中，以問題為驅動，以學生能夠接受、可以理解的形式進行直觀教學.

例如 在《方程的根與函數的零點》教學過程中采用這樣的方式引入：首先提出問題（1）：求方程x2-2x-3=0的實數根;再提問題（2）：求方程x5-2x-3=0的實數根.

這種引入方式引出學生不能用公式求解的高于四次的方程，必然會引發學生思考，這時需要教師再順勢引導學生尋求新角度來解決方程問題，推動問題的進一步探究[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.這種引入方式既解決了學生上述出現的疑惑，又點明了本課的學習目標，使函數與方程思想貫穿在整節課的學習過程中.

3.2 注重在概念中對函數與方程思想的挖掘

在數學概念的形成過程中，教師要結合實際，以課堂探究的形式把數學概念的形成過程模擬演示給學生，讓學生體驗知識的再發現過程，進而汲取函數與方程思想[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.

例如 《雙曲線的漸近線》的講授過程：教師以x2a2-y2b2=1為例，通過變形可以得到方程x2a2=y2b2+1以及y2b2=x2a2-1≥-1，進一步得到x∈-∞，-a∪a，+∞和y∈R.這就可以看出雙曲線上的點x，y位于某個平面區域.如何描述這個區域呢？請同學們思考.

同學們可以先畫出雙曲線的圖象，然后研究第一象限內的圖象性質.可以發現在第一象限內，方程x2a2-y2b2=1可以轉化為函數y=bax2-a2x>a，這個函數具有這些性質：（1）函數單調遞增，即函數圖象在第一象限內從左到右逐漸上升.（2）圖象上的任何一點都位于直線y=bax的下方.

教師解釋如下 圖象上任意一點M與原點的連線的斜率k=ba1-a2x2

通過上述對漸近線的來源和形成結果進行深層次挖掘的教學方式，不僅使學生弄清了雙曲線漸近線的本質，解決了學生上述出現的疑惑，還使學生體會到隱含在漸近線概念形成過程中的函數與方程思想.

3.3 注重在課堂總結中系統性建構

課堂小結是揭示內在規律，提煉函數與方程思想的關鍵環節.這就要求教師在課堂小結中既要總結知識又要總結所用的思想，對內在的數學思想進行提煉.

例如 在《方程的根與函數的零點》中“零點的概念”的課堂小結，教師既要總結出零點是連接函數與方程的結點、求函數零點的方法，還要揭示貫穿本節課的函數與方程思想.將解方程的問題看成求函數的零點問題，求方程的根轉化為求函數圖象與x軸的交點問題.

3.4 注重在章節總結中的建構

由于函數與方程思想具有層次性和分散性的特征，這就要求教師需要遵循循序漸進，螺旋上升的教學原則，定期地把每個單元或章節中所涉及的函數與方程思想做系統的梳理，引導學生把體現函數與方程思想的分散知識點和問題搜集起來，并加以歸納、進行合理的重建和系統化的儲存，形成比較完善的認知結構[1]REF_Ref86562971＼r＼h＼*MERGEFORMAT.

例如 在《數列》的章節總結中，教師既要總結數列的相關知識點，又要讓學生觀察等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的聯系，將數列問題轉化為函數問題進行求解，從而將數列看作特殊的函數.使學生明白函數、方程與不同知識之間的內在聯系.

4 結語

本文提出了一種以課堂引入、概念的形成過程、課堂總結這三個教學環節為主要途經滲透函數與方程思想的方法.首先，教師應該在課堂引入過程中挖掘其背后蘊含的函數與方程思想，適當地創設情境，以學生可以理解的形式進行直觀教學;其次，教師應該在概念的形成過程中，以課堂探究的形式把數學概念的形成和定理的推導過程模擬演示給學生，讓學生體驗知識的再發現過程，從中汲取函數與方程思想.最后，教師應該在課堂總結的過程中有目的、有意識地結合本節課的相關知識揭示函數與方程思想，同時還要把每個單元或章節中所涉及的函數與方程思想內容做系統的梳理，使學生將函數、方程以及其他知識進行相互融合，在認知結構中對函數與方程思想進行系統性的建構.這種方法不僅幫助教師優化教學策略，提高相關課程的教學效率;而且幫助學生完善對函數與方程思想的整體認知結構，提高學生運用函數與方程思想的意識和能力，有利于學生數學思維品質的發展.

參考文獻：

[1]董昱潔. 普通高中數學函數與方程思想方法教學現狀及教學策略研究[D].西北師范大學，2018.

[2]涂釗榕. 高中數學中函數與方程思想的研究[D].福建師范大學，2012.

[3]錢佩玲.中學數學思想方法（第二版）[M].北京：北京師范大學出版社，2010.