有效解答高中數學不等式習題

耿海龍

【摘要】不等式是高中數學的重要知識點，是高考的常考題型.本文結合例題探討運用函數性質、導數法、換元法、數形結合法以及放縮法解答不等式習題.認為不等式習題情境復雜多變，解題時應具體問題具體分析，靈活運用解題方法，才能提高解題效率.

【關鍵詞】高中數學;習題解答;解題方法

不等式習題類型復雜多變，解題方法靈活多樣.為更好的掌握不等式習題的解題思路與解題技巧，應做好相關題型的匯總，并針對不同的題型做好解題思路的探究與總結，把握相關解題細節.

1 借助函數性質解答不等式習題

例1 ??已知定義在R上的偶函數f（x），當x≥0時，f（x）=2x，若對任意的x∈[0，2t+1]均有f（x+t）≥[f（x）]3，則實數t的最大值為（? ）

A.-49?????? B.-13

C.0???? D.16

因為當x≥0時，f（x）=2x，由指數函數性質可知，其在該區間為增函數，即，2t+1>0，則t>-12.又因為[f（x）]3=23x=f（3x），f（x+t）≥[f（x）]3，所以f（x+t）≥f（3x）.因為f（x）是定義在R上的偶函數，所以|x+t|≥|3x|，整理得到：8x2-2tx-t2≤0，即，其在x∈[0，2t+1]上恒成立.令g（x）=8x2-2tx-t2，要想滿足題意g（0）≤0，g（2t+1）≤0，解得-23≤t≤-49，所以t的最大值為-49，選擇A項.

思路點評 運用函數的單調性、奇偶性將函數的對應法則去掉轉化為恒成立問題，結合函數圖象，找到對應的不等式關系，求解不等式即可.

2 借助導數法解決不等式問題

例2 ??已知f′（x）是函數f（x）的導函數，對于任意實數x滿足f′（x）=ex（2x-1）+f（x），f（0）=-1，則不等式f（x）>5ex的解集為（? ）

A.（-∞，-2）∪（3，+∞）

B.（-∞，-3）∪（2，+∞）

C.（-2，3）

D.（-3，2）

因為f′（x）=ex（2x-1）+f（x），則構造出函數g（x）=f（x）ex，則g′（x）=f′（x）·ex-exf（x）ex·ex=2x-1，所以g（x）=f（x）ex=x2-x+m，即，f（x）=ex（x2-x+m），又因為f（0）=-1，所以m=-1，f（x）=ex（x2-x-1），由不等式f（x）>5ex，得到ex（x2-x-1）>5ex，即，x2-x-1>5，x2-x-6>0，解得x的取值范圍為（-∞，-2）∪（3，+∞），選擇A項.

思路點評 ?結合給出的導函數f′（x）表達式構造出新的函數，借助求導的逆運算求出函數f（x）的表達式，將問題轉化為求解一元二次不等式問題.

3 借助換元法解決不等式問題

例3 已知a>0，b>0，a≤2b≤2a+b，則2aba2+2b2的取值范圍為.

因為a>0，b>0，a≤2b≤2a+b，所以1≤2·ba≤2+ba，所以12≤ba≤2

令t=ba∈[12，2]，而2aba2+2b2=2·ba2·（ba）2+1=2t2t2+1=22t+1t=1t+12t

令f（t）=t+12t，由對勾函數性質可知f（x）在[12，22]是減函數，在[22，2]上是增函數，則f（t）min=f（22）=2，而f（2）=2+14=94，f（1）=12+1=32，所以f（t）的最大值為94，2≤f（t）≤94，所以49≤1f（t）≤22，所以其取值范圍為[49，22].

思路點評 對已知條件以及要求解的問題進行轉化，采用換元法減少參數的個數，運用對勾函數的性質，求出對應函數的取值范圍，借助函數基本性質得出最終答案.

4 應用數形結合法解決不等式問題

例4 已知定義在R的偶函數f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），當且x∈[0，2]時，f（x）=ex-1，0≤x≤1x2-4x+4，1

因為f（2-x）=f（2+x），又因為f（x）為偶函數，所以f（2-x）=f（x-2），所以f（2+x）=f（x-2），令x=x+2，得到f（x）=f（x+4），則函數f（x）的周期為4.在同一直角坐標系中分別畫出y=f（x）和y=m|x|的圖象，如圖1所示：

圖1

由圖可知要想滿足題意應有7m≤e-1，9m>e-1，解得m的取值范圍為（e-19，e-17].

思路點評：結合函數性質畫出函數f（x）的圖象，將問題轉化為函數y=f（x）圖象在函數y=m|x|圖象之上時的橫坐標有9個整數.通過數形結合思想構建不等關系，求出m的范圍.

5 應用放縮法解決不等式問題

例5 ??已知數列{an}的各項均為正數，且a1+a2+a3…+an=n2+3n（n∈N*）.

（1）求數列{an}的通項公式;（2）求證：1a1+1a2+1a3…+1an<316;

問題（1），因為a1+a2+a3…+an=n2+3n①，所以a1+a2+a3…+an-1=（n-1）2+3（n-1）②，①-②整理得到：an=2n+2，所以數列{an}的通項公式為an=4（n+1）2;問題（2），因為an=4（n+1）2，當n=1時，1a1=14×4=116<316，成立;當n≥2時，1an=14（n+1）2<14（n+1）n=14（1n-1n+1），所以1a2+1a3…+1an=14（12-13+13-14+…+1n-1n+1）=14（12-1n+1）=18-14（n+1）<18，則1a1+1a2+1a3…+1an<116+18=316，得證.

思路點評 ?結合數列通項公式先證明n=1時不等式成立.當n≥2時進行放縮，通過列項相消求出對應的和，而后將1a1考慮在內，即可得證.

6 總結

運用函數性質、導數法、換元法、數形結合法、放縮法均能求解不等式問題.為更好的掌握這些方法，實現解題能力的進一步提升，既要認真研究相關習題的解題過程，又要做好專題的訓練，在訓練中不斷的深化理解，把握解題的細節，真正的做到融會貫通，舉一反三.

參考文獻：

[1]盧賢慧.多維關聯啟發，應用替換突破——高中數學不等式的教學案例分析[J].中學數學，2020（17）：14-15.

[2]薛建豐.淺談高中數學核心素養培養策略——以不等式的教學為例[J].數理化解題研究，2021（21）：40-41.

[3]陳大祥.淺析新課改下高中數學基本不等式解題技巧[J].數理化解題研究，2021（12）：48-49.

[4]黃細盈.高中數學不等式難點有效解題方法分析[J].數學大世界（上旬），2021（02）：81.